6.2.2 线段的比较与运算 导学案 2025-2026学年人教版七年级数学上册

6.2.2 线段的比较与运算 导学案 一、学习目标（简写版） 1. 掌握线段长短的比较方法（叠合法、度量法），能比较两条线段的长短。 1. 理解线段的和、差、倍、分的意义，能进行简单的线段运算（用几何语言描述或列式计算）。 1. 掌握 “两点之间，线段最短” 的性质，理解两点间距离的概念（连接两点间的线段的长度）。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 线段长短的比较方法：叠合法（将线段一端重合，看另一端位置）和度量法（用刻度尺量长度后比较）。 1. 线段的和与差：若点 C 在线段 AB 上，则 AC + CB = AB；若点 C 在 AB 的延长线上，则 AC - BC = AB（或 AC = AB + BC）。 1. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点（若 M 是 AB 的中点，则 AM = MB = ，AB = 2AM = 2MB）。 1. 基本性质：两点之间，线段最短（两点间的距离是线段的长度，不是线段本身）。 （二）学习难点 1. 用叠合法比较线段长短时的规范操作（重合端点，看另一端位置，语言描述准确）。 1. 理解线段和、差的几何意义（与代数运算的区别，需结合图形位置关系）。 1. 线段中点的灵活应用（已知中点求线段长度，或已知线段长度判断中点）。 1. 区分 “两点间的距离” 与 “线段”（距离是长度，是数量；线段是图形）。 三、本节内容的思维导图 线段的比较与运算 ├──线段的比较 │ ├──叠合法：将线段AB和CD的端点A与C重合，使AB和CD在同一直线上，看B与D的位置（B在D左则AB<CD；重合则AB=CD；B在D右则AB>CD） │ └──度量法：用刻度尺量出长度（单位相同），比较数值大小 ├──线段的运算 │ ├──和与差：结合图形，根据点的位置关系表示（如AC=AB+BC或BC=AC-AB） │ └──中点与倍分 │ ├──中点定义：把线段分成相等两部分的点（AM=MB） │ ├──数量关系：若M是AB中点，则AM=MB=1/2AB，AB=2AM=2MB │ ├──推广：n等分点（如三等分点将线段分成3等份） ├──基本性质与距离 │ ├──性质：两点之间，线段最短（连接两点的所有线中，线段长度最短） │ └──两点间的距离：连接两点间的线段的长度（是数量，单位如cm、m） ├──易错点 │ ├──混淆“线段”与“距离”（距离是长度，线段是图形） │ ├──叠合法操作不规范（端点未重合或未在同一直线） │ ├──线段和差运算时忽略点的位置关系（如点C是否在线段AB上） │ ├──中点问题中，误将“AM=MB”直接等同于“M是AB中点”（需强调M在AB上） └──应用：最短路径问题（如修管道选最短路线）、距离计算、中点相关长度求解 四、知识点自主预习填空 1. 比较两条线段长短的方法有（ ）和（ ）。 1. 若点 M 是线段 AB 的中点，则 AM = （ ） = （ ）AB，AB = 2（ ） = 2（ ）。 1. 线段的和：若点 C 在线段 AB 上，则 AB = （ ） + （ ）。 1. 两点之间，（ ）最短，连接两点间的（ ）的长度，叫做这两点间的距离。 五、详细讲解各部分知识点和要点 知识点01 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点02 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点03 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 知识点04 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点05 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 六、效果检测 1. 若线段 AB = 5cm，线段 CD = 7cm，则 AB > CD。（ ） 1. 若点 M 到 A、B 两点的距离相等，则 M 是线段 AB 的中点。（ ） 1. 两点之间，直线最短。（ ） 1. 线段 AB 的中点 M 到 A、B 的距离相等。（ ） 1. 若点 C 在线段 AB 上，则 AB = AC + CB；若点 C 在 AB 外，则 AB = |AC - CB|。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 线段比较的两种方法：叠合法（直观比较，需规范操作）和度量法（量化比较，需统一单位）。 1. 线段运算的核心：结合图形位置关系理解和、差（点在线段上或延长线上），利用中点性质处理倍、分（AM = MB = 。 1. 重要性质： 0. 两点之间，线段最短（解决最短路径问题的依据）； 0. 两点间的距离是线段的长度（数量），不是线段（图形）。 1. 易错提醒： 0. 中点必须在线段上，不能仅凭 “距离相等” 判断； 0. 线段和差需明确点的位置，避免盲目列式； 0. 区分 “线段” 与 “距离” 的概念差异。 8、 课后作业 1．已知为直线上四个点， 且， 点为线段的中点， 则线段的长为（     ） A．1 B．7 C．7或1 D．不能确定 2．已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 4．已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知平面上一点和线段，下列条件：①；②；③；④，其中不能确定点C是线段中点的个数是有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．平面上有三个点A，B，C，如果，则（   ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在线段的延长线上 D．不能确定 7．如图，C是线段的中点，D为线段上一点，下列等式（1）；（2）；（3），（4）．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，点C，O在线段上，，O是的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 10．如图，，点C为线段的中点，点D在线段上，且，则线段的长度为 ． 11．在直线l上顺次取A，B，C三点，使得．如果点O是线段的中点，那么线段的长度为 cm． 12．如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 三、解答题 13．如图，已知直线和直线外三点、、，根据下列语句画出相应的图形． (1)画线段，画直线； (2)在直线上确定点，使得的值最小，理由是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 叠合法；度量法 1. MB；；AM；MB 1. AC；CB 1. 线段；线段 （二）效果检测的答案和解析 1. （×）解析：5cm < 7cm，故 AB < CD，该说法错误。 1. （×）解析：M 需在线段 AB 上才是中点，若 M 在 AB 外（如 AB 的垂直平分线上的点），即使 MA = MB，也不是中点，该说法错误。 1. （×）解析：两点之间，线段最短，直线无限延伸，没有长度，该说法错误。 1. （√）解析：中点到两端点的距离相等，即 AM = MB，该说法正确。 1. （√）解析：点 C 在线段上时，和为 AB；点 C 在 AB 外时，差的绝对值为 AB（符合三角形三边关系的几何意义），该说法正确。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D A C C D 1．C 【分析】本题主要考查线段和差，线段中点的计算，根据点的不同位置分类讨论，结合线段中点的性质求解． 【详解】解：∵点是的中点，且， ∴， 当点在的右侧，即排列顺序为，且， ∴； 当点在与之间，即排列顺序为， ∴， ∴线段的长为或， 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键． 根据线段的长度及的值判断点P的位置即可解答． 【详解】解：当点P在线段上时，与矛盾，故①错误； 若点P在直线的延长线上（如M左侧或N右侧），例如P距M有5个单位时，，此时，满足条件．因此，点P可能在直线MN上，故②正确； 若点P在直线外，例如，存在这样的点．因此，点P也可能在直线外，故③正确． 综上，正确的说法是②和③． 故选B． 3．D 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据两点之间，线段最短即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间，线段最短可知，剩下参叶的周长比原参叶的周长小， 故选：D． 4．D 【分析】解：本题考查了线段的中点的定义，线段的和差，分类讨论是解题的关键． 根据线段的中点定义，线段的和差计算即可． 【详解】∵点为线段的中点， ∴当点在的延长线上时， ， 当点在线段的延长线上时， ， ∴线段的长是或． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义以及点C的位置逐项进行判断即可． 【详解】解：①由于平面上一点C和线段，当点C在线段上时，有，此时点C不一定是的中点，因此①不能确定点C是线段中点； ②由于平面上一点C和线段，当点C在线段外的平面内一点，虽然满足，但点C不一定是的中点，因此②不能确定点C是线段中点； ③当点C在线段的中垂线上时，均有，因此③不能确定点C是线段中点； ④由于平面上一点C和线段，当点C在线段外的平面内一点，虽然满足，但点C不一定是的中点，因此④不能确定点C是线段中点； 综上所述，①②③④均不能确定点C是线段中点，共4个， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据A，B，C之间的距离画出图形，即可确定位置关系． 【详解】解：，，， ， 如图，点在线段的延长线上， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键． 根据线段的和差关系逐句判断即可． 【详解】解：∵是线段的中点， ， （1），故（1）正确； （2）不能证明，故（2）错误； （3），故（3）正确； （4），故（4）正确， ∴正确的有 3 个． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据题意可求出，，据此根据线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 10．5 【分析】本题考查了线段中点的计算，掌握线段中点的定义，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 根据线段中点的定义可得，再求出，即可得解． 【详解】∵，点C为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 11．7 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和差，正确理解题意、正确理解线段中点的性质是解题的关键． 首先求出，然后根据线段中点的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵点O是线段的中点， ∴． 故答案为：7． 12．15 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．根据线段中点的定义、线段的和差即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 13．(1)见解析 (2)见解析，两点之间，线段最短 【分析】本题考查了作图——直线，线段以及两点之间，线段最短，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据线段和直线的定义作图即可； （2）连接交直线于点，由两点之间，线段最短可知，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求作； （2）解：连接交直线于点，点即为所求， 理由是：两点之间，线段最短． $$