第05讲：平面向量【十一大题型】-2025-2026学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第05讲：平面向量 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点二．平面向量共线/垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) ⑴a∥b ⇔ b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0 ⑵a⊥b ⇔ a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点三．平面向量的数量积 a·b=|a||b|·cos θ. cos θ＝ 知识点四．a在向量b上的投影向量： 知识点五．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【题型归纳】 题型一、平面向量的概念 1．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.同 D．若，则不是共线向量 3．（24-25高一下·湖北·期末）给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 题型二、平面向量的线性运算 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）在中，，，直线与交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西·期末）在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 题型三、平面向量共线定理 7．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四、用基底表示向量 10．（24-25高一下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，是的中点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·河北·期末）在中，是BC上一点，且，点满足，则（ ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·四川内江·期中）如图，中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型五：平面向量基本定理的应用 13．（24-25高一下·山西临汾·期末）如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 15．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六：平面向量线性运算的坐标表示 16．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 17．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 18．（24-25高一下·安徽·期末）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 题型七：平面向量的数量积运算 19．（24-25高一下·天津和平·期末）已知 (1)求向量与的夹角θ； (2)求向量在向量 方向上的投影向量的模； (3)若 求实数t的值. 20．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，. (1)若向量与的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求向量，的夹角. 21．（24-25高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量，的夹角为，且 . (1)求 的值； (2)当时， 求； (3)当时，求λ的值． 题型八、投影向量 22．（24-25高一下·广东广州·期末）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量 则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型九：平面向量解决夹角和长度问题 25．（22-23高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    26．（21-22高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，， . 27．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 题型十：平面向量与几何最值 28．（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 29．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 30．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十一、平面向量综合问题 31．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，设，． (1)用，表示，； (2)若与相交于点，，，，求． 32．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知是边长为6的等边三角形，D是上靠近A的三等分点，点E在边上. (1)用、表示； (2)若，求的值； (3)设与交于点，且，求. 33．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一下·北京昌平·期末）在矩形中，，，，点F在边上.若，则（  ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东潮州·期末）在中，已知，，，点M为上的点，且，则（） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南·期末）已知向量与的夹角为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，.若，则实数（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 9．（24-25高一下·云南临沧·期末）已知向量，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．与的夹角为钝角 D．在上的投影向量的坐标为 10．（24-25高一下·甘肃白银·期末）设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）已知为边上一点，满足，则下列选项正确的有（    ） A．当时， B．无论取何值，均有 C．当时， D．当过三角形内心时， 12．（24-25高一下·广西贵港·期末）在中，AB=6，AC=10，，D为BC的中点，E为的垂心，则（   ） A． B． C． D．点E到直线AB的距离为 三、填空题 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，且，则实数的值为 ． 14．（24-25高一下·新疆·期末）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则 15．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，．若，则实数 ． 16．（24-25高一下·天津西青·期末）已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，连接并延长到点F，使得.设，，以，为基底表示向量 ；的值为 . 17．（24-25高一下·广东云浮·期末）的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为 . 18．（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则 ． 19．（24-25高一下·北京西城·期末）如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则 ； ②的取值范围是 ． 四、解答题 20．（24-25高一下·湖北武汉·期末）设，是两个向量， (1)若，不共线，且，求实数的值； (2)已知向量，满足，，，求. 21．（24-25高一下·北京朝阳·期末）已知向量，且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． 22．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求的长度； (2)若与交于点，求． 23．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在中，，分别是，的中点，，，． (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线； (3)若，，，求的值． 24．（24-25高一下·福建宁德·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，是的中点，与交于点，设，． (1)用，表示向量，； (2)求的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲：平面向量 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点二．平面向量共线/垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) ⑴a∥b ⇔ b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0 ⑵a⊥b ⇔ a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点三．平面向量的数量积 a·b=|a||b|·cos θ. cos θ＝ 知识点四．a在向量b上的投影向量： 知识点五．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【题型归纳】 题型一、平面向量的概念 1．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.同 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 3．（24-25高一下·湖北·期末）给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 【答案】A 【分析】根据向量平行的概念和性质，判断选项. 【详解】对于A，向量的长度相等，方向相反，命题成立; 对于B，当或为零向量时，命题不成立； 对于C，若与方向相反时，有，反过来，若，当或为零向量时，不能推出与方向相反，命题不成立； 对于D，当时，因为零向量的方向任意，所以这时的方向不与的方向相同，命题不成立. 故选：A. 题型二、平面向量的线性运算 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）在中，，，直线与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算结合向量共线的推论求解. 【详解】如图，由三点共线，可设， 又，，所以， 又三点共线，则，解得， . 故选：B. 5．（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 6．（24-25高一下·江西·期末）在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则即可求解. 【详解】 ∵，，∴，. ∵，分别是，的中点，∴，. 又，，∴，即. 故选：A. 题型三、平面向量共线定理 7．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理逐项判断即可. 【详解】因为，故三点共线, A正确； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，B错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，C错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，D错误； 故选：A 8．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由，，排除ABC，由可说明D符合题意. 【详解】，是平面内的一组基底， ，，， 因为，，， 则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意. 故选：D. 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，得到，由，得到，结合三点共线，即可求解. 【详解】在中，因为，即为的中点，所以， 又因为，所以， 因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 题型四、用基底表示向量 10．（24-25高一下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，是的中点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示. 【详解】在平行四边形中，， 所以，， 因为是的中点， 所以，即， 因为， 所以. 故选：B 11．（24-25高一下·河北·期末）在中，是BC上一点，且，点满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线的推论，由向量的线性运算，可得答案. 【详解】， . 故选：A. 12．（24-25高一下·四川内江·期中）如图，中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用中点向量公式求解即得. 【详解】在中，D为BC边的中点，E为AD的中点，. 故选：A 题型五：平面向量基本定理的应用 13．（24-25高一下·山西临汾·期末）如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助向量线性运算与可得，结合题目所给条件计算即可得. 【详解】设，则 ， 则有，解得. 故选：C. 14．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论； 【详解】根据题意； 又因为，三点共线，则存在，使得， 即，即， 所以，整理得，所以. 故选：A. 15．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即. 故选：C 题型六：平面向量线性运算的坐标表示 16．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 【答案】B 【分析】根据向量坐标化线性运算和向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【详解】，， 则. 故选：B. 17．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先利用向量坐标的加减运算求出和，然后利用向量模的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 由得，即， 解得. 故选：B 18．（24-25高一下·安徽·期末）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)本题首先可通过得出的坐标，然后通过向量共线的相关性质即可得出的值； (2)本题首先可通过得出的坐标，然后通过计算即可． 【详解】（1）由，得出， ，因为， 所以，解得； （2）由，得出， ，， 因为，所以， 即，解得：. 题型七：平面向量的数量积运算 19．（24-25高一下·天津和平·期末）已知 (1)求向量与的夹角θ； (2)求向量在向量 方向上的投影向量的模； (3)若 求实数t的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用向量积的运算律，结合已知的模长，即可求夹角大小； (2)利用已知的模长和夹角，可求投影向量的模； (3)利用向量的垂直关系等价于数量积为，从而可求解参数t. 【详解】（1） 则，因为，所以； （2）因为， 所以向量在向量 方向上的投影向量的模为； （3）因为所以. 20．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，. (1)若向量与的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求向量，的夹角. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用数量积的定义即可求解， （2）根据模长公式即可求解， （3）根据垂直关系以及夹角公式即可求解. 【详解】（1）， （2）由可得，解得， 故， （3）由可得，故， 故， 由于，故 21．（24-25高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量，的夹角为，且 . (1)求 的值； (2)当时， 求； (3)当时，求λ的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由数量积的定义即可求解； （2）当，，两边平方，利用向量数量积求； （3）当时，有，利用向量数量积求的值. 【详解】（1）因为平面向量，的夹角为，且，， 所以； （2）当，， 则， 所以. （3）当时，， 所以. 题型八、投影向量 22．（24-25高一下·广东广州·期末）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】依题意，在上的投影向量，则， 所以. 故选：D 23．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】由题意得，在方向上的投影向量. 故选：C 24．（24-25高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量 则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的概念，进行向量的坐标运算即可． 【详解】因为所以在方向上的投影向量为: , 故选：A． 题型九：平面向量解决夹角和长度问题 25．（22-23高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 26．（21-22高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，， . 【答案】/ 【分析】用表示出，两边同时平方，根据向量数量积即可求得答案. 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为： 27．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 题型十：平面向量与几何最值 28．（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】分析得到为的中点，⊥，，数形结合得到当重合时，取得最小值，求出最小值. 【详解】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 29．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C 30．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 题型十一、平面向量综合问题 31．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，设，． (1)用，表示，； (2)若与相交于点，，，，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接根据几何关系分解向量求解即可； （2）首先求得，然后依次求得，，的值，结合公式求解即可. 【详解】（1）由题意， 因为在四边形中，，， 所以， 所以； （2）因为，，，所以， 所以， 所以，， ， 所以. 32．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知是边长为6的等边三角形，D是上靠近A的三等分点，点E在边上. (1)用、表示； (2)若，求的值； (3)设与交于点，且，求. 【答案】(1) (2)24 (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可； （2）由向量的线性运算及数量积的定义、运算律计算即可得解； （3）利用向量的线性运算求出，再由数量积的运算律及向量模的概念求解. 【详解】（1） （2）因为， 故, 所以. （3）由三点共线，可设， 由D是上靠近A的三等分点， 可得， 所以，解得， 所以， 又， 所以 . 33．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）表达出，根据三点共线，得到，求出； （3）在（1）基础上，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）N为的中点，故， ， 故； （2）， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； （3）由（1）知，，， 又，，，故， ， ， ， 则. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的定义运算，结合相反向量和单位向量的概念即可求解. 【详解】由，，可得向量， 则与向量方向相反的单位向量为， 故选：C. 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由向量相等的概念进行判断即可. 【详解】由向量相等的概念可知且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·北京昌平·期末）在矩形中，，，，点F在边上.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点F在边上，可设，.根据可求得的值，用和表示出和，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 ∵点F在边上，∴设，. ∵，∴，∴. ∵，∴. 故选：B. 4．（24-25高一下·广东潮州·期末）在中，已知，，，点M为上的点，且，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标示，求出相应的坐标，利用坐标运算求数量积即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 过点作点， ，，，， ，， ，，， ， 故选：B 5．（24-25高一下·湖南·期末）已知向量与的夹角为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，且，可得， 则， 所以. 故选：B. 6．（24-25高一下·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示得出和，再结合向量线性运算的坐标表示得出，利用两向量垂直，数量积为0，即可解出实数的值. 【详解】因为，， 所以. 因为， 所以， 即， 解得. 故选：B. 7．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值. 【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因，易推得，则，， 设，其中，则，， 于是，， 故当时，取得最小值为. 故答案为：D． 二、多选题 8．（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 9．（24-25高一下·云南临沧·期末）已知向量，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．与的夹角为钝角 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【分析】借助向量数量积的坐标形式、模长公式及投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：由，故与的夹角为锐角，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·甘肃白银·期末）设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【分析】根据基底的概念只需要判断各选项的向量是否共线即可. 【详解】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量， 对于A，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于B，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于C，因为，所以和共线，不可以作为基底； 对于D，因为，所以和不共线，可以作为基底． 故选：ABD． 11．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）已知为边上一点，满足，则下列选项正确的有（    ） A．当时， B．无论取何值，均有 C．当时， D．当过三角形内心时， 【答案】BC 【分析】根据题意，，则，则可判断ABC；根据角平分线性质可得，可判断D. 【详解】 根据题意，， 所以， 当时，则， 所以，A错误； 无论取何值，，即，B正确； 当时，， 则 ，C正确； 当过三角形内心时，即为角的角平均分线， 则，即，D错误. 故选：BC 12．（24-25高一下·广西贵港·期末）在中，AB=6，AC=10，，D为BC的中点，E为的垂心，则（   ） A． B． C． D．点E到直线AB的距离为 【答案】ABD 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建系，计算出各点的坐标以及向量的坐标，再逐一判断. 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， ，A正确； ，B正确； ，C错误； 设，则，所以，得， 所以点E到直线AB的距离为，D正确． 故选：ABD 三、填空题 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由向量平行的坐标表示可求. 【详解】，，解得. 故答案为：. 14．（24-25高一下·新疆·期末）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则 【答案】/0.5 【分析】根据投影向量的公式得到方程，求出. 【详解】在上的投影向量为， 故，故. 故答案为： 15．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，．若，则实数 ． 【答案】 【分析】利用向量的加法运算，结合共线向量性质，消元后，即可得三向量关系，再利用平面向量基本定理，可求. 【详解】 由图可得：，， 因为，,可得 所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 故答案为： 16．（24-25高一下·天津西青·期末）已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，连接并延长到点F，使得.设，，以，为基底表示向量 ；的值为 . 【答案】 【分析】由平面向量线性运算法则表示出，再利用数量积的运算律及定义计算． 【详解】因为点D，E分别为，的中点，所以，又， 所以， 所以， ， 故答案为：；． 17．（24-25高一下·广东云浮·期末）的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】作，得到，在中，利用余弦定理和基本不等式，求得，即可求解. 【详解】如图所示，作，垂足分别为， 则， 在中，由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立，所以，即. 故答案为：. 18．（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算和共线定理求解即可. 【详解】根据题意可知，， 因为三点共线，所以存在实数使得， 又因为三点共线，所以存在实数使得， 所以，解得， 所以， 所以，，， 故答案为： 19．（24-25高一下·北京西城·期末）如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则 ； ②的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，空①：由，求出，然后由即可求解；空②：，因为，从而可求解. 【详解】由题意以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，设，， 即，，， 空①：由，即，解得，则， 所以，所以； 空②：，因为，则， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 四、解答题 20．（24-25高一下·湖北武汉·期末）设，是两个向量， (1)若，不共线，且，求实数的值； (2)已知向量，满足，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共线向量定理列出等式求解即可; （2）由数量积为0可得，再由向量的模的计算公式求解即可. 【详解】（1）是两个不共线的向量，， ， ， ，解得. （2）， ， . 21．（24-25高一下·北京朝阳·期末）已知向量，且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据垂直的坐标运算即可求解， （2）根据模长公式，以及夹角公式即可求解， （3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． （2）由（1）知，则． 又，则． 设与夹角为，因此． 又，则，所以与夹角为． （3）由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号． 所以最小值为． 22．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求的长度； (2)若与交于点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中利用勾股定理求得、、，确定的正弦、余弦值，再结合两角和的余弦公式以及余弦定理即可求解. （2）解法一：构建平面直角坐标系，利用垂直关系，确定点坐标，利用平面向量的方法求解.解法二：在利用余弦定理确定，利用同角关系确定，再利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（1），， ，，，， 在中，，， ， 在中，， ． （2）解法一：如图，以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，，， ，，过点作于点， ，即， 整理得， ，，，， ，，， ∴， 为与的夹角，，， ∴． 解法二：，在中，，，， 则， ， 则 ． 23．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在中，，分别是，的中点，，，． (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线； (3)若，，，求的值． 【答案】(1), (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）证明向量共线即可， （3）根据数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）， ; （2）证明：, , 故共线，又两向量有公共点,故，，三点共线 （3） 24．（24-25高一下·福建宁德·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，是的中点，与交于点，设，． (1)用，表示向量，； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面向量线性运算即可求解； （2）法一：由平面向量数量积的运算律及夹角公式即可求解；法二：由余弦定理及相似三角形的性质即可求解；法三：以为原点，建立平面直角坐标系，由平面向量夹角的向量公式即可求解；法四：由余弦定理，正弦定理，同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解． 【详解】（1）因为平行四边形，，， 所以． 又因为是的中点， 所以． （2）解法一：， ． ． ． 因为与的夹角为， 所以． 解法二：因为平行四边形中，，， 所以中，，，， 由余弦定理得 ，故． 因为，是的中点，所以， 所以，． 在中，由余弦定理得 ． 解法三：以为原点，所在直线为轴如图建系， 则，，，， 所以，， ，， ． 因为与的夹角为， 所以． 解法四：因为平行四边形中，，， 所以中，，，， 由余弦定理得 ，故． 在中，由正弦定理得， ， 所以 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$