专题 1.3 全等三角形的判定（1）（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 1.3 全等三角形的判定（1） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） 1 【知识点2】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） 2 【知识点3】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） 2 【知识点4】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） 3 【知识点5】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） 3 【知识点6】三角形全等的判定方法的选择 4 【知识点7】找等角和等边常用途径 4 二思维导图 4 三题型分类精析 4 1. 基础判定型 —— 直接应用判定方法（难度系数0.85） 4 【题型1】已知三边相等（SSS） 4 【题型2】已知两边及夹角相等（SAS） 5 【题型3】已知两角及夹边相等（ASA） 6 【题型4】已知两角及一角对边相等（AAS） 7 【题型5】直角三角形 HL 判定 7 2. 条件隐含型 —— 挖掘隐藏相等关系（难度系数0.85） 8 【题型6】隐含公共边或公共角 8 【题型7】隐含对顶角（邻补角）或垂直关系 9 【题型8】隐含中点或角平分线 10 3. 组合条件型 —— 多条件综合应用（难度系数0.65） 10 【题型9】先证角相等再证全等 10 【题型10】先证边相等再证全等 12 四同步练习 13 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 13 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 17 【中考真题】（5题） 20 一、知识梳理 【知识点1】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， （3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来 【知识点2】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， （3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【知识点3】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【知识点4】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）重点强调：三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【知识点5】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） （1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. （2）书写格式：如图，在Rt△ABC和△Rt中， 【知识点6】三角形全等的判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS HL （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【知识点7】找等角和等边常用途径 （1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等. （2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等. 二、思维导图 三、题型分类精析 1. 基础判定型 —— 直接应用判定方法（难度系数0.85） 【题型1】已知三边相等（SSS） 【例题 1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，、、三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2】已知两边及夹角相等（SAS） 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图．若，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在的正方形网格中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，中，，，，若，求的度数． 【题型3】已知两角及夹边相等（ASA） 【例题3】（22-23七年级下·广东）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，判断△ABO≌△DCO的最佳依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【变式1】（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 【题型4】已知两角及一角对边相等（AAS） 【例题4】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是 ． 【变式1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，与相交于点，不添加辅助线，能直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【题型5】直角三角形 HL 判定 【例题 5】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点D，于点，且，，求证：． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ． 2. 条件隐含型 —— 挖掘隐藏相等关系（难度系数0.85） 【题型6】隐含公共边或公共角 【例题6】（四川省达州市经开区2024--2025学年下学期期末考试七年级数学试卷）如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 【变式1】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，D、E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【题型7】隐含对顶角（邻补角）或垂直关系 【例题7】（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，．求证：． 【变式1】（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【题型8】隐含中点或角平分线 【例题8】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，为边的中点，过点作交的延长线于点．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则 ． 3. 组合条件型 —— 多条件综合应用（难度系数0.65） 【题型9】先证角相等再证全等 【例题9】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，与交于点，连接，，M和分别为和上的点，且，，． （1）若，求证：． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，于点，于点，．    （1）求证：； 证明过程： ， ， ________（同角的余角相等） 在和中， （   ） （2）若，，求的长． 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）将一个等腰直角三角板的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点向l作垂线，现要探究两垂线段长度与两垂足间距离的数量关系． 已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为E． （1）如图1，线段，，之间的数量关系是____________________； （2）如图2，此情形下（1）的结论是否仍然成立?并说明理由； （3）如图3，此情形下若，，求阴影部分的面积． 【题型10】先证边相等再证全等 【例题10】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）填补下列证明过程． 如图，中，D是边的中点，延长到点E，使． （1）求证：． 证明：∵D是边的中点（已知） ∴ ． 在和中 ∴ （ ）． （2）如果，则的取值范围是 ． 【变式1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． （1）求证：． （2）求证：G是线段的中点． 【变式2】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 四、同步练习​ 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 4．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 5．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）同学们学习完“三角形全等”的知识后，数学王老师在多媒体上出示了一道试题，下面是四位同学的答案，其中错误的是（    ） ，_______ （添加一个条件，使结论成立）， ． A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 二、填空题 7．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    9．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，过点C作平行于的直线交的延长线于点F．若，，，则的长是 ． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰中，，点D在边上，且，点E、F在线段上，满足，若，则 ． 11．（20-21八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在2×2的正方形网格中，线段、的端点为格点，则 °. 12．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，，，，连接与交于，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，点E、F在上，且，，，与相交于点O，求证：． 14．（2025·江苏无锡·三模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 15．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 16．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，中，，垂足分别为． （1）能证明和全等吗？为什么？ （2）若不能证明和全等，在不增加辅助线的情况下，请添加一个适当的条件，使这两个三角形全等，这个条件是______，写出证明过程． 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 一、单选题 1．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建三明·期中）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ． 7．（2025·重庆渝中·二模）如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则 ． 8．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 三、解答题 9．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）在中，，点D是线段上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，若， ①试说明：； ②判断与的位置关系_______，并说明理由； （2）设，（如图2），则，之间有怎样的数量关系?请直接写出结论． 10．（17-18八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； （1）特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； （2）归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 【中考真题】（5题） 一、单选题 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·重庆·中考真题）如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 三、解答题 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 5．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.3 全等三角形的判定（1） 目录导航 一知识梳理 1 【知识点1】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） 1 【知识点2】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） 2 【知识点3】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） 2 【知识点4】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） 3 【知识点5】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） 3 【知识点6】三角形全等的判定方法的选择 4 【知识点7】找等角和等边常用途径 4 二思维导图 4 三题型分类精析 4 1. 基础判定型 —— 直接应用判定方法（难度系数0.85） 4 【题型1】已知三边相等（SSS） 4 【题型2】已知两边及夹角相等（SAS） 6 【题型3】已知两角及夹边相等（ASA） 9 【题型4】已知两角及一角对边相等（AAS） 11 【题型5】直角三角形 HL 判定 12 2. 条件隐含型 —— 挖掘隐藏相等关系（难度系数0.85） 14 【题型6】隐含公共边或公共角 14 【题型7】隐含对顶角（邻补角）或垂直关系 16 【题型8】隐含中点或角平分线 18 3. 组合条件型 —— 多条件综合应用（难度系数0.65） 21 【题型9】先证角相等再证全等 21 【题型10】先证边相等再证全等 24 四同步练习 27 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 27 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 40 【中考真题】（5题） 51 一、知识梳理 【知识点1】三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， （3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来 【知识点2】三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， （3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【知识点3】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【知识点4】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）重点强调：三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【知识点5】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL） （1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. （2）书写格式：如图，在Rt△ABC和△Rt中， 【知识点6】三角形全等的判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS HL （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【知识点7】找等角和等边常用途径 （1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等. （2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等. 二、思维导图 三、题型分类精析 1. 基础判定型 —— 直接应用判定方法（难度系数0.85） 【题型1】已知三边相等（SSS） 【例题 1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 解：证明：在和中， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到两三角形全等即可解题． 解：因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有C选项与的各边都相等， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，、、三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质及邻补角即可求出最后结果． 解：如图， 在与中， ， ， ，， ∴在中，由三角形性质得：， ∴， 故选：D． 【题型2】已知两边及夹角相等（SAS） 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图．若，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，证明，由全等三角形的性质得出，，根据线段的和差即可得出答案． 解：在和中， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在的正方形网格中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，根据网格的特点，结合全等三角形的判定定理得出，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余即可求解． 解：如图： 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，中，，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理是解题的关键． 先证明，可得，再由三角形内角和定理，可得，即可求解． 解：在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 【题型3】已知两角及夹边相等（ASA） 【例题3】（22-23七年级下·广东）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，判断△ABO≌△DCO的最佳依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【答案】C 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案． 解：，， ， 在和中， ， ， 则证明的依据的是， 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确掌握全等三角形的判定方法． 【变式1】（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本题已知两个角相等，根据全等三角形判定条件，当时，即可通过角边角求证； 解：当时， 在和中， ， ∴， ∴当时，可证， 故答案为：； 【题型4】已知两角及一角对边相等（AAS） 【例题4】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，与相交于点，不添加辅助线，能直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定．利用全等三角形的判定定理，判断即可． 解：在和中， ∴ 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5】直角三角形 HL 判定 【例题 5】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点D，于点，且，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键． 直接用定理得出结论即可． 解：证明：∵，， ∴和为直角三角形． 和中， ∵ ∴． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 【变式2】（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 2. 条件隐含型 —— 挖掘隐藏相等关系（难度系数0.85） 【题型6】隐含公共边或公共角 【例题6】（四川省达州市经开区2024--2025学年下学期期末考试七年级数学试卷）如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 解： 即 在和中， 故选C． 【变式1】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，D、E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不想邻的两个内角的和等知识，设交于点G，由得，证明，再利用外角的性质求解即可． 解：设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 【题型7】隐含对顶角（邻补角）或垂直关系 【例题7】（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理． 利用判定全等即可． 解：证明：在和中 ， ∴． 【变式1】（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故选：A． 【题型8】隐含中点或角平分线 【例题8】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，为边的中点，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、中点的定义、全等三角形的判定（AAS）和性质．解题的关键在于利用平行线性质找出角的关系，结合中点得到的边的关系，通过证明三角形全等得出对应边相等的结论． 由，根据两直线平行，内错角相等的性质，得， ．已知 为边 的中点，根据中点的定义，可知 ．证明 得 ． 解：∵ （已知）， ∴， ． ∵ 为 中点（已知）， ∴ ． 在 和 中： ∴ ． ∴ ． 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．由平分，得，即可证明，得，所以，则，所以． 解：平分， ． 在和中， ， ． ． ． ， ． ． ． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】先由三角形的内角和定理得，又是的角平分线，则，从而证明，再由全等三角形的性质可得，然后通过三角形的外角性质即可求解． 解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 3. 组合条件型 —— 多条件综合应用（难度系数0.65） 【题型9】先证角相等再证全等 【例题9】（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，与交于点，连接，，M和分别为和上的点，且，，． （1）若，求证：． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析 ；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）根据平行线的性质和对顶角相等得，然后利用平角的定义和等量代换得，利用即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质及线段和和差关系即可得出答案； 解：（1）解：证明：， ． ， ∴， ，， ， 在和中， ， ； （2）由（1）知， ， ，， ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，于点，于点，．    （1）求证：； 证明过程： ， ， ________（同角的余角相等） 在和中， （   ） （2）若，，求的长． 【答案】（1），，，；（2） 【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后利用即可得出结论，据此补全证明过程即可； （2）由（1）可得，利用全等三角形的性质可得，，然后根据即可求出的长． 解：（1）证明：，， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）可得：， ，， ， 的长为． 【点拨】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）将一个等腰直角三角板的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点向l作垂线，现要探究两垂线段长度与两垂足间距离的数量关系． 已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为E． （1）如图1，线段，，之间的数量关系是____________________； （2）如图2，此情形下（1）的结论是否仍然成立?并说明理由； （3）如图3，此情形下若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）不成立，见分析 ；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，，再结合，即可得解； （2）证明得出，，再结合，即可得解； （3）由（2）结论可知，，再由三角形面积公式计算即可得解． 解：（1）解：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴； （2）解：不成立； 理由：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：由（2）结论可知，， ． 【题型10】先证边相等再证全等 【例题10】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）填补下列证明过程． 如图，中，D是边的中点，延长到点E，使． （1）求证：． 证明：∵D是边的中点（已知） ∴ ． 在和中 ∴ （ ）． （2）如果，则的取值范围是 ． 【答案】（1）见分析 ；（2） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用． （1）先证明，由对顶角得到，再证明即可； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系可得，据此可得答案． 解：（1）证明：点D是的中点， ， 在和中 （对顶角相等）， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． （1）求证：． （2）求证：G是线段的中点． 【答案】（1）见分析 ；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 【变式2】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析 ；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 解：（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 四、同步练习​ 【基础巩固】（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，尺规作图-作一个角等于已知角．根据作图可知，利用可以得到，得到对应角相等，即可说理． 解：由作图可知：， ∴（）， ∴，即 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 解：∵，， A、在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； B、由，不能判定，故选项B符合题意； C、由，能判定，故选项C不符合题意； D、由，能判定，故选项D不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 解：在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 4．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，结合全等三角形的判定可得答案． 解：由作图可知，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等） 故选：B． 5．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）同学们学习完“三角形全等”的知识后，数学王老师在多媒体上出示了一道试题，下面是四位同学的答案，其中错误的是（    ） ，_______ （添加一个条件，使结论成立）， ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 解：，， A、添加的条件是：，无法判断，故选项A符合题意； B、添加的条件是：，根据可证明，故选项B不符合题意； C、添加的条件是：，根据可证明，故选项C不符合题意； D、添加的条件是：，根据可证明，故选项D不符合题意； 故选：A． 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答． 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    【答案】/100度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定是解题的关键．由条件可证明，再结合外角的性质可求得，再利用三角形内角和定理即可求得． 解：在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，过点C作平行于的直线交的延长线于点F．若，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 证明，得出，即可得出答案． 解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰中，，点D在边上，且，点E、F在线段上，满足，若，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，根据得出与的面积相等，可得，即可得出答案． 解：∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 11．（20-21八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在2×2的正方形网格中，线段、的端点为格点，则 °. 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 证明，得出，即可得到答案． 解：如图， ，，， ， ， ， 故答案为： ． 12．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，，，，连接与交于，则 ． 【答案】/度 【分析】利用垂直的定义得到，则，证明，利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，即可求解． 解：如图所示，设交于点， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，点E、F在上，且，，，与相交于点O，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再证明得到，进一步证明，则可证明． 解：证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14．（2025·江苏无锡·三模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【答案】（1）见分析 ；（2）． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质． （1）由条件可求得，利用可证明； （2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析 ；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 解：（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，中，，垂足分别为． （1）能证明和全等吗？为什么？ （2）若不能证明和全等，在不增加辅助线的情况下，请添加一个适当的条件，使这两个三角形全等，这个条件是______，写出证明过程． 【答案】（1）不能，理由见分析 ；（2）（答案不唯一），证明见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定： （1）根据无法得到三角形全等，进行判断即可； （2）添加条件，利用证明三角形全等即可． 解：（1）解：不能证明；利用如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法得到三角形全等， 故不能证明； （2）添加条件为：， 在和中： ， ∴． 【能力提升】（选择题4题，填空题4题，综合解答题2题） 一、单选题 1．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据AAS证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 解：是锐角的高 , 故选C． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，关键要掌握全等三角形的性质与判定．根据题意证明得出，根据邻补角互补得出,根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 解：∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 4．（24-25七年级下·福建三明·期中）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键． 利用证明可得；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求出，即可判定；假设，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，即可判定；根据等腰三角形的判定求出是等腰三角形． 解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 假设， ，， ， ， ，， ， ，， ， 恰好平分， ， ， （这与与交于点矛盾）， 假设不成立， 故C选项不正确，符合题意； 恰好平分， ， ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，通过证明三角形全等得出对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．证明，可得，，然后证明，根据列式计算即可． 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·重庆渝中·二模）如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；根据已知可得，根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理求得，进而根据，即可求解． 解：∵，，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 8．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、熟练掌握性质定理是解题的关键．根据垂直的定义及平行线的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，再次利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案． 解：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）在中，，点D是线段上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，若， ①试说明：； ②判断与的位置关系_______，并说明理由； （2）设，（如图2），则，之间有怎样的数量关系?请直接写出结论． 【答案】（1）①见分析 ；②垂直（或），理由见分析 ；（2） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直的定义，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）①由得出，根据可证；②由可得，进而可得，结合，可得； （2）同（1）可证，推出，结合可得． 解：（1）解：①∵， ∴，即， 又∵，， ∴； ②， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即； 故答案为：垂直（或）； （2）解：， 理由：∵ ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 10．（17-18八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； （1）特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； （2）归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）见分析 ；（2）见分析 ；（3）8 【分析】（1）先运用直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换得，证明，即可作答． （2）先运用三角形的外角性质以及角的和差关系得出，证明，即可作答． （3）这运用等高算面积，则底的比就是它们的面积的比列式计算，再结合全等三角形的性质，即可作答． 本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：（1）证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图： 易得， ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：如图： ∵的面积为24，，且分别以为底来运算面积 ∴此时它们的高是相等的，即的面积是：， 由（2）可知，， ∴与的面积之和等于与的面积之和， 即等于的面积是8， 答案为：8． 【中考真题】（5题） 一、单选题 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 解：在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 2．（2021·重庆·中考真题）如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答． 解：选项A，添加， 在和中， ， ∴≌（ASA）， 选项B，添加， 在和中，，，，无法证明≌； 选项C，添加， 在和中， ， ∴≌（SAS）； 选项D，添加， 在和中， ， ∴≌（AAS）； 综上，只有选项B符合题意． 故选B． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 二、填空题 3．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 三、解答题 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析 ；（2）11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 解：证明：， ． 在和中， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$