专题 1.3 全等三角形的判定（2）（ 辅助线构造技巧 +题型精析 + 同步练习）基础知识专项突破讲练- 2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

全等三角形的判定（2） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】辅助线的理解 1 【知识点2】全等三角形判定的辅助线常用方法与技巧 1 二思维导图 2 三题型分类精析 2 【题型1】连接两点 2 【题型2】延长相交 3 【题型3】作平行线 3 【题型4】作垂直 4 【题型5】截长补短 5 【题型6】倍长中线 6 【题型7】多种辅助线综合 7 四同步练习​ 8 【巩固训练14题】 8 一、知识梳理 【知识点1】辅助线的理解 辅助线：在解几何题中，依据题设条件与结论，通过添加的辅助性线段，搭起已知与未知的桥梁，清晰地理解图形结构，寻求解题思路的方法。 【知识点2】全等三角形判定的辅助线常用方法与技巧 方法1：连接两点：连接两个顶点，形成公共边或新三角形； 技巧：当条件分散在不同顶点时，连接两顶点形成公共边，快速构造 “已有两边相等 + 公共边” 的全等条件. 方法2：延长相交：构成新三角形全等； 技巧：当遇到角平分线时，延长相交构造三角形全等进行线段的转化. 方法3：作平行线：利用平行性质转化角或线； 技巧：过中点或角平分线作平行线，利用 “同位角 / 内错角相等” 转化角，搭配已知边证 ASA/AAS 全等. 方法4：作垂线：构造直角三角形全等； 技巧：角平分线上的点向两边作垂线，利用 “角平分线性质 + 直角” 证 AAS 全等；或构造直角三角形用 HL 判定。 方法5：截长补短法：截长法或补短法证明三角形全等； 技巧：截长：在长线段上截出短线段，证剩余部分相等；补短：延长短线段至长线段长度，证延长部分相等。 方法6：倍长中线：构造三角形全等。 技巧：中线延长一倍后，连接对应顶点，形成 “对顶三角形”，利用 SAS 证全等. 二、思维导图 三、题型分类精析 【题型1】连接两点 【例题 1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，点、分别为的边、上的点，，，，，则的度数为 ． 【变式1】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知，则 ． 【题型2】延长相交 【例题2】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，，，延长交于点E，则 度． 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，平分，于点，连接，若的面积为8，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【题型3】作平行线 【例题3】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在中，点M、P分别是边的中点，． （1）请用圆规和无刻度直尺，过点作的平行线，交于点；（保留作图痕迹） （2）求证：． 【变式1】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 【题型4】作垂直 【例题4】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【题型5】截长补短 【例题 5】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，与交于点O．请判断之间的数量关系： ． 【变式2】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，平分，且，当时， ． 【题型6】倍长中线 【例题6】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【变式1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，为边上的中线． （1）请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 【题型7】多种辅助线综合 【例题7】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，和的角平分线交于点，若，，则点与点的距离为 ． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .    四、同步练习​ 【巩固训练14题】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在的正方形网格唎，每个小正方形的顶点叫作格点，点均为格点，连接，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，五边形中，，，，M为边的中点，，，则五边形的面积为（   ）． A．30 B．28 C．24 D．20 6．（22-23八年级上·湖南永州·期中）如图，，，则下列结论错误的是（    ） A．≌ B．≌ C． D． 7．（19-20八年级下·山东济宁·期末）如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 10．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 三、解答题 11．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 12．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）在四边形中，，E，F分别是上的点，，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 13．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 14．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． （1）如图，和的关系为___________． （2）如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【中考模拟5题】 一、单选题 1．（2021·浙江·一模）如图，在正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不与点B和点C重合），连接AP，作PF⊥AP，使PF＝AP，连接FC，∠FCD的度数（    ） A．不变 B．随着BP的增大而增大 C．随着BP的增大而减小 D．随着BP的增大，先增大后减小 2．（19-20八年级·浙江·期末）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°． 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 3．（2015·山东泰安·二模）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 4．（2020·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，于点，若，，，则四边形的面积是 ． 三、解答题 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全等三角形的判定（2） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】辅助线的理解 1 【知识点2】全等三角形判定的辅助线常用方法与技巧 1 二思维导图 2 三题型分类精析 2 【题型1】连接两点 2 【题型2】延长相交 5 【题型3】作平行线 7 【题型4】作垂直 11 【题型5】截长补短 15 【题型6】倍长中线 19 【题型7】多种辅助线综合 22 四同步练习​ 28 【巩固训练14题】 28 【中考模拟5题】 50 一、知识梳理 【知识点1】辅助线的理解 辅助线：在解几何题中，依据题设条件与结论，通过添加的辅助性线段，搭起已知与未知的桥梁，清晰地理解图形结构，寻求解题思路的方法。 【知识点2】全等三角形判定的辅助线常用方法与技巧 方法1：连接两点：连接两个顶点，形成公共边或新三角形； 技巧：当条件分散在不同顶点时，连接两顶点形成公共边，快速构造 “已有两边相等 + 公共边” 的全等条件. 方法2：延长相交：构成新三角形全等； 技巧：当遇到角平分线时，延长相交构造三角形全等进行线段的转化. 方法3：作平行线：利用平行性质转化角或线； 技巧：过中点或角平分线作平行线，利用 “同位角 / 内错角相等” 转化角，搭配已知边证 ASA/AAS 全等. 方法4：作垂线：构造直角三角形全等； 技巧：角平分线上的点向两边作垂线，利用 “角平分线性质 + 直角” 证 AAS 全等；或构造直角三角形用 HL 判定。 方法5：截长补短法：截长法或补短法证明三角形全等； 技巧：截长：在长线段上截出短线段，证剩余部分相等；补短：延长短线段至长线段长度，证延长部分相等。 方法6：倍长中线：构造三角形全等。 技巧：中线延长一倍后，连接对应顶点，形成 “对顶三角形”，利用 SAS 证全等. 二、思维导图 三、题型分类精析 【题型1】连接两点 【例题 1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，点、分别为的边、上的点，，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连结，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案． 解：连结， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知，则 ． 【答案】 【分析】连接，由“”可证，可得． 解：如图，连接， ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点拨】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键． 【题型2】延长相交 【例题2】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；延长和相交于点，构造出，从而求出的值；，根据当时，有最大值求解即可； 解：延长和相交于点，如图：    ∵ 是 的角平分线 ∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，，，延长交于点E，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，先根据证明，得出，然后根据等式的性质可得出，最后结合垂直的定义即可求解． 解：延长交于F， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，平分，于点，连接，若的面积为8，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的定义，关键是判定，推出． 延长交于，判定，推出，得到的面积的面积，的面积的面积，即可得出． 解：延长交于， 平分， ， 于点， ， ， ， ， 的面积的面积，的面积的面积， ． 故选：B． 【题型3】作平行线 【例题3】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在中，点M、P分别是边的中点，． （1）请用圆规和无刻度直尺，过点作的平行线，交于点；（保留作图痕迹） （2）求证：． 【答案】（1）见分析 ；（2）见分析 【分析】本题考查尺规作图—作平行线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用尺规作图作，即可； （2）连接，证明，即可得证． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      【答案】 【分析】过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、、共线时，有最小值，即可求解． 解：如图，过点作于，过点作， ∴， ∵四边形是长方形也就是矩形，，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在平行且到距离为的直线上运动， 当点、、共线时，，则，此时有最小值， 此时， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：．      【点拨】本题考查长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解． 解：如图，过B点在下方作，且，链接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当A、M、H三点共线时，值最小， 如图， 此时∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键． 【题型4】作垂直 【例题4】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 解：如图，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理构造全等三角形是解题的关键． 根据题意过点作延长线与点，则，可证，得到，由，即可求解． 解：如图所示，过点作延长线与点，则， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若要求的面积，则需要添加的条件是的长度， 故选： ． 【题型5】截长补短 【例题 5】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，补角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键. 延长到点G，使，连接，证明，得，，再利用证明，得，从而解决问题． 解：如图，延长到点G，使，连接， ，， ， 又，， ∴， ，， 若， 则， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，与交于点O．请判断之间的数量关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；根据三角形内角和定理求得，则，在上取一点，使，证，，利用全等三角形的性质即可得出结论 解：∵ ∴ ∴ 在上取一点，使， 在与中： ， ， ， ∵ , 在与中： ， ， . 即 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，平分，且，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，以及三角形的外角等于不相邻的两个内角之和．作出辅助线是解答本题的关键． 先在上截取，连接．求出，证明，进一步得到，则，即，再由三角形内角和定理即可求出答案． 解：在上截取，连接 ∵平分，， ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 【题型6】倍长中线 【例题6】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．全等三角形对应边相等． 延长至点E，使，通过证明得出，根据三角形三边之间的关系即可解答． 解：延长至点E，使， ∵是的边上的中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，为边上的中线． （1）请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 【答案】（1）见分析 ；（2）；；2；1 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的三边关系，尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质得到，，然后在由三边关系求出 ，即可求出线段的取值范围． 解：（1）解：如图所示： （2）解：为边上的中线， ． 在和中 ， ， ． 在中，， ． ， ． 故答案为：；；2；1． 【题型7】多种辅助线综合 【例题7】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可． 解：如图①，过点E作交于点M，则 ∵ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图②，过点E作于点M，则 ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图③， ∵ ∴ ∴是钝角， 过点F作，垂足为点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 综上，面积最小的是D选项， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，和的角平分线交于点，若，，则点与点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．由题易得平分，进而根据得到，所以，进而再根据角平分线构造全等，在上截取，证，进而得，然后利用线段的和差运算即可得解． 解：如图，连接并延长，交于点，在上截取， 是和的角平分线的交点， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .    【答案】/65度 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交 的角平分线于点，连结，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可． 解：如图，延长交 的角平分线于点，连接．   平分，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 四、同步练习​ 【巩固训练14题】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在的正方形网格唎，每个小正方形的顶点叫作格点，点均为格点，连接，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，可证明得到，由，可得，据此可判断A；再由即可判断B、C、D． 解：如图所示，取格点E， 由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故A错误； 由网格的特点可得， ∴，，故C错误； ∴，，故B错误 ∵， ∴，故D正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可． 解：如图①，过点E作交于点M，则 ∵ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图②，过点E作于点M，则 ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图③， ∵ ∴ ∴是钝角， 过点F作，垂足为点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 综上，面积最小的是D选项， 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，垂线段最短，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键．在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 当点、、在同一直线上，且时，， ， ， ， ， 故选：． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，五边形中，，，，M为边的中点，，，则五边形的面积为（   ）． A．30 B．28 C．24 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，全等三角形的判定和性质，添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．延长到F，使，连接、、，易证，，，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可． 解：如图，延长到F，使，连接、、， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴，   在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的面积 = ． 故选：A． 6．（22-23八年级上·湖南永州·期中）如图，，，则下列结论错误的是（    ） A．≌ B．≌ C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形的判定和性质逐一选项判断即可． 解：在和中， ， ∴≌（），故选项A正确，不合题意；     连接， ∵≌（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项C正确，不合题意； ∵，证不出， ∴选项D错误，符合题意； 在和中， ∴≌（），故选项B正确，不合题意； 故选：D 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键． 7．（19-20八年级下·山东济宁·期末）如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点，连接，先证明，得出，再证明得出，最后证明是等腰直角三角形，得出，从而得出即可． 解：取格点，连接， 由已知条件可知：， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, 即， 故选：． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，所求角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到点，使，连接、，则，因为，，所以，，而，即可证明，得，，再推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 解：延长到点，使，连接、， 则， ，， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 解：证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 12．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）在四边形中，，E，F分别是上的点，，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】．理由见分析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理，正确作出辅助线构造全等三角形，是解题关键． 延长到点G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 解：．理由： 如图，延长到点G，使，连接． ∵四边形中，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 13．（24-25七年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见分析 （4），证明见分析 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）如图2，延长至点F，使，连接，同理得，则，证明，即可得结论； （4）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 解：（1）∵， ∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． （1）如图，和的关系为___________． （2）如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【答案】（1），；（2）结论仍然成立，理由见分析 ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 解：（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【中考模拟5题】 一、单选题 1．（2021·浙江·一模）如图，在正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不与点B和点C重合），连接AP，作PF⊥AP，使PF＝AP，连接FC，∠FCD的度数（    ） A．不变 B．随着BP的增大而增大 C．随着BP的增大而减小 D．随着BP的增大，先增大后减小 【答案】A 【分析】过点F作FH⊥BC交BC延长线于H，证明△ABP≌△PHF，得到BP=HF，AB=PH，从而证得CH=FH，得到∠FCH=45°，即∠DCF=45°． 解：如图所示，过点F作FH⊥BC交BC延长线于H， ∵四边形ABCD是正方形，PF⊥AP ∴AB=BC，∠B=∠FHP=∠APF=90°， ∴∠APB+∠BAP=90°，∠APB+∠FPH=90°， ∴∠BAP=∠HPF， 又∵PA=AP， ∴△ABP≌△PHF（AAS）， ∴BP=HF，AB=PH， ∴PH=BC即BP+CP=PC+CH， ∴BP=CH， ∴CH=FH， ∴∠FCH=45°， ∴∠DCF=45°， 故选A． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．（19-20八年级·浙江·期末）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°． 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】作于点，于点，延长，取，连接，先证明，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到，结合等边对等角得到，再由角平分线的性质证得，最后根据三角形面积公式解题即可. 解：如图，作于点，于点，延长，取，连接， 故选：C. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键. 二、填空题 3．（2015·山东泰安·二模）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 4．（2020·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，于点，若，，，则四边形的面积是 ． 【答案】40 【分析】根据∠ABC+∠ADC =180°，∠ADF+∠ADC=180°，可知∠ABC=∠ADF，根据全等三角形的判定，不难推出△ABE≌△ADF，则AE=AF；观察图形可知，，根据三角形面积公式进行计算，即可求出四边形ABCD的面积． 解：过A点作AF⊥CD交CD延长线于F，连接AC， ∵∠ABC+∠ADC =180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADF. ∵， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∴ =×BC×AE+×CD×AF = 故答案为：40． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定、三角形的面积计算，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与面积的计算． 三、解答题 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 【答案】（1）．（2）．（3），理由见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的． （1）设，则，延长到点，使，连接，证明，即可解答； （2）延长到点，使，连接，证明，，即可解答； （3）在上截取，连接，同理得，，即可解答． 解：（1），理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）三条线段间的数量关系为：，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$