4.2《平方根与立方根》（平方根）课件　2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册 (2)

4.2 平方根与立方根 ——平方根 1. 了解平方根的概念，会用根号表示平方根. 2. 理解开方与开平方的关系，掌握平方根的性质. 3. 会求非负数的平方根. 学习目标 3和-3互为相反数，会不会是巧合呢? 问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 想一想：3和-3有什么特征？ 由于(±3)2=9， 所以这个数是3或-3. 情境导入 填写下表： 平方根的概念 1 x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 如果把±1，±4，±0.6,±7， 分别叫做1，16，0.36， 49， 的平方根，你能给出平方根的概念吗？ 1 25 ± 1 5 探究新知 例如：(±3)2 = 9， 3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根. 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根. 知识要点 a的平方根有且只有两个：x与-x. 即平方根互为相反数. 平方根的性质： 1.什么叫平方根 一般的，如果一个数X的平方等于a，即x2=a那么这个数X叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根。也可以说:9的平方根是±3. 13²=169（-13）²=169， ±2叫做4的平方根. ±10叫做100的平方根. ±13叫做169的平方根. 2²=4，（-2）²=4， 10²=100，（-10）²=100， 总结归纳 观察下面数字并连一连，看看你有什么发现？ +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 根据互逆关系，可以求一个数的平方根。 平方 开平方 例1 求下列各数的平方根。 (1) 64; (3) 0.01; 解： (1) ∵(±8)2=64，∴64的平方根是±8。 探究：利用平方与开平方互为逆运算求平方根。 探究： 平方根的性质和表示方法 a 0 0.01 0.25 1 4 9 ··· a的平方根 0 ±0.1 ±0.5 ±1 ±2 ±3 ··· 问题2：0的平方根是多少？它有几个平方根？为什么？ 问题3：-1，-2，-3，-4这些数有没有平方根呢？为什么？ 问题1：一个正数的平方根有几个？它们有什么关系？ 小组讨论： 平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数。 0的平方根是0。 负数没有平方根。 正数 a 正平方根记为： 负平方根记为： 被开方数 读作“正、负根号 a ”. 即正数 a 的平方根表示为： 规定：0的平方根记为 。 平方根的表示方法 只有非负数才有平方根 即当__________时， 无意义； 即当__________时， 有意义； a ≥ 0 a < 0 3、5、7的平方根是多少？ 读作根号a 读作负根号a ”读作根号或二次根号 正数a有两个平方根，一个是a算术平方根 ,另一个是 ，它们是互为相反数，记作： .读作正负根号a. 如何表示一个数的平方根？ 例如：16的平方根是 表示求a的算术平方根 表示求a的算术平方根的相反数 表示求a的平方根 =3 =-3 区别 （1） 定义不同：“如果一个数X的平方等于a，那么这个数X叫做a的平方根”，“如果一个正数x的平方等于a,即 x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根”。 （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个。 （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为 ，而正数a的平方根表示为 平方根与算术平方根的联系与区别： 联系 （1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。 （2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非负性 （3） 0的平方根和算术平方根都是0。 例1：求下列各数的平方根。 解：（1） ∴100的平方根是±10 （2） （3） （1）100 （2） （3）11 ∴ 的平方根是± 11的平方根是 典型例题 64 7.2 0 思考1：根据前面得出的性质填一填，并说明理由。 你能把所得的公式用字母表示出来吗？ ? 的性质 一般地， ＝a (a ≥0)。 1. 计算： 解： 积的乘方： （ab）2=a2b2 跟踪练习 2 0.1 0 如何用字母表示你所得的公式呢？ 思考2：根据前面得出的性质填一填，并说明理由． 的性质 一般地， ＝a (a ≥0). 思考：当a＜0时， =？ 写出一个比－3大的无理数：_________. 写出一个比－3小的无理数：_________. 例2 设n为正整数，且n＜ ＜n＋1，则n的值为(　) A．5 B．6 C．7 D．8 练习 设n为正整数，且n＜ ＜n＋1，则n的值为 . D 3 2.化简 解： 想一想：如何化简 呢？ 跟踪练习 的值为 。 -3 7 5 -1 练习2：若 ＋ ＋1有意义，则x= 。 1 解：∵ + =0， ∴m-8=0，3n-51=0， 解得：m=8，n=17 ∴m+n=25. 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a ∣a∣ （1）正数有几个平方根？ 有没有一个数的平方是负数？ 因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根。 4的平方根表示为： 5的平方根表示： 0的平方根表示： 0 -25的平方根表示： 没有平方根 思考： （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 一个正数有两个平方根,它们互为相反数; 0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根. 平方根的性质 典例解析 正数有两个平方根，它们互为相反数. 巩固练习 求一个数的平方根可以将带分数化为假分数！ 负数没有平方根. 考 思考：-7有没有平方根？ 新知探究 思考：0的平方根是多少？ 因为0²=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0. 1. 判断题. (1) 1的平方根是1； （ ） (2) -1的平方根是-1；（ ） (3) 0.5是0.25的一个平方根；（ ） (4) 0的平方根是 0. （ ） 2.求下列各式中x的值： (1) x2=25； (2) 9x2=4； (3) (x-1)2=1. 解：(1) ∵(±5)2=25 ∴x=5或x=-5； (3) ∵ (±1)2=1. ∴ x-1=1或 x-1=-1， ∴ x=2或 x=0. 3. 求下列各数的平方根: (1)64 ； (2) (4) (5) 11. (3)0.0004； 解：（1）∵ ，∴64的平方根为±8; （2）∵ ，∴ 的平方根为 ; （3）∵ ，∴0.0004的平方根为±0.02; （4）∵ ，∴ 的平方根为 ±25; （5）11的平方根是 . 跟踪练习 1.判断题： （1）144的平方根是-12与12； （2）256的平方根是16； （3）256的平方根是－16； （4）5是25的一个平方根； （5）－5是25的一个平方根； （6）1的平方根是1； （7）－1的平方根是－1； （8）－1是1的平方根； （9）（－1）2的平方根－1。 √ × √ √ √ × × × × ±6 3 ±2 巩固练习 2.填空题： 3.某数有两个平方根，分别是a+3与2a-15，求这个数. 解：a+3+2a-15=0， 解得：a=4， ∴a+3=4+3， ∴这个数是72=49. 4.已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+3n的平方根. 解：∵2m+2的平方根是±4， ∴2m+2=16，解得m=7， ∵3m+n+1的平方根是±5， ∴3m+n+1=25， 即21+n+1=25，解得n=3， ∴m+3n=7+3×3=16， ∴m+3n的平方根为±4. 6.已知a-1与5-2a是m的平方根，求a和m的值. 解：①当a-1与5-2a是同一平方根时， a-1=5-2a，a=2， ∴m=12=1， ②当a-1与5-2a是两个平方根时， a-1+5-2a=0，a=4， ∴m=（4-1）2=9， 综上所述，当a=2时，m=1， 当a=4时，m=9. 5.已知a、b两数表示的点A、B在数轴的位置去图所示， 化简： 解：原式=|a|+|a+b|-|b|， =-a+a+b-b =0. 课程小结 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 表示 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数； (2)0的平方根是0； (3)负数没有平方根. 开平方与平方互为逆运算 运算 概念 性质 $$