湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

长 南中学 2025 上学 高二 级 考试数学试题 ：150 时 ：120 钟 一、单 题： 题共 8 题，每 题 5 ，共 40 ， 每 题给出的 项中，只 一 项 符 题目要 的. 1.已知 A={x∈ R| -3< x< 3}，B={x∈ Z|x≥ 0}， A∩ B= ( ) A. {0} B. {-2,0,1} C. {0,1,2} D. {0,1} 2.若 z(1+ i) = 2， z的虚部 ( ) A. - 1 B. 1 C. i D. - i 3.已知 a= (3,1),b  = (1,m)，且 a⎳ b  ， 实数m= ( ) A. - 2 B. - 3 C. 3 D. 13 4.已知等差数 an ,m,n,p∈N *，“2p=m+ n”“2ap= am+ an”的 ( ) A. 充 不必要 件 B. 必要不充 件 C. 充要 件 D. 既不充 也不必要 件 5.已知 a= 50.3,b= (log5a)4,c= log4(log5a)， ( ) A. b> c> a B. a> c> b C. a> b> c D. c> a> b 6.兴化千 菜花风 区 “全国 菜花 ”之称，以千 式形成的 田 观享 全国，与享 世界的 旺斯薰衣 园、 兰 金 花 、京都樱花 称，跻 全球四大花 之 ．若 每个 近 成正方形， 2× 3正方 形方 中 A，B，C三 游客所 如图所示， ∠ABC的值为 ( )    A. π6 B. π 4 C. π 3 D. 5π 12 7.长方 ABCD- A1B1C1D1中，AA1= AD= 2,AB= 2 2， 异 直线 DB1与 AA1所成角的大 为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° ·1· 8.设两个相关变 x y 满足下表： x 1 2 3 4 5 y 1 2 8 8 16 若相关变 x y可拟 为 线性回归方 y = 2bx+a， 当 x= 6时，y的 计 值为 ( ) (参考公式：对于一组数 u1，v1 ，u2，v2 ，⋯，un，vn ，其回归直线 v  = α + β  u 的斜率 截距的 二乘 计公式 为：β  = n i=1 ui vi-nu⋅v n i=1 u2i -nu2 ，a = v- β  u； 1.155≈ 2) A. 33 B. 37 C. 65 D. 73 二、多 题： 题共 3 题，每 题 6 ，共 18 . 每 题给出的 项中， 多项 符 题目要 ,全部 对的得 6 ，部 对的得部 ， 错的得 0 . 9.下 结论中，正 的 ( ) A. 一组数 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四 数为 18 B. 若 变 ξ~N 1,σ2 ,P(ξ≤-2) = 0.21， P(ξ≤ 4) = 0.79 C. 已知 P B = 23 ,P A B = 2 3 ， P AB = 4 9 D. x2- 2x  4 的 开式中，x5的系数 -8 10.已知函数 f (x) = 2sinxcosx+ 2cos2x- 1， ( ) A. 函数 f (x)的 值为- 2 B. 函数 f (x)的一个对称轴为 x= 3π8 C. 函数 f (x) 区间 π8 , 3π 8 单 减 D. 把函数 f (x)的图 左 移 π4 个单 长 得 函数 g(x)的图 ，函数 g(x) -π, 3π2 上 且仅 5个零点 11.已知函数 f x = xex+ ax. 下 说法正 的 (    ) A. 当 a= 1时，y= f x  点 (0,0)处的 线方 为 y= 2x B. 当 a= 0时，f x 的 值为 f (-1) =- 1e C. 若不等式 f x1 - f x2  x1-x2 > 1 x1≠x2  x1,x2∈ 0,+∞ 时恒成 ， ·2· a≥ 1+ 1e2 D．若函数 y= f x - x2恰 1个零点， a≥-1 三、填 题： 题共 3 题，每 题 5 ，共 15 . 12.已知 柱的 积为 3π， 半径为 1， 柱的 积为 13.已知 f x  定义 R上的奇函数，当 x ∈ 0,+∞ 时，f x = 2x， f 0 + f -2 = 14.某商 奖销售的抽奖环节时， 用 AI技 生成奖 ： 每次抽奖时，顾 客连续点击 键 5次，每次点击 生成数字 0或 1或 2，点击结 ，生成的 5个数字之 即为奖 ， 规定：如 奖 为 0， 一等奖；如 奖 为 3的正整数倍， 二等奖;其它情况不 奖.已知顾客甲参 了一次抽奖， 他 二等奖的 率为 四、解答题： 题共 5 题，共 77 .解答 写出文字说 、证 过 或 算步骤. 15. ( 题满 13 ) 已知函数 f x = x2+ cosx- 4，f  x  f x 的导函数. (1) f  0 + f  π 的值； (2) f x 的 值. 16. ( 题满 15 ) 如图， 四棱锥 S- ABCD中， ABCD 边长为 1的正方形，SA= SB= 2， E、F SC、BD的中点. (1) 证：EF⎳ SAB； (2)若二 角 S- AB-D的大 为 π2 ， 直线 SD与 ABCD所成角的大 . A B C D S E F ·3· 17. ( 题满 15 ) 已知 m = cosx,sinx ，n= sin x- π6 ,cos x- π 6  ，函数 f x = cosθ． (注：θ表示 m、n的夹角) (1) 函数 f x ； (2)若锐角△ABC的三内角 A、B、C的对边 a、b、c，且 f A = 1， (i) A; (ii) b+ca 的取值 围． 18. ( 题满 17 ) 某单 400 工，其中男 工 240人，女 工 160人，该单 男 工的高密 脂蛋白胆固 的 值为 1.4，方差为 0.6,女 工的高密 脂蛋白胆固 的 值为 1.5，方差为 0.3.为了让 工 得更健 ，该单 设 了 养 厅 A 食 厅 B两家 厅，经过统计 发现：一个 工第一天 择一家 厅 用 ，然 一天 择了 A 厅的 工第二天 择 A 厅的 率为 25 ，第二天 择 B 厅的 率为 35 ； 一天 择了 B 厅的 工第二天 择 A 厅的 率为 4 5 ，第二天 择 B 厅的 率为 1 5 ，如此往复. (1) 该单 全部 工的高密 脂蛋白胆固 的 值与方差； (2) 男女 工的比 进行 抽 抽取 5 工，再从这 5 工中 择 3人参 ，记抽 男 工的人数为 X， X的 及数学 ； (3)设第 n天 择 A 厅用 的 率为 pn， pn；经过一 (365天) ， A 厅 B 厅 的 工趋于 定，如 A 厅准备每天 180人的用 ， 理，请说 理由. 19. ( 题满 17 ) 已知 E: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 过点 1, 22 ，焦距为 2. (1) E的方 ； (2)过 E的右焦点 F 两 相互 直的直线 AB，CD与曲线 E 交于 A，B，C，D四点，设线段 AB，CD的中点 为M，N. (i)证 ：直线MN过定点； (ii) 四边形 ACBD 积的取值 围. ·4· 长 南中学 2025 上学 高二 级 考试数学试 ：150 时 ：120 钟 一、单 ： 共 8 ，每 5 ，共 40 ， 每 给出的 中，只 一 符 目要 的. 1.已知 A={x∈ R| -3< x< 3}，B={x∈ Z|x≥ 0}， A∩ B= ( ) A. {0} B. {-2,0,1} C. {0,1,2} D. {0,1} 【答 】C 【详解】∵ A={x∈ R| -3< x< 3}，B={x∈ Z|x≥ 0}， ∴ A∩ B={x∈ Z|0≤ x< 3}= {0,1,2}. 故 ：C 2.若 z(1+ i) = 2， z的虚部 ( ) A. - 1 B. 1 C. i D. - i 【答 】A 【详解】由 z(1+ i) = 2可得：z= 21+ i = 2(1- i) (1+ i)(1- i) = 1- i，故其虚部为-1. 故 ：A. 3.已知 a= (3,1),b  = (1,m)，且 a⎳ b  ， 实数m= ( ) A. - 2 B. - 3 C. 3 D. 13 【答 】D   【详解】由 a⎳ b  可得m= 13 . 故 ：D. 4.已知等差数 an ,m,n,p∈N *，“2p=m+ n”“2ap= am+ an”的 ( ) A. 充 不必要 件 B. 必要不充 件 C. 充要 件 D. 既不充 也不必要 件 【答 】A 【详解】等差数 an ,m,n,p∈N *，设等差数 的公差为 d， ap= a1+ n-1 d, am= a1+ m-1 d,an= a1+ n-1 d. 当 d= 0时，ap= am= an= a1，2ap= am+ an恒成 ， 由 2ap= am+ an不能 出 2p=m+ n； 因为 2p=m+ n，2ap= 2a1+ 2 p-1 d,am+ an= 2a1+ m+n-2 d， 2ap- am+an = 2a1+ 2 p-1 d- 2a1- m+n-2 d= 2p-m-n d= 0， 由 2p=m+ n可以 出 2ap= am+ an. ·1· 所以“2p=m+ n”“2ap= am+ an”的充 不必要 件. 故 ：A. 5.已知 a= 50.3,b= (log5a)4,c= log4(log5a)， ( ) A. b> c> a B. a> c> b C. a> b> c D. c> a> b 【答 】C   【详解】∵ a= 50.3> 50= 1，且 0.3= log5a， ∴ b= (log5a)4= (0.3)4< 0.30= 1，且 b> 0，c= log4(log5a) = log40.3< log41= 0， ∴ a> b> c. 故 ：C. 6.兴化千 菜花 区 “全国 菜花 ”之称，以千 式形成的 田 观享 全国，与享 世界的 旺斯薰衣 园、 兰 金 花 、京都樱花 称，跻 全球四大花 之 ．若 每个 近 成正方形， 2× 3正方 形方 中 A，B，C三 游客所 如图所示， ∠ABC的值为 ( )    A. π6 B. π 4 C. π 3 D. 5π 12 【答 】B 【详解】    如图， 意，连 AC,不妨设 正方形方 边长为 1， |AB| = 10 ,|BC| = 5 ,|AC| = 5 ,由 弦定理，cos∠ABC= 10+5-5 2× 10× 5 = 22 ,因 0<∠ABC < π，故得∠ABC= π4 . 故 ：B. 7.长方 ABCD- A1B1C1D1中，AA1= AD= 2,AB= 2 2， 异 直线 DB1与 AA1所成角的大 为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° ·2· 【答 】C 【详解】 如图所示，因 AA1⎳DD1， ∠D1DB1即异 直线DB1与 AA1所成角. 连 D1B1， Rt△D1DB1中，tan∠D1DB1= D1B1 DD1 = 2 2+(2 2)2 2 = 3， ∠D1DB1= 60°，即异 直线DB1与 AA1所成角为 60°. 故 ：C. 8.设两个相关变 x y 满足下表： x 1 2 3 4 5 y 1 2 8 8 16 若相关变 x y可拟 为 线性回归方 y = 2bx+a， 当 x= 6时，y的 计 值为 ( ) (参考公式：对于一组数 u1，v1 ，u2，v2 ，⋯，un，vn ，其回归直线 v  = α + β  u 的斜率 截距的 二乘 计公式 为：β  = n i=1 ui vi-nu⋅v n i=1 u2i -nu2 ，a = v- β  u； 1.155≈ 2) A. 33 B. 37 C. 65 D. 73 【答 】B 【详解】因为 线性回归方 为：y = 2bx+a， log2y  = bx+ a， 令 log2y= v，即 v  = bx+ a， 出相关变 x,y,v关系如下： x 1 2 3 4 5 y 1 2 8 8 16 v 0 1 3 3 4 所以 5 i=1 xi vi= 0+ 2+ 9+ 12+ 20= 43，x= 1+2+3+4+55 = 3， ·3· v= 0+1+3+3+45 = 11 5 ， 5 i=1 x2i = 1+ 4+ 9+ 16+ 25= 55， 所以 b= 5 i=1 xi vi-5x⋅v 5 i=1 x2i -5x2 = 43-5×3× 115 55-5×9 = 1， 所以 a= v- bx= 115 - 3=- 4 5 ，所以 v  = x- 45 ， 即 log2y  = x- 45 ，即 y  = 2x- 4 5，因为 1.155≈ 2，所以 2 1 5 = 1.15， 当 x= 6时，y = 26- 4 5 = 2 26 5 = 25.2= 25× 2 1 5 ≈ 32× 1.15= 36.8. 故 ：B 二、多 ： 共 3 ，每 6 ，共 18 . 每 给出的 中， 多 符 目要 ,全部 对的得 6 ，部 对的得部 ， 错的得 0 . 9.下 结论中，正 的 ( ) A. 一组数 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四 数为 18 B. 若 变 ξ~N 1,σ2 ,P(ξ≤-2) = 0.21， P(ξ≤ 4) = 0.79 C. 已知 P B = 23 ,P A B = 2 3 ， P AB = 4 9 D. x2- 2x  4 的 开式中，x5的系数 -8 【答 】BCD 【详解】对于 A，由 意 i= 10× 25%= 2.5，所以该 10个数 的下四 数为 第 3个数 11，故 A错误； 对于 B，ξ~N 1,σ2 ,P(ξ≤-2) = 0.21， P(ξ≤ 4) = 1- P(ξ≤-2) = 0.79，故 B 正 ； 对于C，P AB = P B P A B = 49 ,故C正 ; 对于D， x2- 2x  4 的 公式为 Tr+1=Cr4x8-2r - 2x  r = (-2)rCr4x8-3r,r= 0,1, 2，3，令 8- 3r= 5，得 r= 1，故 x5的系数 (-2)1C14=-8,故D正 ． 故 ：BCD． 10.已知函数 f (x) = 2sinxcosx+ 2cos2x- 1， ( ) A. 函数 f (x)的 值为- 2 B. 函数 f (x)的一 对称轴为 x= 3π8 C. 函数 f (x) 区间 π8 , 3π 8 单 减 D. 把函数 f (x)的图 左 移 π4 个单 长 得 函数 g(x)的图 ， 函 ·4· 数 g(x) -π, 3π2 上 且仅 5个零点 【答 】ACD 【详解】由 意 f (x) = 2sinxcosx+ 2cos2x- 1= sin2x+ cos2x= 2sin 2x+ π4 ， 对于 A：f x 的 值为- 2，故 A正 ； 对于 B：f 3π8 = 2sin 2× 3π 8 + π 4 = 2sinπ= 0，故 B不正 ； 对于C：由 π8 < x< 3π 8 可得 π 2 < 2x+ π 4 < π，由 y= sinx π 2 ,π 单 减，故C正 ； 对于D：g(x) = 2sin 2 x+ π4 + π 4    = 2sin 2x+ 3π 4 ，令 2x+ 3π 4 = kπ,k ∈ Z, x= kπ2 - 3π 8 ,k∈ Z, 因为 x∊ -π, 3π2 ,所以 x=- 7π 8 , - 3π 8 , π 8 , 5π 8 , 9π 8 ,所以函数 g(x) 5个零 点，故D正 ， 故 ：ACD. 11.已知函数 f x = xex+ ax. 下 说法正 的 (    ) A. 当 a= 1时，y= f x  点 (0,0)处的 线方 为 y= 2x B. 当 a= 0时，f x 的 值为 f (-1) =- 1e C. 若不等式 f x1 - f x2  x1-x2 > 1 x1≠x2  x1,x2∈ 0,+∞ 时恒成 ， a≥ 1+ 1e2 D．若函数 y= f x - x2恰 1个零点， a≥-1 【答 】ABD 【详解】对于 A：当 a= 1时，f x = xex+ x，f  x = x+1 ex+ 1， ∴ k= f  0 = 2, ∴ 线方 为 y= 2x，故 A正 ； 对于 B：当 a= 0时，f x = xex，∴ f  x = x+1 ex，令 f  x = 0,得 x=-1, ∵ 当 x>-1时，f  x > 0;当 x<-1时，f  x < 0, ∴ f x 的 值为 f (-1) = - 1e ，故 B正 ； 对于C：由 f x1 - f x2  x1-x2 > 1 f x1 -x1- f x2 -x2  x1-x2 > 0 0,+∞ 上恒 成 ，令 g x = f x - x= xex+ ax- x， g x  0,+∞ 上单 ， 即 g x ≥ 0 0,+∞ 上恒成 ，所以 g x = x+1 ex+ a- 1≥ 0，即 a- 1 ≥- x+1 ex，令 h x =- x+1 ex，即 a- 1≥ h x max， 所以 h x =- x+2 ex，当 x≥ 0时，h x < 0，所以 h x  0，+∞ 单 ·5· 减，所以 h x max= h 0 =-1，所以 a- 1≥-1，即 a≥ 0，故C错误； 对于D：由 y= f x - x2= xex+ ax- x2，令 y= 0 x ex+a-x = 0，解得 x= 0或 a= x- ex，令 φ x = x- ex， 所以 φ x = 1- ex，令 φ x = 0得 x= 0，由 φ x > 0 x< 0，φ x < 0 x > 0， 所以 φ x  0,+∞ 上单 减， -∞,0 上单 ，∴ φ x max= φ 0  = 0- e0=-1，∴当 a≥-1时，a= φ x 无解或 一解为 0，所以函数 y= f x  - x2恰 1个零点 0，所以 a≥-1，故D正 ； 故 ：ABD. 三、 ： 共 3 ，每 5 ，共 15 . 12.已知 柱的 积为 3π， 半径为 1， 柱的 积为 【答 】 3 2 π 【详解】由 柱的 积为 3π，得母线长 l= 3π2π = 3 2 ， 所以该 柱的 积为 π ⋅ 12 ⋅ 32 = 3 2 π. 故答 为： 3 2 π 13.已知 f x  定义 R上的奇函数，当 x ∈ 0,+∞ 时，f x = 2x， f 0 + f -2 = 【答 】-4 【详解】 意，f x  定义 R上的奇函数，所以 f 0 = 0, f -2 =- f 2 = -22=-4，所以 f 0 + f -2 = 0+ -4 =-4. 故答 为：-4 14.某商 奖销售的抽奖环节时， 用 AI技 生成奖 ： 每次抽奖时， 客连续点击 键 5次，每次点击 生成数字 0或 1或 2，点击结 ，生成的 5个数字之 即为奖 ， 规定：如 奖 为 0， 一等奖；如 奖 为 3的正整数倍， 二等奖;其它情况不 奖.已知 客甲参 了一次抽奖， 他 二等奖的 率为 【答 】 80 243 【详解】设一次抽奖所生成的奖 为 S，共 35= 243种情况， 生成的 5个数字中 x 0≤x≤5,x∈N 个 0，y 0≤y≤5,y∈N 个 1， S= y + 2 5-x-y = 10- 2x+y ，由 可知 0≤ x+ y≤ 5． 若 得二等奖， S为 3的正整数倍，故 2x+ y可取的值为 1，4，7． 当 2x+ y= 1时，x,y 的取值为 0,1 ，共 C15= 5种情况； 当 2x+ y= 4时，x,y 的可能取值为 0,4 ，1,2 ，2,0 ，共 C45+C15C24+C25 ·6· = 45种情况； 当 2x+ y= 7时，x,y 的取值为 2,3 , 3,1 ，共 C25+C35C12= 30种情况， 由 类 法计数原理得符 件的 5+ 45+ 30= 80种情况，且设 得二等 奖的 率为 P，由古典 率公式得 P= 80243 ． 故答 为： 80 243 ． 四、解答 ： 共 5 ，共 77 .解答 写出文字说 、证 过 或 算步骤. 15. ( 满 13 ) 已知函数 f x = x2+ cosx- 4，f  x  f x 的导函数. (1) f  0 + f  π 的值； (2) f x 的 值. 【详解】(1) ∵ f x = x2+ cosx- 4，∴ f  x = 2x- sinx. 1 ∴ f  0 = 2× 0- sin0= 0，f  π = 2π- sinπ= 2π， ∴ f  0 + f  π = 0+ 2π= 2π. 5 (2)由 (1)知 f  x = 2x- sinx. 令 g x = 2x- sinx， g x = 2- cosx> 0， ∴ g x  R上单 ，7 又 g 0 = 0， ∴当 x< 0时，f  x < 0，f x 单 减；9 当 x> 0时，f  x > 0，f x 单 ，11 ∴ f x  x= 0处取 值也 值，无 大值， 即 f x 的 值为 f x min= f 0 =-3，无 大值. 13 16. ( 满 15 ) 如图， 四棱锥 S- ABCD中， ABCD 边长为 1的正方形，SA= SB= 2， E、F SC、BD的中点. (1) 证：EF⎳ SAB； (2)若二 角 S- AB-D的大 为 π2 ， 直线 SD与 ABCD所成角的大 . 【详解】(1)证 ：取线段 SB、AB的中点 为H、G，连 EH、HG、FG， A B C D S E F ·7· EH⎳ BC，EH= 12 BC，FG⎳ AD，FG= 1 2 AD， 又 ABCD 正方形， EH⎳ FG，EH= FG， 即四边形 EFGH为 行四边形， HG⎳ EF， 又 EF⊄ SAB，HG⊂ SAB， EF⎳ SAB. 5 A B C D S E FG H (2)设G为 AB中点，连 SG、DG， A B C D S E FG 又 SA= SB= 2， ABCD 边长为 1的正方形， SG⊥ AB，且 SG= 152 ，DG= 5 2 ，7 又二 角 S- AB-D的大 为 π2 ，即 SAB⊥ ABCD，9 又 SG⊂ SAB， SAB∩ ABCD= AB， SG⊥ ABCD，11 ∠SDG 直线 SD与 ABCD所成角，13 Rt△SDG中，tan∠SDG= SGDG = 3，即∠SDG= π 3 ， 直线 SD与 ABCD所成角的大 为 π3 .   15 ·8· 17. ( 满 15 ) 已知 m = cosx,sinx ，n= sin x- π6 ,cos x- π 6  ，函数 f x = cosθ． (注：θ表示 m、n的夹角) (1) 函数 f x ； (2)若锐角△ABC的三内角 A、B、C的对边 a、b、c，且 f A = 1， (i) A; (ii) b+ca 的取值 围． 【详解】(1)已知 m = cosx,sinx ，n= sin x- π6 ,cos x- π 6  ， m ⋅ n= cosx ⋅ sin x- π6 + sinx ⋅ cos x- π 6 = sin 2x- π 6 ，2 ∴ f x = cosθ= m ⋅n m  ⋅ n  = sin 2x- π6 ，4 (2) (i)由 (1) f x = sin 2x- π6 及 f A = 1，得 sin 2A- π 6 = 1， 所以 2A- π6 = 2kπ+ π 2 k∈Z ，解得 A= kπ+ π 3 k∈Z ， 又 A∈ 0, π2 ，得 A= π 3 ，7 (ii) ∵ A+ B+C= π，A= π3 ，∴C= 2π 3 - B，8 ∴ b+ca = sinB+sinC sinA = sinB+sin 2π3 -B  sinA = 3 2 sinB+ 3 2 cosB sinA = 3sin B+ π6  sinA = 2sin B+ π6 ， 又 锐角△ABC中 0<B< π2 0<C= 2π3 -B< π 2  ，解得 π 6 < B< π 2 ， 所以 π 3 < B+ π 6 < 2π 3 ， 3 2 < sin B+ π 6 ≤ 1，14 即： 3< b+ca ≤ 2． 所以 b+c a 的取值 围 3,2 ． 15 18. ( 满 17 ) 某单 400 工，其中男 工 240人，女 工 160人，该单 男 工的高密 蛋白胆固 的 值为 1.4，方差为 0.6,女 工的高密 蛋白胆固 的 ·9· 值为 1.5，方差为 0.3.为了让 工 得更健 ，该单 设 了 养 厅 A 食 厅 B两家 厅，经过统计 发现：一个 工第一天 择一家 厅 用 ，然 一天 择了 A 厅的 工第二天 择 A 厅的 率为 25 ，第二天 择 B 厅的 率为 35 ； 一天 择了 B 厅的 工第二天 择 A 厅的 率为 4 5 ，第二天 择 B 厅的 率为 1 5 ，如此往复. (1) 该单 全部 工的高密 蛋白胆固 的 值与方差； (2) 男女 工的比 进行 抽 抽取 5 工，再从这 5 工中 择 3人参 ，记抽 男 工的人数为 X， X的 及数学 ； (3)设第 n天 择 A 厅用 的 率为 pn， pn；经过一 (365天) ， A 厅 B 厅 的 工趋于 定，如 A 厅准备每天 180人的用 ， 理，请说 理由. 【详解】(1)由 意知，该单 全部 工的高密 蛋白胆固 的 值为： x= 240400 × 1.4+ 160 400 × 1.5= 1.44；2 该单 全部 工的高密 蛋白胆固 的方差为： s2= 240400 0.6+(1.4-1.44) 2 + 160400 0.3+(1.5-1.44) 2 = 0.4824；4 (2) 男女 工的比 进行 抽 抽取 5 工， 抽取 3 男 工，2 女 工. 5 从这 5 工 择 3人，记抽 男 工的人数为 X，可得 X的取值为 1， 2，3. 6 P X=1 = C13C22 C35 = 310 ，P X=2 = C23C12 C35 = 35 ，P X=3 = C33C02 C35 = 110 ， 可得 X的 为： X 1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 9 所以 E X = 1× 310 + 2× 3 5 + 3× 1 10 = 9 5 ；10 (3)pn= 2 5 pn-1+ 4 5 1-Pn-1 =- 2 5 pn-1+ 4 5 , n≥2,n∈N ∗ . ∴ pn=- 2 5 pn-1+ 4 5 ， 12 ∴ Pn- 47 =- 2 5 pn-1- 4 7 ，且 p1- 4 7 =- 1 14 ≠ 0， 所以 pn- 4 7   以- 1 14 为 ，- 2 5 为公比的等比数 . ·10· ∴ Pn= 47 - 1 14 - 2 5  n-1 ，14 ∴当 n→+∞时，Pn→ 47 ， 所以一 以 ， 工 择 A 厅的 率约为 47 . 设 400 工 择 A 厅的人数为 X， X∽ B 400, 47 ， 所以 择 A 厅的 人数约为 E(X ) = 400× 47 ≈ 229(人)，16 ∵ 180< 229，∴ A 厅每天准备 180人的用 不 理的. 17 19. ( 满 17 ) 已知 E: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 过点 1, 22 ，焦距为 2. (1) E的方 ； (2)过 E的右焦点 F 两 相互 直的直线 AB，CD与曲线 E 交于 A，B，C，D四点，设线段 AB，CD的中点 为M，N. (i)证 ：直线MN过定点； (ii) 四边形 ACBD 积的取值 围. 【详解】(1)由 意知 过点 1, 22 ， 1 a2 + 1 2b2 = 1， 因为 c= 1，所以 a2= b2+ 1， 联 方 组 a2=b2+1 1 a2 + 1 2b2 =1  ，解得 a= 2， b= 1， 所以 E的方 为 x 2 2 + y 2= 1. 4 (2) (i)当两 直线的斜率都存 时，不妨设 AB：x=my+ 1，CD:x=- 1m y+ 1， 设 A x1,y1 ，B x2,y2 ，C x3,y3 ，D x4,y4 ， ·11· 联 直线 AB与 E的方 ，得 x=my+1x2+2y2=2  ， 去 x整理得 m2+2 y2+ 2my- 1= 0， 知Δ> 0， 韦达定理可知 y1+ y2= -2m m2+2 ，y1y2= -1 m2+2 ，6 yM= y1+y2 2 = -m m2+2 ，xM=myM+ 1= 2 m2+2 ， 即M 2 m2+2 , -m m2+2 . 理N 2m2 2m2+1 , m 2m2+1 ， 所以 kMN= -m m2+2 - m 2m2+1 2 m2+2 - 2m2 2m2+1 = 3m 2 m2-1  ， 所以MN :y- -m m2+2 = 3m 2 m2-1  x- 2 m2+2 ，8 令 y= 0，得 x= 23 ，此时直线MN恒过 2 3 ,0 . 9 当两 直线中 一 直线的斜率不存 时， 知MN :y= 0，仍经过 23 ,0 ， 所以直线MN过定点 23 ,0 . 10 (ii)当两 直线中 一 直线的斜率不存 时， 知 SACBD= 2，11 当两 直线的斜率都存 时，不妨设 AB:x=my+ 1；CD:x=- 1m y+ 1， 由 (i)得：AB = 1+m2 y2-y1 = 2 2 1+m2 2+m2 . 理 CD = 2 2 1+m 2 2m2+1 ， SACBD= 12 AB CD = 4 m2+1 2 2m4+5m2+2 = 4(m 4+2m2+1) 2m4+5m2+2 = 2- 2m 2 2m4+5m2+2 ，13 因为 2m2 2m4+5m2+2 = 2 2m2+ 2m2 +5 ， 基 不等式 2m2+ 2 m2 ≥ 2 2m2⋅ 2 m2 = 4， 当且仅当m2= 1时等号成 ， 所以 2 2m2+ 2m2 +5 ∈ 0, 29 ，SACBD= 2- 2m2 2m4+5m2+2 ∈ 169 ,2   ， 综上所述，四边形 ACBD 积的取值 围为 169 ,2    . 17 ·12·