第三十讲：弧长和扇形面积（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+6大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三十讲：弧长和扇形面积 （知识总结梳理+6大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：与弧长相关的计算 n° 的圆心角所对的弧长: 知识点02：与扇形相关的计算 圆心角为 n° 的扇形的面积是: S扇形＝＝ lR 知识点03：弓形的面积 弓形的面积公式: 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 考点1：求弧长 【典型例题】 如图，在中，，，则弧的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，已知四边形是的内接四边形，的半径为6，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D． 考点2：求半径 【典型例题】 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于，则这个扇形的半径的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式训练1】 把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（   ） A．12 B． C．24 D． 考点3：求圆心角 【典型例题】 若将一个圆分割成三个扇形，它们的面积比为，则最小的扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（    ） A．120° B．150° C．60° D．100° 【变式训练2】 如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（        ） A．15度 B．16度 C．20度 D．24度 考点4：求某点的弧形运动路径 【典型例题】 如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）    A． B． C． D．π 【变式训练1】 长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（ ）    A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 考点5：求扇形面积 【典型例题】 半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 考点6：求弓形面积 【典型例题】 《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【变式训练1】 如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，矩形ABCD中，,以AB为直径作，与CD相交于E,F两点，则图中阴影部分的面积是（  ）     A． B． C． D． 一、单选题 1．若扇形AOB的半径为6，∠AOB=120°，则的长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 2．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为（    ）． A．3 B．2 C． D． 3．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 4．一个扇形的弧长是12πcm，面积是108πcm2，则此扇形的圆心角的度数是(　　) A．300° B．150° C．120° D．75° 5．如图，是的切线，连接交于点C，若的半径为2，，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点旋转得到，已知，，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（　　　）    A．6 B．7 C．8 D．10 8．如图，是的直径，弦， ，，则阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ． 10．若扇形的弧长为，面积为，则此扇形的半径为 ． 11．扇形的弧长等于半径为1的圆的周长，面积等于半径为2的圆的面积，则此扇形的圆心角为 ． 12．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则= ；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 ． 13．如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积是 ．（结果保留） 14．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为，连接AB，则图中阴影部分的面积是 . 15．如图，在扇形OAB中，，，以点A为圆心，AO长为半径圆弧，交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积是 ． 三、解答题 16．如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，点在上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 17．如图，在中，．延长到O，使，以O 为圆心，长为半径作交延长线于点D，连结． (1)求扇形的面积． (2)判断所在直线与的位置关系，并说明理由． 18．如图，在中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，在线段AC上取点E，使∠A=∠ADE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 19．如图，为的直径，C是上方上异于A、B的点，D是的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第三十讲：弧长和扇形面积 （知识总结梳理+6大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：与弧长相关的计算 n° 的圆心角所对的弧长: 知识点02：与扇形相关的计算 圆心角为 n° 的扇形的面积是: S扇形＝＝ lR 知识点03：弓形的面积 弓形的面积公式: 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 考点1：求弧长 【典型例题】 如图，在中，，，则弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查弧长的计算和圆周角的性质，掌握弧长的计算公式（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为）是解题关键． 根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理可知：， ， ， ∴弧的长为， 故选：A． 【变式训练1】 如图，已知四边形是的内接四边形，的半径为6，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式 ． 连接，然后根据圆周角定理求得的度数，最后根据弧长公式求解． 【详解】连接， ∵， ∴， 则劣弧的长为：． 故选B． 【变式训练2】 如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由圆内接四边形性质可得的度数，再由及三角形内角和定理可求得的度数，由圆周角定理可得的度数，最后由弧长公式即可求得结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是解题的关键． 考点2：求半径 【典型例题】 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于，则这个扇形的半径的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据扇形的弧长与圆的周长相等，列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得， 故选：B 【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，掌握扇形弧长公式，圆的周长公式，抓住扇形弧长与圆的周长相等构造等式是解题关键． 【变式训练1】 把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设半径为R，利用弧长公式构建方程求出R即可． 【详解】解：设半径为R． 由题意，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 【变式训练2】 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（   ） A．12 B． C．24 D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出半径r． 【详解】由题得 解得 故选：C 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 考点3：求圆心角 【典型例题】 若将一个圆分割成三个扇形，它们的面积比为，则最小的扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由三个圆心角的度数比为，可求出最小的圆心角度数． 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为， ∵它们的面积之比为， ∴三个圆心角的度数比为， ∴最小扇形的圆心角度数为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为． 【变式训练1】 一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（    ） A．120° B．150° C．60° D．100° 【答案】B 【分析】利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即240π＝×20πr， 解得：r＝24， 又由可得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算，熟练掌握相关的公式是解本题的关键． 【变式训练2】 如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（        ） A．15度 B．16度 C．20度 D．24度 【答案】C 【分析】根据弧长公式和圆的周长公式的关系即可得出答案 【详解】解：∵一弧长是其所在圆周长的， ∴ ∴ ∴这条弧长所对的圆心角为 故选：C 【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 考点4：求某点的弧形运动路径 【典型例题】 如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）    A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、弧长公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键． 解直角三角形求出，求出度数，从而求出度数，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴点C经过的路径长为：， 故选：C． 【变式训练1】 长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式进行计算便可． 【详解】解：点旋转的路径长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【变式训练2】 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含的直角三角形的性质可求得，进而根据弧长公式即可计算． 【详解】解：在，， ∴， ∴， ∴将绕点B逆时针旋转到的位置，旋转角为 ∵， ∴， 根据弧长公式可得，点A运动的路径长为， 故选A． 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握弧长公式． 考点5：求扇形面积 【典型例题】 半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可，熟练掌握扇形的面积公式是解决此题的关键． 【详解】解：扇形的面积， 故选：B． 【变式训练1】 如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式．解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和． 首先求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：五边形的内角和是：， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 【变式训练2】 如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】矩形， ， ∵的半径为3， 图中阴影部分的面积是：， 故选：C． 考点6：求弓形面积 【典型例题】 《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 【变式训练1】 如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式训练2】 如图，矩形ABCD中，,以AB为直径作，与CD相交于E,F两点，则图中阴影部分的面积是（  ）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OF、OE，过点O作OH⊥CD于点H，利用勾股定理求出FH=1，得到∠FOH=45°，根据等腰三角形的三线合一的性质得到EF=2FH=2，∠EOF=90°，再利用扇形EOF的面积减去△EOF的面积即可得到答案. 【详解】如图，连接OF、OE，过点O作OH⊥CD于点H， ∵OF=AB=，OH=BC=1，∠OHF=90°， ∴， ∴FH=OH, ∴∠FOH=45°， ∵OF=OE， ∴EF=2FH=2，∠EOF=90°， ∴阴影部分的面积是. 故选：D 【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一的性质，扇形的面积公式，熟记弓形面积的计算方法：扇形面积减去三角形的面积，是解题的关键. 一、单选题 1．若扇形AOB的半径为6，∠AOB=120°，则的长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 【答案】C 【解析】略 2．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为（    ）． A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积求出半径，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 则：， ∴（负值已舍掉）； ∴这个扇形的弧长为； 故选B． 【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式，是解题的关键． 3．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 4．一个扇形的弧长是12πcm，面积是108πcm2，则此扇形的圆心角的度数是(　　) A．300° B．150° C．120° D．75° 【答案】C 【分析】先根据扇形面积公式求出半径，再根据弧长公式解答即可． 【详解】解：设扇形所在的圆的半径为rcm，圆心角为n°，由题意得：，解得：r=18， ∵， ∴此扇形的圆心角n=120°． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积和弧长公式的计算，属于常考题型，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解答的关键． 5．如图，是的切线，连接交于点C，若的半径为2，，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，三角形内角和定理，扇形面积是解题的关键． 由是的切线，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，将绕点旋转得到，已知，，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=，由旋转的性质就可以得出就可以得出AB扫过的图形的面积=求出其值即可． 【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C， ∴△ABC≌△A′B′C， ∴， ． ∵AB扫过的图形的面积=， ∴AB扫过的图形的面积=， ∴AB扫过的图形的面积=． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键． 7．如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（　　　）    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2， ∵S1＋S2＝7， ∴×π×（）2＋×π×（）2＋×AC×BC−×π×（）2＝7， ∴AC×BC＝14， AB＝＝＝6， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 8．如图，是的直径，弦， ，，则阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，连接，则根据垂径定理可得出，继而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，   ， 故 即可得阴影部分的面积等于扇形的面积， 又 ， ， 故 即阴影部分的面积为 故选D． 二、填空题 9．如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 连接，根据等边三角形的性质可求，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：连接，由题意得， 是边长为2的等边三角形， ∴ ， 扇形的弧长为， 圆锥的底面圆的半径是． 故答案为：． 10．若扇形的弧长为，面积为，则此扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式，和弧长公式求解即可． 【详解】解：∵扇形的面积公式，和弧长公式， ∴， 又扇形的弧长为，面积为， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟练掌握扇形面积公式、弧长公式是本题的关键． 11．扇形的弧长等于半径为1的圆的周长，面积等于半径为2的圆的面积，则此扇形的圆心角为 ． 【答案】/90度 【分析】由扇形的弧长等于半径为1的圆的周长，可令圆心角为n，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角． 【详解】解：∵扇形的弧长等于半径为1的圆的周长， ∴， ∵面积等于半径为2的圆的面积， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式与弧长公式，且能利用公式建立方程进行运算，本题考查对公式的准确记忆能力． 12．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则= ；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 / 【分析】根据弧长公式可求得的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可． 【详解】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C， ∴△ABC≌△A′B′C， ∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°． ∴的长为:2π； ∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C， ∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′， ∴AB扫过的图形的面积= ． 故答案为：2π；． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键． 13．如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算和圆周角定理．根据圆周角定理由，得到，，然后根据扇形面积公式计算扇形的面积． 【详解】解：如图， ， ， ， 扇形的面积． 故答案为：． 14．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为，连接AB，则图中阴影部分的面积是 . 【答案】π-2. 【分析】由∠AOB为90°，得到△OAB为等腰直角三角形，于是OA=OB，而S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB．然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB =−×2×2 =π-2 故答案为π-2. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，是属于基础性的题目的一个组合，只要记住公式即可正确解出．关键是从图中可以看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积． 15．如图，在扇形OAB中，，，以点A为圆心，AO长为半径圆弧，交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】连接、，根据题意得到为等边三角形，，分别求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，计算即可． 【详解】解：连接、． ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：， 【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用割补法的思想进行求阴影部分面积． 三、解答题 16．如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，点在上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由等边对等角得到，，再由三角形内角和定理得到，，则由平角的定义可得，据此可证明是的切线； （2）先证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，得到，则，证明四边形为矩形，得到，则，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接, ， ， ， ， ， ∴， ， ， 又是的半径， 是的切线： （2）解：如图，连接． 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ， 四边形为矩形， ， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，求弧长，正确作出辅助线是解题的关键。 17．如图，在中，．延长到O，使，以O 为圆心，长为半径作交延长线于点D，连结． (1)求扇形的面积． (2)判断所在直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)所在直线与相切，见解析 【分析】（1）求出，得出是等边三角形，求出，，利用扇形的面积公式求得即可； （2）由等边三角形的性质得，进而求出，得出，即可证得是的切线． 【详解】（1）在中，， ∴，．        ∴． ∵， ∴是等边三角形．     ∴．        ∴． （2）所在直线与相切． 理由：∵是等边三角形， ∴．            ∵， ∴． ∴．     ∴，即．                ∵为的半径， ∴所在直线与相切． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定扇形的面积，切线的判定，证明是等边三角形，掌握切线的判定方法是解答本题的关键． 18．如图，在中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，在线段AC上取点E，使∠A=∠ADE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）如图，连接OD， ∵， ∴， ∵， ， ， 又， ， ∴，即， ∵点D在上，即OD为的半径， ∴DE是的切线； （2）如图，过点O作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 则阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． 19．如图，为的直径，C是上方上异于A、B的点，D是的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角和圆心角，勾股定理，扇形面积公式等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）连接，根据弧和圆心角的关系，得到，进而得到，即可证明结论； （2）根据圆周角和勾股定理，得到，进而得到，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：为的直径， ， ，， ， ， 由（1）得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$