第21章第2课时解一元二次方程(1)——直接开平方法讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册暑假预习课

人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课第21章第2课时解一元二次方程(1)——直接开平方法 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：若一元二次方程x2＝p(p≥0)，则x＝± 【例1】用直接开平方法解下列方程： (1)x2＝36；　　　　 解：两边直接开平方，得x＝±. ∴x1＝6，x2＝－6. 知识点2：若一元二次方程(x＋n)2＝p(p≥0)，则x＋n＝± 【例2】用直接开平方法解下列方程： (1)(x－2)2＝16；　　 解：两边直接开平方，得x－2＝±4. ∴x－2＝4，或x－2＝－4. 解得x1＝6，x2＝－2. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是(    ) A. 完全平方公式 B. 平方根的意义 C. 等式的性质 D. 一元二次方程的求根公式 【答案】B  【解析】解：用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义． 故选：． 用直接开平方法解形如“”一元二次方程，根据平方根的定义，可得，即可得出答案． 本题考查了用直接开平方法解一元二次方程的理论依据，解题的关键是知道用直接开平方法解一元二次方程的理论依据就是平方根的意义． 2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】 方程，移项得，由平方的非负性可得此方程无实数解故选C． 3.下列方程可用直接开平方法求解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  4.对形如的方程，下列说法正确的为(    ) A. 可用直接开平方法求得根 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”根据直接开平方法的步骤和条件进行计算，即可得出答案． 【解答】 解：， 当时， ， ； 故选B． 5.下列方程中可用直接开平方法求解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  二、填空题： 6.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是____． 【答案】  【解析】解：方程可以用直接开平方求解， ， ． 根据偶次方的非负性得出即可得到答案． 本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，能得出关于的不等式是解此题的关键． 7.如果可以用直接开平方法求解，则的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：可以用直接开平方法求解，即有平方根 ， 解得：， 故答案为：． 本题考查用直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法的前提条件与平方根的性质是解题的关键． 8.用直接开平方法解方程，得，其依据是          ． 【答案】平方根的意义 9.用直接开平方法解方程时，可转化为两个一元一次方程，分别是          ． 【答案】，  10.如果方程可以用直接开平方求解，则的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：方程可以用直接开平方求解， ， 解得：， 故答案为：． 根据偶次方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可． 本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于的不程是解此题的关键． 三、计算题： 11.用直接开平方法解下列方程： ． 【答案】解： ， ， ， ， ， ， 原方程无实数根； ． ， ， ，  【解析】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程． 移项，开平方即可； 两边同除以，直接开平方即可； 移项，两边同除以，即可得答案； 移项，两边同除以，直接开平方即可． 12.用直接开平方法解下列方程． ． ． 【答案】解：，． 解：，．   13.用直接开平方法解下列方程： ； ； ； ． 【答案】(1)x1＝2，x2＝－2  (2)，，  (3)，  (4)y1＝4，y2＝6  14.用直接开平方法解方程： ； ； ； ． 【答案】(1)解：．∴．∴，．  (2)解：4（x-2）2＝36，∴（x-2）2＝9．∴x-2＝±3．∴x1＝5，x2＝-1．  (3)解：写成平方的形式，得（x＋3）2＝7．∴．∴，．  (4)解：9x2＝-3．∴．∴方程无实数解．  15.用直接开平方法解下列方程： ； ； ； ； ； ． 【答案】(1)x1＝2，x2＝－2  (2)，  (3)，  (4)x1＝0，x2＝6  (5)，  (6)，  16.用直接开平方法解下列方程． ． ． 【答案】解：，． 解：，．   17.用直接开平方法解下列方程： ； ； ； ； ； ． 【答案】(1)x1＝5，x2＝－5  (2)x1＝4，x2＝－16  (3)x1＝2，x2＝－16  (4)，  (5)x1＝1，x2＝－1  (6)x1＝－6，  18.用直接开平方法解方程 ； ． 【答案】(1)解：（x＋1）2＝4， x＋1＝2或x＋1＝－2， ∴x1＝1，x2＝－3；   (2)x－2＝±（2x＋3）， x－2＝2x＋3或x－2＝－（2x＋3）， ∴x1＝－5，．   19.用直接开平方法解下列方程： ； ； ； ； ； ． 【答案】(1)解：，；  (2)，，；  (3)，，，；  (4)或，，；  (5)，或，，；  (6)，或，，.  20.用直接开平方法解下列方程： ； ； ； ． 【答案】(1)解：x2＝16，x1＝4，x2＝-4．  (2)解：，，．  (3)解：3x＋2＝±5，x1＝1，．  (4)解：，，，．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课第21章第2课时解一元二次方程(1)——直接开平方法 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：若一元二次方程x2＝p(p≥0)，则x＝± 【例1】用直接开平方法解下列方程： (1)x2＝36；　　　　 解：两边直接开平方，得x＝±. ∴x1＝6，x2＝－6. 知识点2：若一元二次方程(x＋n)2＝p(p≥0)，则x＋n＝± 【例2】用直接开平方法解下列方程： (1)(x－2)2＝16；　　 解：两边直接开平方，得x－2＝±4. ∴x－2＝4，或x－2＝－4. 解得x1＝6，x2＝－2. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是(    ) A. 完全平方公式 B. 平方根的意义 C. 等式的性质 D. 一元二次方程的求根公式 2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为(    ) 3.下列方程可用直接开平方法求解的是(    ) A. B. C. D. 4.对形如的方程，下列说法正确的为(    ) A. 可用直接开平方法求得根 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 5.下列方程中可用直接开平方法求解的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是____． 7.如果可以用直接开平方法求解，则的取值范围是______． 8.用直接开平方法解方程，得，其依据是          ． 9.用直接开平方法解方程时，可转化为两个一元一次方程，分别是          ． 10.如果方程可以用直接开平方求解，则的取值范围是______． 三、计算题： 11.用直接开平方法解下列方程： ． 12.用直接开平方法解下列方程．． ． 13.用直接开平方法解下列方程： ；；；． 14.用直接开平方法解方程： ；；；． 15.用直接开平方法解下列方程： ；；； ；；． 16.用直接开平方法解下列方程．． ．   17.用直接开平方法解下列方程： ；；； ；；． 18.用直接开平方法解方程；． 19.用直接开平方法解下列方程： ；；；；；． 20.用直接开平方法解下列方程： ； ； ； ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$