21.2.3 解一元二次方程---因式分解法 课件-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

-因式分解法 人教版 九年级数学上 21.2.3解一元二次方程 1 学习目标 1.了解因式分解法解一元二次方程的概念. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重点) 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.(难点) 2 你还记得用配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤吗? 分别用配方法和公式法解下列方程: ① x2﹣5x+6=0. ②-1+2x=x2. 解得x1=3,x2=2. 解得x1=x2=1. 回顾旧知 3 问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(结果保留到小数点后两位)? 解:设物体经过 x s落回地面,这时它离地面的高度为0 m ,即 10x-4.9x2 =0 ① 如何解这个方程? 合作探究 4 解: 解: ∵ a=4.9, b=-10, c=0. ∴ b2-4ac= (-10)2- 4.9 0 =100. 公式法解方程10x-4.9x2=0. 配方法解方程10x-4.9x2=0. 方程可化为4.9x2-10x=0. 还有别的做法吗? 合作探究 5 让我们先来回顾一下因式分解知识: x2-6x; 16y2-9; 4x2+4x+1 =x(x-6) =(4y)2-32 =(4y-3)(4y+3) =(2x)2+4x+1 =(2x+1) 2 =(2x+1)(2x+1) 若ab=0,则可以得到什么结论? a=0或b=0. 提公因式法 平方差公式 完全平方公式 合作探究 6 因式分解 或 降次,化为两个一次方程 解两个一次方程,得出原方程的根 10x-4.9x2 =0 ① x(10-4.9x) =0 x =0 10-4.9x=0 ② 这两个根中,x2≈2.04表示物体大约在2.04s时落回地面。x1=0表示物体在0 s时被抛出,高度是0 m。 合作探究 7 ※.总结归纳: 可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是开平方降次,而是先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。 合作探究 8 x(x-5)=0 解:∵x(x-5)=0 ∴ x =0或x-5=0 即 x1 =0 ,x2=5 (x-1)(x+1)=0 解:∵(x-1)(x+1)=0 即 x1 =1 ,x2= -1 ∴ x-1=0或 x+1=0 (x+1)2=0 解:∵(x-1)2=0 ∴ x-1=0 即 x1 =x2 =1 试一试:下列各方程的根分别是多少? 小试牛刀 9 例1 解下列方程: 解:(1)因式分解,得 于是得 x-2=0或x+1=0, x1=2,x2=-1. (2)移项、合并同类项,得 因式分解,得 ( 2x+1)( 2x-1 )=0. 于是得 2x+1=0或2x-1=0, (x-2)(x+1)=0. 典例精析 10 练一练 解下列方程: (1)(x+1)2=4x+4; ∴x1=3,x2=-1. (2)x2-4x+4=(5-2x)2. 解:∵(x+1)2=4(x+1), ∴(x+1)2-4(x+1)=0, 则(x+1)(x-3)=0, ∴x+1=0,或x-3=0, 解: ∵(x-4)2-(5-2x)2=0, ∴[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0, ∴-x+1=0,或3x-9=0, x1=1,x2= 3 . 你能总结一下因式分解法解方程的一般步骤吗? 小试牛刀 11 因式分解法的基本步骤: 一移-方程的右边=0; 二分-方程的左边因式分解; 三化-方程化为两个一元一次方程; 四解-写出方程两个解; 简记口诀: 右化零 左分解 两因式 各求解 归纳总结 12 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来,得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积,而且一次项系数p又恰好是a+b,那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解. 知识拓展-十字相乘法 13 ①竖分二次项与常数项 步骤: ②交叉相乘,积相加 ③检验确定,横写因式 简记口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中. 试一试 解方程:x2+3x-10=0. 解:因式分解得 (x+5)(x-2)=0. ∴x+5=0,或x-2=0. ∴x1=-5,x2=2. 合作探究 14 练一练:用十字相乘法分解因式解方程: 1.x2-3x-4=0 2.x2-7x+6=0 解:(x-4)(x+1)=0 解:(x-6)(x-1)=0 x-4=0或x+1=0 x1=4,x2=-1 x-6=0或x-1=0 x1=6,x2=1 小试牛刀 15 填一填:各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0) (x+m)2=n (n ≥ 0) ax2 + bx +c = 0 (a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) (x + n)=0 归纳总结 16 1、用适当的方法解方程: (1) 3x(2x + 1)= 4x + 2; (2) (4x + 5)2 = 1; 即 3x-2 =0 或 2x + 1= 0. ∴ x 1= -1 , x2= 分析:该式左右两边可以提取公因式,所以用因式分解法解答较快. 解:化简 (3x -2) (2x + 1) = 0. 分析:方程一边以平方形式出现,另一边是常数,可用直接开平方法. 解:开平方,得 4x+5 = 1. 小试牛刀 17 (3) x2 - 6x = 16 ; (4) 3x2 = 4x + 2. 开平方,得 解得 x1=8 ,x2=-2 解:化为一般形式3x2 - 4x - 2 = 0. ∵ =b2 - 4ac = 40 > 0, 分析:二次项系数为1,一次项系数为偶数,可用配方法来解题较快. 解:配方,得 x2 - 6x + 32 = 16 + 32, 即 (x - 3)2 = 25. 分析:二次项的系数不为1,适合公式法. 小试牛刀 18 1.一般地,当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0),应选用直接开平方法; 2.若常数项为0( ax2+bx=0),应选用因式分解法; 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0),先化为一般式,看左边的整式是否容易因式分解,若容易,宜选用因式分解法,否则选用公式法; 4.当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法也较简单. 解法选择基本思路:: 归纳总结 19 ① 6x2-5x+2=0 ; ② 4x2-2=0 ; ③ -5t2+t=0 ; ④ x2-6x=8 ; ⑤ 3x2+2x=0; ⑥ 2(m+3)2=8; ⑦ 4y2-y-2=0; ⑧ 3x2+6x-1=0; ⑨ (x-3)2=3(x-3). 适合运用直接开平方法 ; 适合运用因式分解法 ; 适合运用公式法 ; 适合运用配方法 . 1.填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 注意:每个题都有多种解法,选择更合适的方法,可以简化解题过程! 综合演练 20 解:化为一般式为 因式分解,得 x2-2x+1 = 0. ( x-1 ) 2 = 0. x - 1 = 0, x1=x2=1. 解:因式分解,得 ( 2x + 11 )( 2x- 11 ) = 0. 2x + 11 = 0 或 2x - 11= 0, 2.选择合适的方法解方程: 综合演练 21 (4)x2+4x-2=2x+3; (3)3x2-5x+1=0; 解:a=2,b=-5,c=1, ∴ =(-5)2-4 3 1=13. 解:整理,得x2+2x=5, ∴x2+2x+1=5+1, 即(x+1)2=6, 综合演练 22 3.下面的解法正确吗?如果不正确,错误在哪?并请改正过来. 解方程 (x-4)(x+3)=12. 解:原方程化为: (x-4)(x+3)=4 3 . ① 由x-4=4,得x=8; ② 由x+3=3,得x=0; ③ 所以原方程的解为x1=8或x2=0. 解: ① ② ③步都错; 原方程化为: x2-x-12= 0, (x-4)(x+3)=0, x1=4,x2=-3. 综合演练 23 4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加到原来的2倍,求小圆形场地的半径. 解:设小圆形场地的半径为r, 根据题意 ( r + 5 )2 =2r2 . 因式分解,得 答:小圆形场地的半径为 综合演练 24 (2)一个三角形的两边长分别为2和6,其第三边是方程x2-13x+40=0的根,则此三角形的周长为_; (1)已知三角形的两边长为5和6,第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根,则这个三角形的周长是_; (3) 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-10x+16=0的两根,则该等腰三角形的周长是_. 13或14 13 18 知识点拨:与三角形结合时,要考虑三角形的三边关系! 5.填空: 能力提升 25 本节课你有哪些收获? 1、因式分解法解一元二次方程的步骤是什么? 2、解一元二次方程的方法有哪些?如何选取适当的 方法解方程? 课堂小结 谢谢 汇报人:WPS 27 $$