24.2.2 直线和圆的位置关系 （课件）-2025—2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 2.2 直线和圆的位置关系 （4）切线长定理 P O 如图，你能借助三角板过圆外一点P作圆的切线吗？如果能，作切线的依据是什么？ 探究新知： · 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 O P A 思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？ 探究新知： 圆是轴对称图形，连接OP，沿OP折叠找出点A的 对称点B,连接OB，作出PB所在直线有什么发现？ · P O A B PA=PB，∠APO=∠BPO 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.沿着直线PO将图形对折、发现PA=PB，∠APO=∠BPO ，改变圆半径或点P位置呢？ 可以进行几何证明吗？ 探究新知： 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A 、B， 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO 证明：如图，连接OA，OB ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° 又OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 探究新知： B P O A ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 你能用语言文字表述这一结论吗？ 切线长定理为证明角相等和线段相等提供了新的方法 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（文字语言） 几何语言： ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB 切线长定理 B P O A 请同学们阅读教材P99探究内容，理解并识记定理内容，稍后提问展示。 · O P A B 文字语言： 从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言： ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB 切线长定理 B P O A 2.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ⊙O的半径为3 （1）若OP=5，则切线长PA= ； （2）若∠BPA=60°，则∠OPA= OP= . AB= . 1.判断： （1）过任意一点总可以做圆的两条切线。（ ） （2）从圆外一点引圆的两条切线，他们的长相等。（ ） 随堂练习： 1.飞盘问题中可以通过测量贴窗棱的飞盘边缘与窗角的距离知道飞盘直径吗？这里可以转化成什么数学问题？ 2.飞盘问题如何用数学语言表达？ O P A B 已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PA ⊥PB, 垂足为P,PB=12cm，求⊙O直径 数学思考与表达： 已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. A O C D P B E 解： (1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB , △ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以，半径 OA 的长为 3 cm. 综合应用： 课堂小结： 1.必做题： 课本第101页练习以及习题24.2第6、10题 2.选做题： A.如何尺规作图从圆外一点引圆 的切线？请欣赏岩岩同学的做 法：（考虑他的作法依据） B.调查社区中哪些设施（如：车轮、井盖）应用了切线长定理，撰写小报告。 O P 作业布置： $$