第21章第3课时解一元二次方程(2)——配方法讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册 暑假预习课

人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课第21章第3课时解一元二次方程(2)——配方法 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式； ②方程两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，那么判定此方程无实数解. 知识点1：“a＝1，b为偶数”型 【例1】用配方法解方程：x2－6x＋1＝0. 知识点2：“a＝1，b为奇数”型 【例2】用配方法解方程：x2－3x－1＝0. 知识点3：“a≠1”型 【例3】用配方法解方程：2x2＋1＝3x. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.把方程化成的形式为(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解一元二次方程，方程应变形为(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 4.用配方法解一元二次方程化成的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.一元二次方程配方后可化为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.一元二次方程配方后得          ，由于方程右边是          数，因此该方程          实数根． 7.用配方法解一元二次方程时，应该在等式两边都加上          ． 8.若关于的方程可以通过配方写成的形式，那么可以配成          ． 9.已知关于的方程可以配方成，则          ． 10.若一元二次方程配方后为，则          ． 三、计算题： 11.用配方法解下列方程：． 12.用配方法解方程：． 13.用配方法解下列方程：；；． 14.用配方法解下面的方程：；． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.用配方法证明：无论取何实数，代数式的值都不小于． 16.下面是小明同学对二次三项式进行配方的过程：请指明配方过程是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出正确的配方过程． 17.阅读下列解答过程，并完成相应任务． 解方程：． 解：移项，得 两边同时除以，得 配方，得， 即． ， 任务：上述过程从步骤          填序号开始出现错误，错误的原因是          ． 请写出正确的解答过程． 18.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程：． 解：移项，得 两边同时除以，得 配方，得， 即 ， 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤________填序号，原因是________________________请写出正确的解答过程． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课第21章第3课时解一元二次方程(2)——配方法 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式； ②方程两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，那么判定此方程无实数解. 知识点1：“a＝1，b为偶数”型 【例1】用配方法解方程：x2－6x＋1＝0. 解：移项，得x2－6x＝－1. 配方，得x2－6x＋32＝－1＋32，即(x－3)2＝8. 由此可得x－3＝±2. 解得x1＝3＋2， x2＝3－2. 知识点2：“a＝1，b为奇数”型 【例2】用配方法解方程：x2－3x－1＝0. 解：移项，得x2－3x＝1. 配方，得x2－3x＋＝1＋，即＝. 由此可得x－＝±. 解得x1＝，x2＝. 知识点3：“a≠1”型 【例3】用配方法解方程：2x2＋1＝3x. 解：移项，得2x2－3x＝－1. 二次项系数化为1，得x2－x＝－. 配方，得x2－x＋＝－＋，即＝. 由此可得x－＝±. 解得x1＝1，x2＝. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.把方程化成的形式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：将二次项系数化为，得． 配方，得， 因此． 故选C． 2.用配方法解一元二次方程，方程应变形为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， ， ，故选：． 移项，配方，变形后即可得出选项． 本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 3.用配方法解方程，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 4.用配方法解一元二次方程化成的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D  5.一元二次方程配方后可化为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  二、填空题 6.一元二次方程配方后得          ，由于方程右边是          数，因此该方程          实数根． 【答案】；；负；没有．  【解析】【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力．移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得． 【解答】 解：， ，即， 一元二次方程配方后得，由于方程右边是负数，故该方程没有实数根． 故答案为；；负；没有． 7.用配方法解一元二次方程时，应该在等式两边都加上          ． 【答案】  8.若关于的方程可以通过配方写成的形式，那么可以配成          ． 【答案】  9.已知关于的方程可以配方成，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先根据配方法求出、的值，再代入计算可得． 【解答】 解：， ，即， 又， ，，即， 则， 故答案为：． 10.若一元二次方程配方后为，则          ． 【答案】  三、计算题： 11.用配方法解下列方程： ． 【答案】解：移项，得配方，得，即由此可得，， 移项，得二次项系数化为，得配方，得，由此可得，，．  12.用配方法解方程：． 【答案】解：移项，得  二次项系数化为，得   配方，得  两边开方，得，．  13.用配方法解下列方程： ； ； ． 【答案】(1)x1＝－1，x2＝－3  (2)，  (3)，  14.用配方法解下面的方程： ； ． 【答案】(1)， (2)x1＝2，  四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.用配方法证明：无论取何实数，代数式的值都不小于． 【答案】证明：．，，即，无论取何实数，代数式的值都不小于．  16.下面是小明同学对二次三项式进行配方的过程：请指明配方过程是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出正确的配方过程． 【答案】解：不正确． 正确的配方过程为： ．  【解析】本题考查了配方法的应用，属于基础知识的考查根据完全平方公式：进行配方即可． 17.阅读下列解答过程，并完成相应任务． 解方程：． 解：移项，得 两边同时除以，得 配方，得， 即． ， 任务： 上述过程从步骤          填序号开始出现错误，错误的原因是          ． 请写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ ;配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加  (2)移项，得2x2+8x＝18．两边同时除以2，得x2+4x＝9．配方，得x2+4x+4＝9+4，即(x+2)2＝13．∴．∴，．  18.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程：． 解：移项，得 两边同时除以，得 配方，得， 即 ， 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤________填序号，原因是________________________请写出正确的解答过程． 【答案】解：；配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加； 移项，得， 两边同时除以，得， 配方，得， 即， ， ，．  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．根据配方法解析即可． 【解答】 原解析步骤是错误的，因为配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加； 故答案为；配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加； 正确的解析步骤见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$