专题21.2 二次根式的运算（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题21.2 二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算法则的正确运用（重点） 2.将二次根式化为最简二次根式（重点） 3.二次根式混合运算的顺序和方法（重点） 4.灵活运用二次根式的性质和运算法则解决复杂的运算问题（难点） 5.理解并把握二次根式运算法则的适用条件（难点） 6.二次根式混合运算中，合理运用运算律（如乘法分配律）简化运算（难点） 二次根式的乘法 1．二次根式的乘法法则 一般地，有 。这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 2．二次根式的乘法法则的推广 （1）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数（式）之积作为积的根号外因数（式），被开方数之积作为积的被开方数，即： ． （2）几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即： ． （3）几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简化运算。 1.法则中被开方数既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的 2.二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方 3.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质 ． 这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积． 公式中的既可以是一个数，也可以是一个式子积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简 2.性质的应用 (1)积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，它对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用: (2)运用此公式化简二次根式，关键是将被开方数(式)分解因数(因式)，把含有2形式的移到根号外面 二次根式的除法 1.二次根式的除法法则 这就是说，两个算术平方根的商，等于被开方数的商的算术平方根 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算;若两个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除 2.二次根式的除法法则的推广 （1）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即： . （2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数（式）之商作为商的根号外因数（式），被开方数（式）之商作为商的被开方数（式），即： ． 商的算术平方根 1.商的算术平方根的性质 这就是说，商的算术平方根，等于被除式与除式的算术平方根的商 1.商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则 2.公式中的既可以是一个数，也可以是一个式子但必须满足. 3.利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式 2．去掉分母中的根号（分母有理化）的方法 （1）当分母是 或 的形式时，分子与分母同乘 ； （2）当分母是 的形式时，分子与分母同乘 ，利用平方差公式将分母中的根号去掉； （3）当分母是 的形式时，分子与分母同乘 ，利用平方差公式将分母中的根号去掉． 最简二次根式 1.定义 二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件 1.被开方数不含分母: 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:分母中含有根式的式子不是最简二次根式 2.二次根式化简成最简二次根式的步骤 （1）“一分”即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式;(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上:(3)“三化”，即化去被开方数中的分母. 同类二次根式 1．同类二次根式 与整式中同类项相类似，我们把像 、 与 这样的几个二次根式，称为同类二次根式． 同类二次根式必须同时满足: 最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式)无关 2．合并的方法 合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，即： ． 二次根式的加减 1.二次根式加减的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并 2.二次根式加减运算的步骤 （1）““化”:将每个二次根式都化成最简二次根式; （2）“找”:找出被开方数相同的最简二次根式(即同类二次根式); （3）“并”:将同类二次根式合并成一项 1.化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分 2.根号外的因式就是这个二次根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数 3.二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 同类二次根式系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 同类二次根式被开方数不变 化简 侧重结果:化为最简二次根式或整式 侧重过程:先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 2.二次根式的混公运算顺序 与整式的混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号就先算括号里面的 3.二次根式混合运算中的运算律 运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用 1.二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式）的形式。 2.在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律 题型一、二次根式的乘法 例1（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习） ． 1-1（24-25九年级上·河南郑州·期末）计算 (1) (2) 1-2（24-25九年级上·河南周口·期末）若，则的取值范围是 ． 1-3（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算 ． 1-4（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若，则计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 题型二、最简二次根式的判断 例2（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2-1（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列为最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2-2（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2-3（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B． C． D． 2-4（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型三、化为最简二次根式 例3（24-25九年级上·四川内江·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3-1（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）在等边中，，点E、F分别在和上，且，连接． (1)如图1，若D为上的点，且，连接，求证：； (2)若，将绕着点F顺时针旋转，得到，连接，设，直接写出的长（用含m的式子表示）； (3)如图2；M为的中点，连接，求的面积． 3-2（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 3-3（24-25九年级上·四川内江·期中）下列二次根式中，最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 3-4（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型四、二次根式的除法 例4（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，，用含的式子表示 ． 4-1（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点E处，已知， ， 则 ， ． 4-2（24-25九年级上·福建南平·期中）先化简，再求值：，其中． 4-3（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算： ． 4-4（24-25九年级上·上海·期中）（1） ；（2） ． 题型五、二次根式的乘除混合运算 例5（24-25九年级上·四川眉山·期中）化简 ． 5-1（24-25九年级上·广西百色·期中）计算： ． 5-2（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）计算：． 5-3（23-24九年级上·全国·单元测试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 5-4（2023·山东青岛·模拟预测）计算： 题型六、同类二次根式 例6（24-25九年级上·河南新乡·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 6-1（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，那么（  ） A． B． C． D． 6-2（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 6-3（24-25九年级上·四川眉山·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6-4（23-24九年级上·重庆北碚·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 题型七、二次根式的加减运算 例7（24-25九年级上·甘肃天水·期中）计算： (1) (2) 7-1（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7-2（23-24九年级上·四川遂宁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7-3（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 7-4（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）计算：． 题型八、二次根式的混合运算 例8（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算： ． 8-1（24-25九年级上·重庆黔江·阶段练习）计算： (1) (2) 8-2（24-25九年级上·福建泉州·期中）计算：． 8-3（24-25九年级上·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中． 8-4（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）已知，，则 ． 题型九、分母有理化 例9（24-25九年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 9-1（24-25九年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 9-2（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 9-3（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）计算： 9-4（22-23九年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 题型十、已知字母的值，化简求值 例10（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，，求和的值． 10-1（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 10-2（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，求的值． 10-3（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 10-4（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知，则的值为 ． 题型十一、已知条件式，化简求值 例11（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 11-1（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 11-2（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． 11-3（23-24九年级上·四川乐山·期末）比较下列两个数的大小： ．（用“>”或“<”号填空） 11-4（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）比较大小： 4． 题型十二、二次根式的应用 例12（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 12-1（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知三角形的三边长分别为、、，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式其中①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式②． 一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积．（写出计算过程） 12-2（24-25九年级上·山西长治·期中）一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 12-3（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 12-4（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 例 已知，求：的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可得：，，解得，再把代入式子计算出，再把，代入，根据二次根式的乘法和除法法则计算即可求解. 【详解】解:，， ∴， 把代入式子计算出， 把，代入得： ∴原式． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件和二次根式乘除法法则，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式有意义的条件和二次根式乘除法法则． 1．如图，在菱形中，，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接、、、，则四边形的面积为（   ） A．8 B． C． D． 2．下列各式中属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 3．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 5．估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 6．如图，在矩形中，点F在上，点E在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在边上的点G处．若矩形面积为且，，则折痕的长为 ． 7．计算： ． 8．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 9．计算： ． 10．若与最简二次根式能够合并，则 ． 11．先化简，再求值：，其中． 12．小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 13．如图，这是小夏家的花草地，可将其看作由两个正方形、一个长方形和一个直角三角形构成的五边形，两个正方形的面积分别为和，求五边形的周长． 2 / 43 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.2 二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算法则的正确运用（重点） 2.将二次根式化为最简二次根式（重点） 3.二次根式混合运算的顺序和方法（重点） 4.灵活运用二次根式的性质和运算法则解决复杂的运算问题（难点） 5.理解并把握二次根式运算法则的适用条件（难点） 6.二次根式混合运算中，合理运用运算律（如乘法分配律）简化运算（难点） 二次根式的乘法 1．二次根式的乘法法则 一般地，有 。这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 2．二次根式的乘法法则的推广 （1）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数（式）之积作为积的根号外因数（式），被开方数之积作为积的被开方数，即： ． （2）几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即： ． （3）几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简化运算。 1.法则中被开方数既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的 2.二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方 3.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质 ． 这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积． 公式中的既可以是一个数，也可以是一个式子积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简 2.性质的应用 (1)积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，它对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用: (2)运用此公式化简二次根式，关键是将被开方数(式)分解因数(因式)，把含有2形式的移到根号外面 二次根式的除法 1.二次根式的除法法则 这就是说，两个算术平方根的商，等于被开方数的商的算术平方根 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算;若两个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除 2.二次根式的除法法则的推广 （1）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即： . （2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数（式）之商作为商的根号外因数（式），被开方数（式）之商作为商的被开方数（式），即： ． 商的算术平方根 1.商的算术平方根的性质 这就是说，商的算术平方根，等于被除式与除式的算术平方根的商 1.商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则 2.公式中的既可以是一个数，也可以是一个式子但必须满足. 3.利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式 2．去掉分母中的根号（分母有理化）的方法 （1）当分母是 或 的形式时，分子与分母同乘 ； （2）当分母是 的形式时，分子与分母同乘 ，利用平方差公式将分母中的根号去掉； （3）当分母是 的形式时，分子与分母同乘 ，利用平方差公式将分母中的根号去掉． 最简二次根式 1.定义 二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件 1.被开方数不含分母: 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:分母中含有根式的式子不是最简二次根式 2.二次根式化简成最简二次根式的步骤 （1）“一分”即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式;(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上:(3)“三化”，即化去被开方数中的分母. 同类二次根式 1．同类二次根式 与整式中同类项相类似，我们把像 、 与 这样的几个二次根式，称为同类二次根式． 同类二次根式必须同时满足: 最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式)无关 2．合并的方法 合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，即： ． 二次根式的加减 1.二次根式加减的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并 2.二次根式加减运算的步骤 （1）““化”:将每个二次根式都化成最简二次根式; （2）“找”:找出被开方数相同的最简二次根式(即同类二次根式); （3）“并”:将同类二次根式合并成一项 1.化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分 2.根号外的因式就是这个二次根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数 3.二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 同类二次根式系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 同类二次根式被开方数不变 化简 侧重结果:化为最简二次根式或整式 侧重过程:先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 2.二次根式的混公运算顺序 与整式的混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号就先算括号里面的 3.二次根式混合运算中的运算律 运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用 1.二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式）的形式。 2.在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律 题型一、二次根式的乘法 例1（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握乘法法则是关键；利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 1-1（24-25九年级上·河南郑州·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算、二次根式的乘法、分式的四则混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂计算即可； （2）先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可． 【详解】（1）解： （2） 1-2（24-25九年级上·河南周口·期末）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法成立的条件，根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， 即x的取值范围是， 故答案为：． 1-3（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，平方差公式，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 将化为，再由积的乘方逆运算和平方差公式求解． 【详解】解： 故答案为：． 1-4（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若，则计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B ． 题型二、最简二次根式的判断 例2（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 【详解】A. ，不为最简二次根式，不符合题意； B. ，不为最简二次根式，不符合题意；     C. 是最简二次根式，符合题意；     D. ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：Ｃ． 2-1（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列为最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．直接利用最简二次根式需要满足的两个条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、不能开方，因式是整式，故是最简二次根式，符合题意； D、，含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2-2（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B. 是最简二次根式，故该选项符合题意； C. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选： B． 2-3（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的概念．根据最简二次根式的定义即可得出答案． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B．是最简二次根式，故该选项符合题意； C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：B． 2-4（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．进行解题即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 题型三、化为最简二次根式 例3（24-25九年级上·四川内江·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质进行求解． 【详解】解：， 故选B． 3-1（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）在等边中，，点E、F分别在和上，且，连接． (1)如图1，若D为上的点，且，连接，求证：； (2)若，将绕着点F顺时针旋转，得到，连接，设，直接写出的长（用含m的式子表示）； (3)如图2；M为的中点，连接，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，再证明即可得到结论； （2）根据旋转的性质，得到；过作，易得为等边三角形，推出，证明，得到，进而得到，再进一步即可得出结论； （3）延长至，使得，连接和，证明，推出为等边三角形，得到，求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：绕着点顺时针旋转， ． 为等边三角形． 如图，过作，则， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ． 即， ， ∵，， ∴； （3）解：延长至，使得，连接和， ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴． ， 为等边三角形． ． 过点作，则：， ∴， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．化为最简二次根式，解题的关键是掌握等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形． 3-2（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 3-3（24-25九年级上·四川内江·期中）下列二次根式中，最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 3-4（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据被开方数不含能开方开的尽的因式和因数，被开方数不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 题型四、二次根式的除法 例4（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，，用含的式子表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．根据二次根式的除法法则可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 4-1（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点E处，已知， ， 则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算；先求解，，设，再利用勾股定理求解，再求解，从而可得答案． 【详解】解：由长方形的性质可知，， 由折叠的性质可知， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 4-2（24-25九年级上·福建南平·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】见解析 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项利用异分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 4-3（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式除法，掌握二次根式除法法则成为解题的关键． 直接运用二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4-4（24-25九年级上·上海·期中）（1） ；（2） ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次根式的除法，分式的约分，根据二次根式的除法法则可化简，把的分子分解因式后约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）；（2）． 题型五、二次根式的乘除混合运算 例5（24-25九年级上·四川眉山·期中）化简 ． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的乘除法运算，主要是掌握二次根式乘除法运算法则，注意化为最简二次根式． 根据二次根式乘除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5-1（24-25九年级上·广西百色·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 5-2（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 5-3（23-24九年级上·全国·单元测试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，根据无理数的估算方法得出，，把，代入代数式进行二次根式的混合运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 5-4（2023·山东青岛·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除法，先计算乘法，再计算除法即可. 【详解】解：， 故答案为：. 题型六、同类二次根式 例6（24-25九年级上·河南新乡·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式.根据同类二次根式的定义进行判断. 【详解】A、和被开方数不同，不是同类二次根式； B、和被开方数相同，是同类二次根式； C、和不是同类二次根式； D、和被开方数不同，不是同类二次根式． 故选B． 6-1（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出方程组是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义，可得关于、的二元一次方程组，根据解方程组，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式得： ， 解得：． 故选：D． 6-2（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵，∴与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、∵，∴与是同类二次根式，故此选项符合题意； D、∵，，∴与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 6-3（24-25九年级上·四川眉山·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式．先化简原数，然后根据同类二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，故A不符合题意； B．，与是同类二次根式，故B符合题意； C．，与不是同类二次根式，故C不符合题意； D．，与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 6-4（23-24九年级上·重庆北碚·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：12． 题型七、二次根式的加减运算 例7（24-25九年级上·甘肃天水·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式、二次根式的乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7-1（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类二次根式，同底数幂相乘，多项式乘以单项式，根据合并同类项计算A，再根据合并同类二次根式判断B，然后根据同底数幂相乘法则计算C，最后根据多项式除以单项式计算判断D． 【详解】解：因为不是同类项，所以选项A不能加减计算，不符合题意； 因为不是同类二次根式，所以选项B不能合并，不符合题意； 因为，所以C不正确，不符合题意； 因为，所以D正确，符合题意． 故选：D． 7-2（23-24九年级上·四川遂宁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、与 不能合并，所以A选项错误； B、原式，所以B选项错误； C、原式，所以C选项正确； D、原式，所以D选项错误． 故选：C 7-3（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．利用分母有理化对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；利用二次根式的除法对C进行判断；利用二次根式的加减法对D进行判断. 【详解】解：A、，所以A选项的计算正确，不符合题意； B. ，所以B选项的计算正确，不符合题意； C. ，所以C选项的计算正确，不符合题意； D. ，所以D选项的计算错误，符合题意. 故选：D. 7-4（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质．根据二次根式的性质进行化简，然后再合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： ． 题型八、二次根式的混合运算 例8（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，根据二次根式的混合计算法则进行求解即可．正确计算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8-1（24-25九年级上·重庆黔江·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算二次根式除法和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8-2（24-25九年级上·福建泉州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，先根据平方差公式去括号，然后计算二次根式除法和零指数幂，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 8-3（24-25九年级上·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当时，原式． 8-4（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，因式分解得，代值计算，即可求解；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ； 故答案为：． 题型九、分母有理化 例9（24-25九年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再计算分式乘法，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 9-1（24-25九年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化等知识，先根据分式的运算法则化简，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 9-2（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 9-3（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先计算二次根式的除法，再计算二次根式的分母有理化，然后计算二次根式的加法即可得． 【详解】解： ． 9-4（22-23九年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 题型十、已知字母的值，化简求值 例10（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，，求和的值． 【答案】3， 【分析】考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，多项式乘多项式，分母有理化，解题的关键是由已知条件得出，，注意整体思想的运用．先由已知条件得出，，再整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ； ． 10-1（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 10-2（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】先将分母有理化，得，进而可得，，然后将原式化简为，再将和的值代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值 ，分母有理化，等式的性质，完全平方公式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 10-3（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化． （1）先根据分母有理化求出，，即可求出； （2）由，，将原式整理成，再整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 10-4（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式等知识点，掌握分母有理化成为解题的关键． 先分母有理化可得、，则、，再运用完全平方公式可得，然后整体代入即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：15． 题型十一、已知条件式，化简求值 例11（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算，先由二次根式性质比较，再由绝对值的意义去绝对值即可得到答案，熟记利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：，，且， ，则， ， ， 故选：C． 11-1（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【答案】(1)>； (2)，见解析． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 11-2（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，先求原数的平方，再由负数比较大小的法则即可得到答案； （2）参考例题解法，由完全平方公式对原数进行处理，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 11-3（23-24九年级上·四川乐山·期末）比较下列两个数的大小： ．（用“>”或“<”号填空） 【答案】 【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较二次根式的大小，正确化简两个二次根式是解题的关键． 11-4（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）比较大小： 4． 【答案】＞． 【分析】将两个数进行变形，用根号表示，然后即可得出答案． 【详解】3＝＝，4＝， ∵＞， ∴3＞4． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握知识点是解题关键． 题型十二、二次根式的应用 例12（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 12-1（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知三角形的三边长分别为、、，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式其中①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式②． 一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积．（写出计算过程） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是选择合适的公式进行计算， 根据题意选择秦九韶公式代入，化简二次根式即可得出答案． 【详解】解：∵，，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便， ∴可代入公式②进行计算， ∵，，， ∴ ． 12-2（24-25九年级上·山西长治·期中）一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了二次根式的化简、加法和乘法运算，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．先根据2个正方形的面积求出两个正方形的边长，再分别求出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， ∴剩余的木板（阴影部分）的面积为：， 故答案为：12． 12-3（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大长方形面积两个正方形面积，本题得以解决．本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 12-4（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．判断出两个正方形的边长，可得结论． 【详解】解：两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，． 阴影部分的面积 故选∶A． 例 已知，求：的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可得：，，解得，再把代入式子计算出，再把，代入，根据二次根式的乘法和除法法则计算即可求解. 【详解】解:，， ∴， 把代入式子计算出， 把，代入得： ∴原式． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件和二次根式乘除法法则，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式有意义的条件和二次根式乘除法法则． 1．如图，在菱形中，，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接、、、，则四边形的面积为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是中点四边形和勾股定理，掌握菱形的性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．连接、交于O，根据三角形中位线性质得到，，，，推出四边形是矩形矩形，根据等边三角形性质易得，，于是得到结论． 【详解】解：如图所示，连接、交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点E、F、G、H分别是边，，，的中点， ∴，，，（三角形中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴，则， ∴，， ∴四边形的面积为， 故选：B． 2．下列各式中属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，二次根式性质，解题的关键是正确理解最简二次根式．利用二次根式性质化简各项，再根据最简二次根式定义判断，即可解题． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据题意对二次根式进行化简即可得到答案． 【详解】解：，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； ，不是最简二次根式，故选项B不符合题意； 是最简二次根式，故选项C符合题意； ，不是最简二次根式，故选项D不符合题意； 故选C． 4．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 5．估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则和夹逼法是解题的关键．先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】原式 ∴， ∴ 故选：B． 6．如图，在矩形中，点F在上，点E在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在边上的点G处．若矩形面积为且，，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】由折叠的性质可知，，，，，结合即可得出，进而可得出为等边三角形．在中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出、，再由结合矩形面积为，即可求出的长度，根据即可求出结论． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等边三角形的判定及性质以及解含30度角的直角三角形，根据边角关系及勾股定理确定、是解题的关键． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，以及二次根式的减法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简各项，再进行减法运算，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 8．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，如果两个最简二次根式是同类二次根，那么这两个二次根式的被开方数相等，根据最简二次根式 与 是同类二次根式，可得关于的一元二次方程，解方程可得：，，又因为当时，，被开方数必须是非负数，所以只能选． 【详解】解：最简二次根式 与 是同类二次根式， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， ． 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式运算法则以及分母有理化是解题的关键． 先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：9． 10．若与最简二次根式能够合并，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，先计算，再根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， 依题意得：， 解得， 故答案为：3． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】见解析 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项利用异分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 12．小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 13．如图，这是小夏家的花草地，可将其看作由两个正方形、一个长方形和一个直角三角形构成的五边形，两个正方形的面积分别为和，求五边形的周长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的加减，解题的关键是掌握相关知识．设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据勾股定理可求出，根据正方形的面积公式并结合图形求出五边形每边的长度，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 则，， ，，， ，，， 五边形的周长为． 2 / 43 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$