21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

人教版 九年级数学上 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1 学习目标 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.灵活利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点） 2 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 2. 方程的两根x1，x2与系数a，b，c之间的联系还有其他表现形式吗？ 回顾旧知 3 1.填表、观察、猜想 启发：猜想二次项系数为1时，根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？ 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 x2-3x-10=0 -4 1 2 3 -2 x1+x2=-3 x1·x2=-4 x1+x2=5 x1 ·x2=6 5 x1+x2=3 x1 ·x2=-10 合作探究 4 思考1：从因式分解可知，方程(x-x1)(x-x2)=0（x1、x2已知数）的两根为x1，x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ ★归纳： 如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2= -p， x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 合作探究 5 思考2：一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次根式系数a未必是1，它的两个根x1和x2的和、积与系数a,b,c有又怎样的关系呢？ 2.填表、观察、猜想 2 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 5x2+6x+1=0 x1+x2= x1·x2=-1 1 -1 x1+x2= x1·x2= x1+x2= x1·x2= 合作探究 6 证一证： 合作探究 7 合作探究 8 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比；即： 温馨提示：满足上述关系的前提条件： 1.将方程化为一般形式： ax2+bx+c=0（a≠0）2.b2=4ac≥0 要点归纳 9 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0； 解：a = 1 , b = – 6 , c = – 15 . x1 + x2 = –( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 . （2）3x2 +7x-9 = 0； x1 + x2 =- ， x1 x2 = 解： a = 3 , b = 7, c = -9. 典例精析 10 （3） 5x – 1 = 4x2 . 解：方程可化为 4x2 – 5x +1 =0， a =4， b = – 5，c = 1. x1 + x2 = ， x1 x2 = . 知识点拨：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 . 典例精析 11 1.不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）x2-3x=15； （2）3x2+2=1-4x； （3）5x2-1=4x2+x； 解：（1）方程化为 x2-3x-15=0 ∴x1+x2=3， x1x2=-15 （2）方程化为 3x2+4x+1 （3）方程化为 x2-x-1=0 ∴x1+x2 =1， x1x2 =-1 ∴ x1 + x2 =- ， x1 x2 = 小试牛刀 12 2、已知方程4x2+ax-8=0的一个根是2，求它的另一个根及a的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . ∴ x1·x2=2 x2 = 即 x2= ∵x1+x2=2+ = 得： a=-4. 答：方程的另一个根是 -1 ，a=-4. 小试牛刀 13 3、不解方程，求方程2x2+3x-5=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 小试牛刀 14 常见的求值式子： 15 1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为4 和-6 ，则p= ， q= . -24 2 2.如果-1是方程3x2-2x+k=0的一个根，则另一个根是___，k =____. -5 3.已知关于x的方程x2-（m+1）x+2m-1=0。 （1）当m=_____时，此方程的两根互为相反数。 （2）当m=_____时，此方程的两根互为倒数。 -1 1 综合演练 16 4、设x1，x2是方程 x2 +2(k-1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =14， 求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k-1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = -2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 =14， 解得 k1= -1， k2 = 5 . 经检验， k2 = 5 不合题意，舍去.所以 k=-1. 综合演练 17 5.已知关于x的一元二次方程ax2-2ax+a -2=0. (1)若方程有实数根,求实数a的取值范围. (2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|= 1， 求m的值. 解：(1)方程有实数根 ∵a≠0，∴a＞0. (2)∵方程有实数根x1，x2， ∵ (|x1-x2|)2 = (x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2=1， 解得a=8. 经检验a=8是方程的解． 综合演练 18 6、已知关于m2+2m-2025=0，n2+2n-2025=0（m≠n），求（m-1)(n-1）. 解：由已知条件，得m，n是方程x2+2x-2025=0的两个不相等的 实数根； 由韦达定理：m+n=-2，mn=-2025 （m-1)(n-1） =mn-（m+n）+1 =-2025-（-2）+1 =-2028 能力提升 19 本节课你有哪些收获？ 1、一元二次方程的根与系数的关系是什么？ 2、常见的求值式子有哪些？ 课堂小结 谢谢 汇报人：WPS 21 $$