专题 1.3 全等三角形的判定（3）（ 几何模型梳理 +题型精析 + 同步练习）基础知识专项突破讲练- 2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

全等三角形的判定（3） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】几何模型的理解 1 【知识点2】全等三角形几何模型梳理 1 二知识体系思维导图 3 三题型分类精析 4 【题型1】共顶点等角模型 4 【题型2】共线等边模型 4 【题型3】8字模型 5 【题型4】一线三直角模型 6 【题型5】一线三等角模型 7 【题型6】一线三直角与一线三等角综合模型 8 【题型7】手拉手模型 9 【题型8】倍长中线模型 10 【题型9】截长补短模型 11 【题型10】半角模型 12 四、同步练习​ 13 【基础巩固（8题）】 13 【能力提升（8题）】 15 【中考真题5题】 19 一、知识梳理 【知识点1】几何模型的理解 （1）定义：是基于几何图形的结构特征、位置关系及数量关系，经过抽象提炼后形成的标准化模式.（2）作用：它是将复杂几何问题转化为固定框架的重要工具，能帮助学生快速识别图形本质，调用对应定理或方法解决问题，具有可推广的解题思路与规律作用。 【知识点2】全等三角形几何模型梳理 名称 基本图形 条件 结论 共顶点 共线 8字型 一线三直角 一线三等角 手拉手 、是等边三角形 倍长中线 是中线，延长至，使，连接. 截长法 已知：在中，，. 在上截取连接. （1）； （2）是等腰三角形 （3） 补短法 已知：在中，，. 在延长线上截取连接. （1） （2）是等腰三角形； （3） 半角 , 二、知识体系思维导图 三、题型分类精析 【题型1】共顶点等角模型 【例题 1】（24-25九年级下·陕西汉中·期中）如图，在与中，于点于点．若，求的长． 【变式1】如图，，，．若，则 ． 【变式2】如图，在与中，且，，点B、C、E三点在同一直线上．若，则 ． 【题型2】共线等边模型 【例题2】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． （1）求证：： （2）若，求的度数． 【变式1】如图，已知，，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型3】8字模型 【例题 3】（2025·江苏镇江·二模）如图，，点在边上，和相交于点． （1）若，则_____°； （2）若，求证：． 【变式1】如图，和交于点，，则添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的高相交于点F，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型4】一线三直角模型 【例题4】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 【题型5】一线三等角模型 【例题 5】（2025·云南保山·模拟预测）在中，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为24，计算与的面积之和． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，为的边上一点．，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【题型6】一线三直角与一线三等角综合模型 【例题6】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． （1）试说明：； （2）如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. （3）如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【题型7】手拉手模型 【例题7】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在与中，，连接，二者相交于．判断与的关系，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． （1）如图1，求证：； （2）若，则 ； （3）如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【题型8】倍长中线模型 【例题 8】（2022八年级下·湖南长沙·竞赛）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC． 【变式1】（24-25八年级上·湖南永州·期末）如图，在中，点是边上的中点，，，则线段长度的取值范围为 ．             【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 如图，在中，若，．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线的取值范围是 ． 【题型9】截长补短模型 【例题 9】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，中，，，，平分交于，在截取，则的长为 ，的周长为 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为 ． 【题型10】半角模型 【例题10】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知在四边形中，，， （1）如图1，，E、F分别是边、上的点，线段、、之间的关系是______； （2）如图2，，E、F分别是边、上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，E、F分别是边、延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 四、同步练习​ 【基础巩固（8题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在与中，，，添加下列条件后，仍不能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东云浮·期末）如图，相交于点F，，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（   ） A．35 B． C．20 D．10 二、填空题 5．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，，，作于，若，则四边形的面积是 ． 三、解答题 7．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． （1）如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ （2）如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 8．（23-24九年级上·山东）如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： （1）； （2）． 【能力提升（8题）】 1．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． 2．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个结论：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组进行了如下操作： （1）如图，两个等腰三角形和中，，，，连接．此时和的数量关系是什么？并说明理由； （2）如图，两个等腰三角形和中，，．连接，两线交于点P，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在和中，． （1）和________兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，试说明，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，试判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日    晴 巧用中线构造全等数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是边上的中线，，，若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 在和中， 因为，，， 所以．所以． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是_________； （2）请你根据小亮的思路求出边的长度：_________（写出一个即可）； （3）迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为_________°． 6．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． （1）如图1，连接，试说明． （2）如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 【中考真题5题】 一、解答题 1．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 2．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 二、填空题 3．（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      三、单选题 4．（2018·江苏南京·中考真题）如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2019·山东滨州·中考真题）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全等三角形的判定（3） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】几何模型的理解 1 【知识点2】全等三角形几何模型梳理 1 二知识体系思维导图 3 三题型分类精析 3 【题型1】共顶点等角模型 3 【题型2】共线等边模型 6 【题型3】8字模型 9 【题型4】一线三直角模型 11 【题型5】一线三等角模型 14 【题型6】一线三直角与一线三等角综合模型 17 【题型7】手拉手模型 23 【题型8】倍长中线模型 26 【题型9】截长补短模型 30 【题型10】半角模型 32 四同步练习 40 【基础巩固（8题）】 40 【能力提升（8题）】 47 【中考真题5题】 63 一、知识梳理 【知识点1】几何模型的理解 （1）定义：是基于几何图形的结构特征、位置关系及数量关系，经过抽象提炼后形成的标准化模式.（2）作用：它是将复杂几何问题转化为固定框架的重要工具，能帮助学生快速识别图形本质，调用对应定理或方法解决问题，具有可推广的解题思路与规律作用。 【知识点2】全等三角形几何模型梳理 名称 基本图形 条件 结论 共顶点 共线 8字型 一线三直角 一线三等角 手拉手 、是等边三角形 倍长中线 是中线，延长至，使，连接. 截长法 已知：在中，，. 在上截取连接. （1）； （2）是等腰三角形 （3） 补短法 已知：在中，，. 在延长线上截取连接. （1） （2）是等腰三角形； （3） 半角 , 二、知识体系思维导图 三、题型分类精析 【题型1】共顶点等角模型 【例题 1】（24-25九年级下·陕西汉中·期中）如图，在与中，于点于点．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，由垂线的定义得到，再证明，即可利用证明，由全等三角形的性质即可得到． 解：于点于点， ． ， ， ． 在和中， ， ． ， ． 【变式1】如图，，，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 证明，则，，则，根据，计算求解即可． 解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，在与中，且，，点B、C、E三点在同一直线上．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，结合和三角形的内角和定理，求出的度数，进行求出的度数即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型2】共线等边模型 【例题2】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． （1）求证：： （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析 ；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意推出，，即可求证； （2）根据题意推出结合，得；根据，即可求解； 解：（1）证明：∵， ∴，即； ∵． ∴， ∵A ∴； （2）解：∵， ∴； ∵ ∴ ∵， ∴； ∴， ∴ 【变式1】如图，已知，，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件可以得到，，然后添加选项中的条件，写出能判断三角形全等的依据即可． 解：， ， ， ， ∴添加时，无法证明，故选项A符合题意； 添加时，可得，故选项B不符合题意； 添加时，可得，故选项C不符合题意； 添加时，可得，故选项D不符合题意， 故选：A． 【变式2】如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 利用“”证，依据全等三角形对应角相等，得．分析线段关系，判断不成立．由全等得，进而推出．根据全等三角形面积相等，得，统计正确结论个数． 解：∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴①正确． ∵， ∴， ∴②正确． 由前面已证，仅根据已知条件无法得出， ∴③错误． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴④正确． 由于，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等， ∴， ∴⑤正确． 综上，①②④⑤正确，正确的个数是4个， 故选：B． 【题型3】8字模型 【例题 3】（2025·江苏镇江·二模）如图，，点在边上，和相交于点． （1）若，则_____°； （2）若，求证：． 【答案】（1）36；（2）见分析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握上述基础知识是解题的关键； （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）先根据三角形的外角性质得到，然后即可证明． 解：（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：，即， 而， ， 在和中， ， ． 【变式1】如图，和交于点，，则添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得． 解：A、两组相等的边的夹角与不一定相等，所以不能判定，则此项符合题意； B、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； C、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； D、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的高相交于点F，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 解：∵的高相交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【题型4】一线三直角模型 【例题4】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 【答案】；直角三角形两锐角互余；；同角的余角相等；；全等三角形对应边相等． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，找条件证明是解题的关键．证明。得到，即可得到结论． 解：， ， （直角三角形两锐角互余）， ， ， （同角的余角相等）， 在和中， ， ， ， （全等三角形对应边相等） ． 故答案为：；直角三角形两锐角互余；；同角的余角相等；；全等三角形对应边相等． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，利用直角三角形两锐角互余结合平角的定义进一步证明，根据全等三角形的性质即可求出答案． 解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故A，B，D正确， C错误， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、熟练掌握性质定理是解题的关键．根据垂直的定义及平行线的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，再次利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案． 解：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型5】一线三等角模型 【例题 5】（2025·云南保山·模拟预测）在中，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为24，计算与的面积之和． 【答案】8 本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的面积求法等知识点，掌握等高三角形面积的关系成为解题的关键． 先证明得到与的面积之和等于与的面积和，根据与等高且底边比为得出与面积比为，进而求得的面积即可． 【分析】解：∵，，， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∴与的面积之和与的面积之和， ∵的面积为24，， ∴的面积， ∴与的面积之和的面积． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，为的边上一点．，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，先证明，得到，再根据三角形的外角的性质和角的和差关系求出，即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【变式2】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 解：A．满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选：D． 【题型6】一线三直角与一线三等角综合模型 【例题6】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． （1）试说明：； （2）如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. （3）如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1）见分析 ；（2）成立，见分析 ；（3）8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，分情况根据全等三角形的判定与性质求解即可． 解：①点B在上时，作，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 根据题意知，， 设，则， ∴， ∴, ∴； ②如图，点B在的延长线上，作于M， 用①中同样的解法可以得到， 设， ∴, ∴． 故答案为：3或． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析   （2）；证明见分析   （3）；理由见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【题型7】手拉手模型 【例题7】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见分析 ；（2）证明见分析 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 解：（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在与中，，连接，二者相交于．判断与的关系，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、垂直的判定与性质等知识，先由直角三角形两锐角互余得到，等量代换得到，进而由两个三角形全等的判定与性质得到，最后由直角三角形两锐角互余、等量代换确定即可得到答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、垂直的判定与性质等知识是解决问题的关键． 解：， 理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． （1）如图1，求证：； （2）若，则 ； （3）如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等； （1）由可判定，即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 解：（1）证明：， ， ， 在和中 ， （）； （2）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型8】倍长中线模型 【例题 8】（2022八年级下·湖南长沙·竞赛）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC． 【答案】见分析 【分析】先通过延长CD到F使DF=CD，连接AF，构造出△BCD的全等三角形△AFD，由全等三角形性质可得∠F=∠BCD，BC=AF，又根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到CD=BD，∠B=∠BCD，由等量代换和等角对等边就可推出AE=BC． 解：证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，如图 ∵CD是△ABC的中线， ∴AD=BD， 在△ADF与△BCD中， ， ∴△ADF≌△BDC（SAS）， ∴∠F=∠BCD，BC=AF， ∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线， ∴CD=BD， ∴∠B=∠BCD， 又∵∠AED=∠B ∴∠AED=∠BCD， ∵△ADF≌△BDC， ∴∠F=∠BCD， ∴∠AED=∠F ， ∴AE=AF， ∵BC=AF， ∴AE=BC． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，能正确构造出全等三角形是做出本题的重点． 【变式1】（24-25八年级上·湖南永州·期末）如图，在中，点是边上的中点，，，则线段长度的取值范围为 ．             【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围，即可得出的取值范围即可． 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵点是边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 如图，在中，若，．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据证明，得出，根据三角形三边关系即可得到结论． 解：延长至E，使，连接， ， ∵是边上的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ， 在中，， ， ， 故答案为：，； 【题型9】截长补短模型 【例题 9】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质和三角形中角与边的关系，在上截取，连接，证明，再证明即可得出结论． 解：证明：在上截取，连接，如图， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，中，，，，平分交于，在截取，则的长为 ，的周长为 ． 【答案】 2 7 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是证明．利用已知条件求解，证明，得到，从而，即可求得的周长． 解：∵，，，， ∴， ∵平分交于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：2，7． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在线段上取点，使得，证明得，再由三角形的三边关系得，从而当，，在同一直线上时，取最大值，从而问题得解． 解：如图，在线段上取点，使得，连接． 因为点在的平分线所在的直线上， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为， 所以当点，，在同一直线上时，取最大值为的长， 所以， 所以的最大值为2． 故答案为：2． 【题型10】半角模型 【例题10】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知在四边形中，，， （1）如图1，，E、F分别是边、上的点，线段、、之间的关系是______； （2）如图2，，E、F分别是边、上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，E、F分别是边、延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）成立，证明见分析 ；（3）不成立，，证明见分析 ； 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至点，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论； （2）延长至点，使得，连接，证明，得到，，同（1）理可得，，即可证明结论； （3）在上取点，使得，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论． 解：（1）解：如图，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， 同（1）理可得，， ； （3）解：（1）中的结论不成立，，证明如下： 如图，在上取点，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ． 四、同步练习​ 【基础巩固（8题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在与中，，，添加下列条件后，仍不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 解：A、在与中，，故，不符合题意； B、∵，∴，即，在与中，，故，不符合题意； C、添加无法证明，故符合题意； D、在与中，，故，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东云浮·期末）如图，相交于点F，，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由证明，根据全等三角形的性质求出，由平行线的性质得，则，然后由三角形外角性质即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题综合运用了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 解：延长至，使，连接． 在与中， ， ， ， 在中，， 即，， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（   ） A．35 B． C．20 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，三角形的面积公式等知识点，由,得,因为,所以,而,即可证明,得,可求得,于是得到问题的答案，证明出是解题的关键. 解：, , , , 在和中， , , , , , , 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】，，（其中一个即可）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法解答即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴添加，或其中一个，即可推出， 故答案为：，，（其中一个即可）． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，，，作于，若，则四边形的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，多边形内角和，过点作交延长线于点，证明，将四边形的面积转化为四边形的面积即可解答． 解：过点作交延长线于点， ， ． ，， ， ， 在和中， ， ，， ，即， ． 故答案为：． 三、解答题 7．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． （1）如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ （2）如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），理由见分析 ；（2）（1）中结论仍然成立，证明见分析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 解：（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24九年级上·山东）如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析 ；（2）见分析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出． （1）根据等边三角形的性质得出，，，求出，根据推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，代入求出即可． 解：（1）证明∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 【能力提升（8题）】 1．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． 【答案】（1）证明见分析 ；（2）证明见分析 【分析】（1）由、，得到两角互余，等量代换得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由、，得到两角互余，等量代换得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及互余定义、直角三角形两锐角互余、垂直定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形全等判定与性质是解决问题的关键． 2．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个结论：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组进行了如下操作： （1）如图，两个等腰三角形和中，，，，连接．此时和的数量关系是什么？并说明理由； （2）如图，两个等腰三角形和中，，．连接，两线交于点P，则 ． 【答案】（1），理由见分析 ；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）先证明，再利用证明，即可证明； （2）同理可证明，得到；由三角形内角和定理可得，则可导角证明，则由三角形外角的性质可得．- 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见分析 ；（3）或或； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 解：（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在和中，． （1）和________兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，试说明，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，试判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：． 【答案】（1）是；（2）①；②见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 解：（1）解：∵， ， 又 ∵， ∴和是兄弟三角形； （2）证明：①． 延长至，使， ∵为的中点， ， 在和中， ， ， ． ②∵， ， ， ， 又 ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ∵， ． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日    晴 巧用中线构造全等数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 在和中， 因为，，， 所以．所以． 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是_________； （2）请你根据小亮的思路求出边的长度：_________（写出一个即可）； （3）迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为_________°． 【答案】（1）边角边（或）；（2）1（或3）；（3）88 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 解：（1）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； （2）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； （3）解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以， ∴． 6．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． （1）如图1，连接，试说明． （2）如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 【答案】（1）见分析 ；（2）见分析 ；（3）4 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）根据已知证明，，即得； （2）根据，，得，结合，证明； （3）由（2）可得，，得出，由（1）得，即得的面积为4． 解：（1）证明：， ， ∵ ， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）全等，理由如下： 证明：，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图，连接， ， ， ∴ ∵ ∴ 由（1） ∴ 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 【答案】（1）证明见分析 （2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 解：证：（1）选第一个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； 选第二个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为4， ∴． （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即边上的高为1， ∴． 【中考真题5题】 一、解答题 1．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 解：证明：， ． 在和中， ， ， ． 2．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 解：证明：， ，即， 在和中， ， ． 二、填空题 3．（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【分析】证明，得到，即可得解． 解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 三、单选题 4．（2018·江苏南京·中考真题）如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：如图， ∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠1=∠2， 又∵∠3=∠4， ∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3， 即∠A=∠C． ∵BF⊥AD， ∴∠CED=∠BFD=90°， ∵AB=CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF=CE=a，ED=BF=b， 又∵EF=c， ∴AD=a+b-c． 故选：D． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键． 5．（2019·山东滨州·中考真题）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明; ②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分. 解：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得： ∴°，②正确； 作于，于，如图所示 则°， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分，④正确； 正确的个数有3个； 故选B． 【点拨】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$