11.1平方根（教学课件） 2024-2025学年北京版八年级数学上册

11.1 平方根 知识回顾 运算 结果 运算关系 回顾上学期学过的几种运算填写下面的表格. 加法 减法 乘法 除法 乘方 和 差 积 商 幂 互为逆运算 互为逆运算 ？ 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 思考： 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a， 即 x2 = a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根或二次方根． 新知探究 3和-3是9的平方根，简记为±3， 写成：±3是9的平方根. 如果一个数的平方等于16,这个数是多少? 16 平方 4 除了4以外，还有没有别的数的平方也等于16呢？ -4 一个数的平方等于16,这个数是4或者-4. 问题引入 完成下图： 平方 1 -1 1 0.25 9 0.5 -0.5 3 -3 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 问题引入 例如：3和-3是9的平方根,简记为：±3是9的平方根. 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 问题引入 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 开平方 平方 所以平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆关系，可以求一个正数的平方根. 我们看到，±3的平方等于9，9的平方根是±3. 例1 求下列各数的平方根： 解: (1)∵(±10)2=100， ∴100的平方根是±10. 即 （1）100； （2） ； （3）0.25 典例解析 注意：用数学式子表示平方根 解: (2)∵(± )2= ， ∴ 的平方根是± . 即 例4 求下列各数的平方根： （1）100； （2） ； （3）0.25 典例解析 解: (3)∵(±0.5)2=0.25， ∴0.25的平方根是±0.5. 即 正数的平方根有什么特点？ 正数的平方根有两个,它们互为相反数, 其中正的平方根就是这个数的算数平方根. 0的平方根是多少？ 0的平方根是0. 负数有平方根吗？ 任何一个数的平方都不是负数,负数没有平方根. 公主 女王 典例解析 平方根 式子表示 正数 有两个，和为0 0 0 负数 没有 联系 平方根里面包含算术平方根；如果知道一个数的算术平方根也可以立即知道它平方根. 辨析概念 新知探究 完成下表： x2 1 0.25 49 4 25 x 1或-1 0.5或-0.5 7或-7 求一个数的平方根的运算，叫作开平方. x 0 -1 1 0.5 -0.5 7 -7 x2 0 1 1 0.25 0.25 49 49 想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它. x2 1 0.25 49 x -1或1 -0.5或0.5 -7或7 典例解析 正数有两个平方根，它们互为相反数. 巩固练习 求一个数的平方根可以将带分数化为假分数！ 负数没有平方根. 考 思考：-7有没有平方根？ 新知探究 思考：0的平方根是多少？ 因为0²=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0. 新知探究 1.正数有两个平方根，它们互为相反数； 2.负数没有平方根； 3.0的平方根是0。 平方根的性质 新知探究 a的平方根表示为： （a 是非负数） 读作：“正、负根号 a” 被开方数 根号 读作“根号 a” 读作“负根号 a” x2 = a x2 = 13 新知探究 判断下列各式是否有意义，为什么？ 解：(1) 有意义. (2) 无意义. (4) 有意义. (5) 无意义. 典例解析 例2 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2. 误区诊断 误区一 对平方根的定义理解不准确。 误区诊断 误区二 对平方根的表示法中的“±”理解不准确。 练习 1.判断题。 (1) 1的平方根是1； (2) -1的平方根是-1； (3) 0.5是0.25的一个平方根； (4) 0的平方根是0； 解： (1) 错，因为1是正数，所以1有两个平方根，是±1。 (2) 错，因为-1是负数，所以-1没有平方根。 (3) 对，因为(0.5)2=0.25，所以0.5是0.25的一个平方根。 (4) 对。 $$