专题22.2 一元二次方程的解法（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法的运用（重点） 2.配方法的步骤和应用（重点） 3.求根公式的记忆与准确运用（重点） 4.因式分解法的运用（重点） 5.配方法的理解与熟练操作（难点） 6.灵活选择合适的解法解一元二次方程（难点） 直接开平方法 1.定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： （1）不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； （2）只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法解方程的前提是 中 ． 2．方程 的解（根）的情况 （1）当 时，方程有两个不等的实数根 ； （2）当 时，方程有两个相等的实数根 ； （3）当 时，方程没有实数根． 3.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项; (2)开平方; (3)解两个一元一次方程 因式分解法 1.定义 把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0; (2)将方程左边分解为两个一次式的乘积; (3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 常用的因式分解的方法： 1．提公因式法； 2．公式法； 3． ． 配方法 1.定义 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项;(2)二次项系数化为1;(3)配方;(4)开平方. 配方的依据是完全平方公式 ，其实质是将 看成未知数， 看成常数，则 即是一次项系数一半的平方． 公式法 1．求根公式的定义 当 时，方程 的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式． 2.公式法 (1)定义将一元二次方程中系数a，b，c的值，直接代入求根公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法 （2）用求根公式解一元二次方程的步骤 ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定公式中 的值； ③求出 的值； ④若 ，则把 $a, b$ 及 的值代入求根公式求解． 1．公式法是解一元二次方程的通用解法（也称万能法），它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法． 2．只有当方程 中的 时，才能使用求根公式。 一元二次方程根的判别式 1．定义 一般地，式子 叫做一元二次方程 根的判别式，通常用希腊字母＂＂来表示，即 ． 2．一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 （1） 方程 有两个不等的实数根． （2） 方程 有两个相等的实数根． （3） 方程 没有实数根． 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算;使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 一元二次方程的根与系数的关系 1．一元二次方程的根与系数的关系 （1）设二次项系数为 1 的一元二次方程 的两根为 ，那么 。 （2）一元二次方程 ，当 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为 ，这两个根与系数的关系是 ． 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是 ． 2．与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 （1）; （2） ； （3）. 题型一、解一元二次方程-直接开平方法 例1（24-25九年级上·四川南充·期中）（1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）先把原方程化成一般式，然后根据因式分解法求解即可； （2）根据直接开平方法求解即可． 【详解】解∶（1）原方程可化为， ∴， ∴或， ∴，； （2）∵， ∴， ∴或， ∴，． 1-1（24-25九年级上·北京朝阳·期中）方程的根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，移项，然后利用直接开平方法求解即可． 【详解】 解得． 故答案为：． 1-2（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 1-3（24-25九年级上·广东佛山·期中）解下列方程：． 【答案】或． 【分析】本题考查了解一元二次方程．运用直接开平方法解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：整理得， ∴， 即或， 解得：或． 1-4（24-25九年级上·陕西渭南·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了平方根，解一元二次方程，把方程化为：，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边同时除以2，得， 开平方，得， 解得：，． 题型二、因式分解法解一元二次方程 例2（24-25九年级上·云南红河·期中）解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴或， ∴． 2-1（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程 (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∴或， ∴，； （2）解：由得， ∴， ∴或， ∴，． 2-2（24-25九年级上·重庆永川·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，选取适当的方法能够正确的运算是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）先移项，利用因式分解解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 2-3（23-24九年级上·四川南充·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 【详解】解：， 则， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 2-4（23-24九年级上·广东东莞·期中）一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，先把原式整理得，再令每个因式为0，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三、解一元二次方程-配方法 例3（23-24九年级上·广东江门·期中）用配方法解关于x的方程，则变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法，需通过配方将方程转化为完全平方形式． 【详解】解：． 将常数项移到方程右侧，得， 取一次项系数4的一半（即2），平方后为， 将其添加到方程两侧，得， 左侧化为完全平方式，右侧计算得， 故选：B 3-1（23-24九年级上·广西河池·期中）已知实数a，b满足，解关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性，二次方的非负性，一元二次方程的解法，根据题意得出，，是解题的关键． 先根据，得出，，得出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 原方程化为 ∴． 3-2（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 3-3（24-25九年级上·山东济宁·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解： 或 ∴，． 3-4（24-25九年级上·广西南宁·期中）用配方法解方程，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤． 利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为 1 ，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型四、配方法的应用 例4（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 4-1（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是4． 【详解】解：， ，则， ， ， ∴（当时取等号）， 则， 当时，代数式有最小值等于4， 故答案为：4． 4-2（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 4-3（24-25九年级上·河南周口·期中）若代数式可化为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是配方法是应用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式把原式变形，再根据题意求出，，计算即可． 【详解】解： ， 由题意得：，， 解得：，， 则， 故选：B． 4-4（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．利用配方法判断出可得结论． 【详解】解：， ， ， 又可以配方成， ， ． 故选：B． 题型五、公式法解一元二次方程 例5（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 5-1（24-25九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 【答案】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．根据求根公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 5-2（24-25九年级上·福建三明·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 5-3（24-25九年级上·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 5-4（23-24九年级上·四川南充·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）先计算零指数幂、二次根式性质化简、负整数指数幂，再去绝对值，最后由二次根式加法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查解一元二次方程、实数混合运算，涉及公式法解一元二次方程、零指数幂运算、由二次根式性质化简、负整数指数幂运算、去绝对值及二次根式加法运算法则等知识．熟记相关运算法则与方法是解决问题的关键． 题型六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 例6（24-25九年级上·山东临沂·期末）下列所给方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程()的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，是解决此题的关键．求出各选项方程根的判别式的值，判断出正负即可确定一元二次方程是否有实数根． 【详解】解：，则方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，则方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，所以方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，方程没有实数根，所以选项符合题意； 故选：． 6-1（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】计算出判别式的值即可得出答案． 本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程无实数根． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6-2（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：， 所以方程有两个不相等实数根， 故选： 6-3（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 6-4（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，所以原说法错误； ②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是， 原说法正确； ③若一元二次方程无解，则其判别式小于0，而倒方程的判别式和原方程的判别式相同，则其值也小于0，故它的倒方程也无解，原说法正确，； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 例7（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解，先得出二次项系数不为零，再需要满足判别式需大于零，解这个不等式即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，故， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴需满足， 解得：， ∴的取值范围为且， 故选：D． 7-1（23-24九年级上·广东江门·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 【答案】且 【分析】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程的定义以及根的判别式是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可求出答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得：， 又， 则a的取值范围是且， 故答案为：且． 7-2（23-24九年级上·广东江门·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的值为1． 故选：B． 7-3（24-25九年级上·重庆永川·期中）已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 7-4（23-24九年级上·四川南充·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系等知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．一元二次方程是形如的方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据题意可知且，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得． 故选：A． 题型八、一元二次方程的根与系数的关系 例8（24-25九年级上·甘肃天水·期中）若方程的两个根是和4，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，，进而求解即可． 【详解】解：∵方程的两个根是和4， ∴，． ∴． 故答案为：，． 8-1（24-25九年级上·河南驻马店·期中）设一元二次方程的两个实数根为，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴， ∴． 故选：A 8-2（23-24九年级上·广西河池·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则这两个根的和是（　　） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程，两根之和． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，． 故选：A． 8-3（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，，， ， 故选：D． 8-4（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】4049 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握根与系数关系是解题的关键．先由根与系数的关系求出，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ， 故答案为：4049． 例 解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）， ∴或， 解得，； （2）， ，， ∵， ∴， ∴，． 1．已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（   ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 把代入一元二次方程关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴，解得：或2． 故选：B． 2．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程化成的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 3．有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可 【详解】解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） 故选：B 4．若关于x的函数，其图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一次函数的性质知识点，解题的关键是分情况讨论函数是一次函数还是二次函数． 分和两种情况进行讨论，当时函数为一次函数，当时函数为二次函数，再根据函数图象与轴有交点分别求解的取值范围． 【详解】①当时： 函数变为，这是一个一次函数，一次函数的图象是一条直线，的图象与轴有一个交点，满足图象与轴有交点这一条件． ②当时： 函数是二次函数，对于二次函数，其图象与轴交点的情况由判别式决定，当时，图象与轴有交点． 在函数中，，则． 解得， 又因为，所以此时且． 综合以上两种情况，可得的取值范围是． 故答案选：B． 5．一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】解：， 移项，得， ， 或， ，， 故答案为：，． 6．把方程配方成为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再方程两边同加上4，利用完全平方公式变形即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 7．关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．首先根据方程的根的判别式的值是，可知方程有两个不相等的实数根，再利用公式法可以求出方程的两个根． 【详解】解：的根的判别式的值是， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，． 故答案为：， ． 8．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 9．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．熟知一元二次方程根与系数的关系为：，，是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， 整理得出：， 解得：， 故答案为：1． 10．已知是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，可知，然后化简代入求值． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ． 11．阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1) (2)最大值为10 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键： （1）仿照题干的方法进行求解即可； （2）仿照题干的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴， ∴当时，有最小值为； （2） ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． 12．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法的运用（重点） 2.配方法的步骤和应用（重点） 3.求根公式的记忆与准确运用（重点） 4.因式分解法的运用（重点） 5.配方法的理解与熟练操作（难点） 6.灵活选择合适的解法解一元二次方程（难点） 直接开平方法 1.定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： （1）不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； （2）只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法解方程的前提是 中 ． 2．方程 的解（根）的情况 （1）当 时，方程有两个不等的实数根 ； （2）当 时，方程有两个相等的实数根 ； （3）当 时，方程没有实数根． 3.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项; (2)开平方; (3)解两个一元一次方程 因式分解法 1.定义 把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0; (2)将方程左边分解为两个一次式的乘积; (3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 常用的因式分解的方法： 1．提公因式法； 2．公式法； 3． ． 配方法 1.定义 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项;(2)二次项系数化为1;(3)配方;(4)开平方. 配方的依据是完全平方公式 ，其实质是将 看成未知数， 看成常数，则 即是一次项系数一半的平方． 公式法 1．求根公式的定义 当 时，方程 的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式． 2.公式法 (1)定义将一元二次方程中系数a，b，c的值，直接代入求根公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法 （2）用求根公式解一元二次方程的步骤 ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定公式中 的值； ③求出 的值； ④若 ，则把 $a, b$ 及 的值代入求根公式求解． 1．公式法是解一元二次方程的通用解法（也称万能法），它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法． 2．只有当方程 中的 时，才能使用求根公式。 一元二次方程根的判别式 1．定义 一般地，式子 叫做一元二次方程 根的判别式，通常用希腊字母＂＂来表示，即 ． 2．一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 （1） 方程 有两个不等的实数根． （2） 方程 有两个相等的实数根． （3） 方程 没有实数根． 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算;使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 一元二次方程的根与系数的关系 1．一元二次方程的根与系数的关系 （1）设二次项系数为 1 的一元二次方程 的两根为 ，那么 。 （2）一元二次方程 ，当 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为 ，这两个根与系数的关系是 ． 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是 ． 2．与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 （1）; （2） ； （3）. 题型一、解一元二次方程-直接开平方法 例1（24-25九年级上·四川南充·期中）（1）解方程： （2）解方程： 1-1（24-25九年级上·北京朝阳·期中）方程的根为 ． 1-2（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 1-3（24-25九年级上·广东佛山·期中）解下列方程：． 1-4（24-25九年级上·陕西渭南·期中）解方程：． 题型二、因式分解法解一元二次方程 例2（24-25九年级上·云南红河·期中）解下列方程 (1)； (2) 2-1（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程 (1) (2)． 2-2（24-25九年级上·重庆永川·期中）解下列方程： (1) (2) 2-3（23-24九年级上·四川南充·期中）方程的解是 ． 2-4（23-24九年级上·广东东莞·期中）一元二次方程的根是 ． 题型三、解一元二次方程-配方法 例3（23-24九年级上·广东江门·期中）用配方法解关于x的方程，则变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3-1（23-24九年级上·广西河池·期中）已知实数a，b满足，解关于x的一元二次方程． 3-2（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 3-3（24-25九年级上·山东济宁·期中）解下列方程 (1) (2) 3-4（24-25九年级上·广西南宁·期中）用配方法解方程，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 题型四、配方法的应用 例4（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 ． 4-1（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 4-2（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 4-3（24-25九年级上·河南周口·期中）若代数式可化为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 4-4（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 题型五、公式法解一元二次方程 例5（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 5-1（24-25九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 5-2（24-25九年级上·福建三明·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为 ． 5-3（24-25九年级上·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 5-4（23-24九年级上·四川南充·期中）计算： (1)； (2)． 题型六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 例6（24-25九年级上·山东临沂·期末）下列所给方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 6-1（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6-2（24-25九年级上·四川成都·期末）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6-3（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 6-4（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 例7（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 7-1（23-24九年级上·广东江门·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 7-2（23-24九年级上·广东江门·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 7-3（24-25九年级上·重庆永川·期中）已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为 ． 7-4（23-24九年级上·四川南充·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八、一元二次方程的根与系数的关系 例8（24-25九年级上·甘肃天水·期中）若方程的两个根是和4，则 ， ． 8-1（24-25九年级上·河南驻马店·期中）设一元二次方程的两个实数根为，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．3 8-2（23-24九年级上·广西河池·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则这两个根的和是（　　） A．6 B．3 C． D． 8-3（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 8-4（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 例 解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）， ∴或， 解得，； （2）， ，， ∵， ∴， ∴，． 1．已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（   ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或 2．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 3．有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 4．若关于x的函数，其图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 5．一元二次方程的解是 ． 6．把方程配方成为 ． 7．关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ． 8．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 9．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是 ． 10．已知是一元二次方程的两个实数根，求的值． 11．阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 12．解一元二次方程： (1)； (2)． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$