山西省大同市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

2024-2025学年第二学期高一年级期末教学质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．本试题共6页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位），则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，若点与，共线，则实数（ ） A. B. 13 C. 12 D. 4. 若一组样本数据为，，，另一组样本数据，，的方差为8，则，，这组数据的方差为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 5. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5 6. 如图，在边长为2的等边三角形中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则 （ ） A. B. C. D. 7. 某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ） A. 1208平方米 B. 1448平方米 C. 1568平方米 D. 1698平方米 8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ） A. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C. 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D. 当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是 10. 已知函数（），下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的值域为 B. 当时，函数有最小值没有最大值 C. 当时，函数在区间上单调递增 D. 当时，函数的值域为 11. 已知，是单位向量，且，若向量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在上的投影向量的模为 D. 在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为________．（精确到0.1） 13. 乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则事件“且甲获胜”的概率为________． 14. 如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的值域. 16. 统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． （1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ （2）估计该地居民的月收入的中位数； （3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 17. 已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 18. 如图，四棱锥S­-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 19. 对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量.特别地，称为零向量.设，，定义数乘和加法：.对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关.否则，称这组向量线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； （3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： （ⅰ）如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； （ⅱ）如果，其中，则. 2024-2025学年第二学期高一年级期末教学质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．本试题共6页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】5.4 【13题答案】 【答案】0.1## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为 （2） 【16题答案】 【答案】（1）25 （2）3900 （3）3900 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】 （1）连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O­xyz如图． 设底面边长为a，则高SO＝a． 于是S，D，C ＝，＝， ∵·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD． （2）30°； （3）存在，SE∶EC＝2∶1，理由如下： 在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（2）知是平面PAC的一个法向量， 且＝，＝． 设＝t，则＝＋＝＋t ＝而·＝0⇔t＝， 即当SE∶EC＝2∶1时 ⊥，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC． 【19题答案】 【答案】（1）（ⅰ）线性相关，理由如下： 设，则可得，所以线性相关； （ⅱ）线性相关，理由如下： 设，则可得 所以，不妨取，所以线性相关； （ⅲ）线性相关，理由如下： 设， 则可得 解得，不妨取，所以线性相关. （2）线性无关，理由如下： 设， 则， 因为向量线性无关，所以解得， 所以向量线性无关. （3） （ⅰ），如果某个， 则. 因为任意个都线性无关，所以都等于0， 所以这些系数要么全为零，要么全不为零. （ⅱ）因为，所以全不为零， 所以由，可得， 代入， 可得， 所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $