第三十一讲：圆锥的侧面积和全面积（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三十一讲：圆锥的侧面积和全面积 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：圆锥及其相关概念 圆锥的相关概念： 把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段 (如线段 SA，SB 等) 叫做圆锥的母线． 母线有无数条，都相等. 如果用 r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高，l 表示圆锥的母线长，那么 r、h、l 之间的等量关系是： r2 + h2 = l2． 知识点02：圆锥的侧面积和全面积 圆锥侧面积：S侧 = πrl. 圆锥全面积： S全 = S侧 + S底= πrl+ πr2 = πr(l+r). 知识点03：知识总结 考点1：求圆锥的侧面积 【典型例题】 已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积求解，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求出底面半径，再由圆锥的侧面积公式（为底面圆半径，为母线）求解即可． 【详解】解：∵高与底面垂直， ∴高，母线，半径组成的三角形的是直角三角形， ∴底面半径为：， ∴圆锥的侧面积为， 故选：D． 【变式训练1】 广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选C． 【变式训练2】 劳动课上，小明用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的侧面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关扇形和圆锥的相关计算．根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：C． 考点2：圆锥的底面半径 【典型例题】 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 【变式训练1】 用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（    ） A．2.5 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆锥和扇形的相关计算，掌握圆锥的底面圆周长展开后的扇形的弧长是解题的关键． 圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长展开后的扇形的弧长，列方程求解． 【详解】设圆锥的底面圆半径为r， 依题意，得 解得． 故圆锥的底面半径为2.5． 故选A． 【变式训练2】 综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为，圆心角为的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长公式，一元一次方程的应用，设张亮裁出的圆的半径应该为，根据弧长公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：设张亮裁出的圆的半径应该为，根据题意得： ， 解得：， 故选：A． 考点3：求圆锥的高 【典型例题】 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选：D． 【变式训练1】 如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆锥展开图以及勾股定理等知识．利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，即可得出答案． 【详解】解：∵半径为的圆形， ∴底面圆的半径为2，周长为， 扇形弧长为：， ∴，即母线为， ∴圆锥的高为：． 故选：A． 【变式训练2】 在一个边长为正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，熟练掌握知识点是解题的关键．设这个圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程，求出半径r，然后再根据勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， 由题意得，， 解得：， ∵圆锥的母线长为， ∴这个圆锥的高为：， 故选：B． 考点4：求圆锥的侧面积展开图的圆心角 【典型例题】 已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，弧长等知识．熟练圆锥侧面展开图的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键．设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是， 依题意得，， 解得，， 故选：D． 【变式训练1】 一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面积与底面积的关系，以及侧面展开图的圆心角计算，设圆锥底面半径为，母线长为，圆锥侧面展开图的圆心角为，根据求出，再由计算即可得解． 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 由题意可得：， ∴， 解得：， 由弧长公式可得：， 解得：， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角是， 故选：A． 考点5：圆锥的侧的最短路径问题 【典型例题】 已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 【变式训练1】 今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【答案】D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点， ∵，， ∴装饰带的长度， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 【变式训练2】 如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】 解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【点睛】 本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 一、单选题 1．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 2．云南丽江古城随处可见的风铃，代表着每一个游客美好的愿望．某同学想用卡纸制作风铃作为毕业礼物送给朋友，风铃其铃托形似圆锥，测得其母线长10厘米，高为6厘米，则铃托侧面展开图的弧长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥的底面半径，圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面的周长是解题的关键．先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，进而得到底面的周长，最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面的周长即可得到答案． 【详解】解：母线长为10厘米，高为6厘米， 底面半径为（厘米）， 底面圆的周长为（厘米）， 圆锥侧面展开图的弧长等于其底面圆周长， 铃托侧面展开图的弧长为厘米． 故选：B． 3．数学活动课上，某同学用一张半圆形纸片，围成了一个母线长为厘米的圆锥侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的底面圆周长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的展开问题．利用半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长即可求得答案． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为厘米， 由题意可得：， 该圆锥的底面圆周长为厘米， 故选：B． 4．如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的底面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 设母线长为，底面圆半径为，根据扇形面积计算公式可求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出与的关系，进而求出底面积即可得到答案． 【详解】设母线长为，底面圆半径为，则圆锥的侧面积为 ， ∴底面积为， ∴ ∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍， 故选∶B． 5．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算、弧长的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 圆锥的母线为 ∴ 故选：C． 6．小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理；设圆锥底面圆的半径是r，根据扇形的弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】∵扇形的弧长是， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥底面圆的半径是， ∴，解得： ∴圆锥的高是 故选：A． 7．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的弧长以及勾股定理，先根据留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）得出圆锥的底面半径为，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：留下的扇形的弧长为， 则圆锥的底面半径为， 圆锥的高为． 故选：C 8．如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数，勾股定理求出母线长，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 设展开图的圆心角的度数为，则：， ∴；即：展开图的圆心角的度数为； 故选：C． 二、填空题 9．已知圆锥的高是，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面展开图的面积为 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，涉及勾股定理，熟练掌握圆锥母线与高、底面半径的关系及侧面积公式是解题的关键．先根据圆锥的高和底面半径，利用勾股定理求出母线长，再结合圆锥侧面积公式（侧面积 = π×底面半径×母线长 ）计算侧面积． 【详解】解：∵ 圆锥的高，底面圆半径，圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，母线为斜边， 根据勾股定理， ∴ ． ∴ 侧面积 ． 故答案为： ． 10．某校九年级学生参加社会实践活动，学习编织圆锥形工艺品，若这种圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 11．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了弧长公式，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键．设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出结果． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面周长为，则： 扇形的弧长为， ∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，求圆锥底面圆半径，勾股定理，，设这个圆锥体的底面圆半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长建立方程求出r，再利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥体的底面圆半径为r， 由题意得，， ∴， ∴这个圆锥体的高为， 故答案为：． 13．若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度． 【答案】160 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算． 【详解】解：根据弧长的公式得到： ， 解得． 即侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为：160． 14．如图，用一张半径为的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积． 【详解】解：帽子底面圆周长为：， 则扇形弧长为， 扇形面积， 故答案为∶ ． 15．“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设这个圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得：， 这个圆锥的母线长为3． 故答案为：3． 16．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． (1)求弦的长； (2)若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）过点作于，则，然后由等腰三角形的性质可得，则，最后由勾股定理即可求解； （）设圆锥体底面半径为，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：过点作于， 由垂径定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设圆锥体底面半径为， ∵该扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 18．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 19．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为，腰为． (1)求圆锥侧面展开图的扇形弧长． (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知等腰三角形的底边长即为圆锥底面圆的直径，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长进行求解即可； （2）根据圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：圆锥的底面圆的直径为， ∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为； （2）由题意，得：底面圆的半径为，母线长为， ∴圆锥的全面积． 【点睛】本题考查求圆锥的全面积和扇形的弧长．熟练掌握圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，以及圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，是解题的关键． 20．已知如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求扇形的面积； (2)若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算，展开图折叠成几何体，扇形面积的计算，勾股定理，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线是解题关键． （1）利用扇形面积计算公式解答即可； （2）设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，然后根据勾股定理计算． 【详解】（1）解：扇形的圆心角为，半径为． 扇形的扇形面积； （2）如图，设圆锥底面圆的半径为， ， 解得， 在中，，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三十一讲：圆锥的侧面积和全面积 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：圆锥及其相关概念 圆锥的相关概念： 把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段 (如线段 SA，SB 等) 叫做圆锥的母线． 母线有无数条，都相等. 如果用 r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高，l 表示圆锥的母线长，那么 r、h、l 之间的等量关系是： r2 + h2 = l2． 知识点02：圆锥的侧面积和全面积 圆锥侧面积：S侧 = πrl. 圆锥全面积： S全 = S侧 + S底= πrl+ πr2 = πr(l+r). 知识点03：知识总结 考点1：求圆锥的侧面积 【典型例题】 已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 劳动课上，小明用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的侧面积是（  ） A． B． C． D． 考点2：圆锥的底面半径 【典型例题】 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（    ） A．2.5 B．5 C． D． 【变式训练2】 综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为，圆心角为的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A． B． C． D． 考点3：求圆锥的高 【典型例题】 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 在一个边长为正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（    ）    A． B． C． D． 考点4：求圆锥的侧面积展开图的圆心角 【典型例题】 已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 考点5：圆锥的侧的最短路径问题 【典型例题】 已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【变式训练2】 如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 一、单选题 1．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 2．云南丽江古城随处可见的风铃，代表着每一个游客美好的愿望．某同学想用卡纸制作风铃作为毕业礼物送给朋友，风铃其铃托形似圆锥，测得其母线长10厘米，高为6厘米，则铃托侧面展开图的弧长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 3．数学活动课上，某同学用一张半圆形纸片，围成了一个母线长为厘米的圆锥侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的底面圆周长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 4．如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 6．小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 7．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 8．如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知圆锥的高是，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面展开图的面积为 10．某校九年级学生参加社会实践活动，学习编织圆锥形工艺品，若这种圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为 ． 11．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是 ． 12．一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 13．若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度． 14．如图，用一张半径为的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是 ．（结果保留） 15．“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为 ． 16．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 三、解答题 17．如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． (1)求弦的长； (2)若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 18．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 19．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为，腰为． (1)求圆锥侧面展开图的扇形弧长． (2)求圆锥的全面积． 20．已知如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求扇形的面积； (2)若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高． 学科网（北京）股份有限公司 $$