第21章第5课时解一元二次方程(4)——因式分解法讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册 暑假预习课

人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课第21章第5课时解一元二次方程(4)——因式分解法 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 知识点1：形如“A·B＝0”的一元二次方程 【例1】用因式分解法解下列方程：(x＋3)(x－5)＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：提公因式法分解因式 【例2】用因式分解法解下列方程： (1)x2＋7x＝0； (2)x(x－3)＋2(x－3)＝0； (3)(x＋4)2＝5(x＋4). 知识点3：逆用平方差公式分解因式 【例3】用因式分解法解方程：(3x＋2)2－x2＝0. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的解为(    ) A. B. ， C. ， D. 2.方程的解是(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.若代数式与的值互为相反数，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4.一元二次方程的根为(    ) A. B. C. ， D. ， 5.一元二次方程的根是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题： 6.一元二次方程的解是          ． 7.方程的实数解是           ． 8.若，则          ． 9.对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ． 10.关于的一元二次方程可变形为，则的值是          ． 三、计算题： 11.用因式分解法解下列方程：；；； ； ． 12.用因式分解法解方程： ；；； ； ． 13.用因式分解法解下列方程： ；；；． 14.用因式分解法解下列方程： ；  ；；  ． 15.用因式分解法解下列方程： ；；； ； ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.阅读材料： 由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例： 分解因式：． 尝试：分解因式                     应用：请用上述方法解方程． 拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为                  ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课第21章第5课时解一元二次方程(4)——因式分解法 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 知识点1：形如“A·B＝0”的一元二次方程 【例1】用因式分解法解下列方程： (x＋3)(x－5)＝0. 解：x＋3＝0，或x－5＝0. 解得x1＝－3，x2＝5.　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：提公因式法分解因式 【例2】用因式分解法解下列方程： (1)x2＋7x＝0； 解：因式分解，得x(x＋7)＝0. ∴x＝0，或x＋7＝0. 解得x1＝0，x2＝－7. (2)x(x－3)＋2(x－3)＝0； 解：因式分解，得(x－3)(x＋2)＝0. ∴x－3＝0，或x＋2＝0. 解得x1＝3，x2＝－2. (3)(x＋4)2＝5(x＋4). 解：移项，得(x＋4)2－5(x＋4)＝0. 因式分解，得(x＋4)(x＋4－5)＝0. ∴x＋4＝0，或x－1＝0. 解得x1＝－4，x2＝1. 知识点3：逆用平方差公式分解因式 【例3】用因式分解法解方程：(3x＋2)2－x2＝0. 解：因式分解，得(4x＋2)(2x＋2)＝0. ∴4x＋2＝0，或2x＋2＝0. 解得x1＝－，x2＝－1.　　 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的解为(    ) A. B. ， C. ， D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的关键是根据方程的特征选择恰当的方程． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】 解：  ，   ，   ，  ， 故选：． 2.方程的解是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查解一元二次方程因式分解法，属于基础题． 根据一元二次方程的解法因式分解法即可求出答案． 【解答】 解：， ， ， 或， 故选：． 3.若代数式与的值互为相反数，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B  4.一元二次方程的根为(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C  【解析】【分析】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把方程右边的式子移项到左边，再把方程左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解即可． 【解答】 解：， ， ， 或， 原方程的根是：，． 故选C． 5.一元二次方程的根是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  二、填空题： 6.一元二次方程的解是          ． 【答案】，  【解析】解：， 或， 所以，． 故答案为：，． 利用因式分解法解方程即可． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程． 7.方程的实数解是           ． 【答案】，  【解析】【分析】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】 解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 故答案为：，． 8.若，则          ． 【答案】  【解析】解：设，则原方程转化为， 即， 解得，， ， ． 故答案为：． 本题主要考查换元法解一元二次方程．掌握是解题的关键． 设，则原方程转化为关于的一元二次方程，解一元二次方程即可． 9.对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ． 【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程． 【解答】 解：根据题意得， ， ， 或， 所以，． 故答案为或． 10.关于的一元二次方程可变形为，则的值是          ． 【答案】  【解析】解：由方程可变形为，可知此方程有一个根是． 将代入原方程就可得出， 故答案为． 本题考查解一元二次方程的因式分解法及方程解的概念，同时也体现了整体意识． 三、计算题： 11.用因式分解法解下列方程： ； ； ； ； ． 【答案】解：， ， ， ，， ，； ， ， ， ，， ，； ， ， ， ，， ，； ， ， ，， ，； ， ， ，， ，．  【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 12.用因式分解法解方程： ； ； ； ； ． 【答案】(1)x1＝0，  (2)  (3)x1＝3，  (4)x1＝1，  (5)x1＝x2＝2  13.用因式分解法解下列方程： ； ； ； ． 【答案】(1)x1＝1，x2＝2  (2)x1＝3，x2＝－5  (3)x1＝4，x2＝12  (4)，  14.用因式分解法解下列方程： ；  ； ；  ． 【答案】解：， 可化为，  即， ． ， 可化为， 或， ，． ， 可化为， 或， ，． ，  可化为，  即， 或， ，．   【解析】见答案 15.用因式分解法解下列方程： ； ； ； ； ． 【答案】解：， ， ，， ，； ， ， ，， ，； ， ， ， ，， ，； ， ， ，， ，； ， ， ，， ，．  【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.阅读材料： 由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例： 分解因式：． 尝试：分解因式                     应用：请用上述方法解方程． 拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为                  ． 【答案】解： ， ． 则或． ，． 或或   【解析】阅读材料，用类比法确定，的值，从而用因式分解法解方程． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$