1.4 两条直线的交点（题型专练）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.4 两条直线的交点 题型一：由方程组的解的个数判断直线位置关系 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）完成下面的表格 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 直线的位置关系 2．（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 3.判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标： （1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； （2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 题型二：求直线交点坐标 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知三条直线，，，则下列结论正确的有（   ） A．经过定点 B．，的交点坐标为 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且． (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程． 9．（24-25高二上·江苏·期中）在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 题型三：由直线交点的个数求参数 10．（多选）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 11．直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 12．已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 题型四：由直线的交点坐标求参数 13．若三条直线和交于一点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 14．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：与：相交于点，则 . 15．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 16．（22-23高二上·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 17．（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）已知a为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则a的值为 ． 18．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三条直线，和． (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值． 19．（22-23高二上·江苏常州·期中）设为实数，已知直线：，：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点在直线上，求的值. 题型五：三线能围成三角形的问题 20．（多选）（22-23高二上·江苏连云港·开学考试）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（    ） A．4 B． C． D． 21．（多选）对于直线：，下列说法错误的是（    ） A．时直线的倾斜角为 B．直线斜率必定存在 C．直线恒过定点 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为 22．（多选）若三条直线，和不能围成封闭图形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 23．若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    24．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程. 25．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 题型六：直线交点系方程及应用 27．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 28．（多选）设直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线 B． 与至多有无穷多个交点 C．的充要条件是 D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线 29．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线与互相垂直，垂足为，则为（    ） A． B． C．0 D．4 2．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）设，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为（    ） A． B． C． D．6 6．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 三、填空题 7．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为 ． 8．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知某等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点是该等腰三角形底边的中点，则底边所在直线的方程为 ． 9．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 10．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别为，，且它的对角线的交点是，求这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是 ． 11．（24-25高二上·江苏扬州·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏南通·开学考试）解决下列问题： (1)一直线被两直线：，：截得线段的中点是，求此直线方程； (2)过点的直线交轴、轴的正半轴于A、B两点，求使：面积最小时的方程． 13．（22-23高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知射线OA：，OB：.过点作直线分别交射线OA，OB于点A，B. (1)当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程； (2)当的面积为时，求直线AB的方程. 14．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线方程． 15．（23-24高二上·江苏苏州·期中）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． (1)求点的坐标； (2)过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 16．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线的方程； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 17．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求此直线方程； （2）在平面直角坐标系中，已知射线：：，过点作直线分别交射线于点，当的中点在直线上时，求直线的方程. 18．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知两条直线：和：，过点作一条直线． (1)若过两条直线的交点，求直线的方程； (2)若夹在两条直线之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 19．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． (1)若是边上的高，求直线的方程； (2)若是边上的中线，求直线的方程． 20．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 21．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    22．如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. (1)用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； (2)求锯成的的面积的最小值. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 两条直线的交点 题型一：由方程组的解的个数判断直线位置关系 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）完成下面的表格 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 直线的位置关系 【答案】 一个 无数个 零个 相交 重合 平行 【知识点】由方程组的解的个数判断直线位置关系 【详解】设直线的公共点为点，则点既在直线上，又在直线上，所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标就是方程组的解，因此方程组一个解对应直线一个公共点，直线相交；方程组无数个解对应直线无数个公共点，直线重合；方程组无解对应直线零个公共点，直线平行. 故答案为：一个；无数个；零个；相交；重合；平行. 2．（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【知识点】由方程组的解的个数判断直线位置关系、求直线交点坐标、由一般式方程判断直线的平行 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 3.判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标： （1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； （2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 【答案】（1）相交，(－1，－1)；（2）平行. 【知识点】求直线交点坐标、由方程组的解的个数判断直线位置关系 【分析】两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）． 【详解】（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1). （2）解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2. 题型二：求直线交点坐标 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为，所以所求的直线斜率为， 故直线方程为，即. 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求直线交点坐标、用向量解决夹角问题 【分析】求得两直线与轴的交点坐标，求得两直线交点坐标，利用向量的夹角公式可求的大小. 【详解】直线与轴交于点， 直线与轴交于点， 由，得，所以，， 所以， 所以，所以. 故选：D. 6．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知三条直线，，，则下列结论正确的有（   ） A．经过定点 B．，的交点坐标为 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题、求直线交点坐标 【分析】分离参数可得直线过定点，联立直线方程可得交点坐标，再根据直线间位置关系可列方程，解得参数值. 【详解】A选项：，即， 令，解得，即直线过点，A选项正确； B选项：联立直线方程，解得，即直线，的交点坐标为，B选项错误； C选项：由，可得，解得，C选项错误； D选项：时，直线，满足，即，D选项正确； 故选：AD. 7．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 【答案】(1)； (2). 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）根据直线垂直设所求直线，将点代入求参数，即得方程； （2）求直线交点，根据直线平行设所求直线，代入点求参数，即得方程. 【详解】（1）由题意，可设直线方程为， 代入点，有，则， 所求直线方程为； （2）联立，解得， 设所求直线方程为，则，即， 所求直线方程为. 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且． (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）先求直线的方程，联立，的方程，解方程组可得交点坐标. （2）设直线的点斜式方程，利用直线在两坐标轴上的截距的数量关系列方程，可求斜率，得到直线的方程. 【详解】（1）经过点且与垂直的直线为：：，即. 由. 所以直线和直线的交点坐标为：. （2）因为直线与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0. 设：. 交轴于点：，交轴于点：. 由或. 所以的方程为：或. 9．（24-25高二上·江苏·期中）在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据给定条件，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再联立求出点坐标. （2）设，由的中点在直线上求出点，再利用直线的点斜式方程求出直线的方程. 【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率， 直线的方程为，即，由，解得， 所以点C的坐标为. （2）依题意，设，则边的中点在直线上， 于是，解得：，即点， 所以直线BC的方程为，即. 题型三：由直线交点的个数求参数 10．（多选）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 【答案】ABD 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由一般式方程判断直线的垂直、由直线交点的个数求参数 【分析】举例即可说明A、C；分以及，得出直线与直线的关系，即可得出B项；根据直线垂直列出方程，求解方程，即可说明D项. 【详解】对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确； 对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点； 当时，有，即一定相交. 综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确； 对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误； 对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解， 所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确. 故选：ABD. 11．直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由直线交点的个数求参数 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 12．已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【知识点】已知直线平行求参数、由直线交点的个数求参数 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 题型四：由直线的交点坐标求参数 13．若三条直线和交于一点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】先求出直线和的交点，再把交点坐标代入即得解. 【详解】解：联立得. 把代入得. 故选：C 14．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：与：相交于点，则 . 【答案】 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】将交点代入直线方程求参数a、b，即可得结果. 【详解】由题设，可得， 所以. 故答案为： 15．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 16．（22-23高二上·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由直线的交点坐标求参数、直线的倾斜角 【分析】 联立两直线方程可解得交点坐标，再结合交点在第一象限可得的取值范围，即可求得倾斜角的取值范围. 【详解】由题意可知，联立方程组可得交点的坐标为； 又因为点在第一象限，所以，解得. 即直线的斜率取值范围为，设其倾斜角为， 即，所以倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 17．（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）已知a为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则a的值为 ． 【答案】或或 【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】由三条直线不能围成三角形，则三条直线中至少有两条直线平行或三条直线交于同一点列式可得结果. 【详解】设，， 则 ∴与的交点为 ∵三条直线不能围成三角形， ∴过与的交点或或， ∴①当过与的交点时，解得： ， ②当时， 解得： ， ③当时，解得：， 综述：或或. 故答案为：或或. 18．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三条直线，和． (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知直线垂直求参数、求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】（1）根据两直线垂直得到，解得即可； （2）首先求出与的交点，将交点坐标代入直线中，计算可得. 【详解】（1）解：因为，且， 所以，解得. （2）解：由， 解得，即与的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在上， 所以，解得. 19．（22-23高二上·江苏常州·期中）设为实数，已知直线：，：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点在直线上，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知直线平行求参数、由直线的交点坐标求参数 【分析】（1）根据直线平行则斜率相等，列出等式求解即可； （2）求得两直线的交点坐标，再根据其满足，解方程即可. 【详解】（1）因为两直线平行，则斜率相等， 故可得，解得. （2）联立，解得两直线的交点坐标为， 又因为其满足直线，则， 即，解得或， 当时，两直线平行，无交点，故舍去，则. 题型五：三线能围成三角形的问题 20．（多选）（22-23高二上·江苏连云港·开学考试）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（    ） A．4 B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】根据题意，可分、、和三条直线经过一个点，四种情况分类讨论，即可求解. 【详解】由题意， 当三条直线和， 若时，可得； 当时，可得； 当时，则满足，无解； 当三条直线经过一个点时，把和的交点为， 代入直线中，可得，解得或， 综上可得，满足条件的为或或或. 故选：ACD. 21．（多选）对于直线：，下列说法错误的是（    ） A．时直线的倾斜角为 B．直线斜率必定存在 C．直线恒过定点 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为 【答案】AB 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线过定点问题、三线能围成三角形的问题 【分析】由斜率、倾斜角的定义判断AB，由方程可判断CD. 【详解】当时，直线的倾斜角为，故A错误； 当时，直线斜率不存在，故B错误； 由直线方程可知直线恒过定点，故C正确； 当时，直线与两坐标轴交点为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故D正确. 故选：AB. 22．（多选）若三条直线，和不能围成封闭图形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成任何一封闭图形的的值． 【详解】①三条直线交于同一点，不能围成封闭图形， 由，得，得交点． 直线过点，可得，得； ②若直线与直线平行时，则，解得； ③若直线与直线平行时，则，解得. 综上所述：或或． 故选：ACD ． 23．若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    【答案】且 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】由题意可分直线、、、直线经过同一点讨论，不能构成三角形从而可求出的值再求其补集可得答案. 【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若，则由，得； ②若，则由，得； ③若，则由，得， 当时，与三线重合，当时，平行． ④若三条直线交于一点，由，解得， 将的交点的坐标代入的方程， 解得 (舍去)，或， 所以要使三条直线能构成三角形，需且． 24．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)4； 【知识点】由直线的交点坐标求参数、三线能围成三角形的问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意可得，由此求得k的范围． （2）由题意可得，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程. 【详解】（1）直线可化为， 要使直线不经过第四象限，则, 解得， ∴k的取值范围为； （2）由题意可得中取得, 取得, 故， 当且仅当时，即时取“=”， 此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒ 25．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【知识点】求直线交点坐标、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围、三线能围成三角形的问题 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 题型六：直线交点系方程及应用 27．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、直线交点系方程及应用、条件等式求最值 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 28．（多选）设直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线 B． 与至多有无穷多个交点 C．的充要条件是 D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线 【答案】ACD 【知识点】已知直线平行求参数、直线交点系方程及应用 【分析】利用反例判断A，根据两直线的位置关系的充要条件判断B、C，根据交点直线系方程判断D； 【详解】解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的交点的横坐标）此时直线或的方程无法表示，故A错误； 对于B：当且时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确； 对于C：当且时，故C错误； 对于D：记与的交点为，则的坐标满足且满足，则不表示过点的直线，故D错误； 故选：ACD 29．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线交点系方程及应用、由两条直线平行求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）法一：联立直线方程，求出交点坐标，由点斜式方程得到直线方程.法二：由直线系方程可设所求直线为，由斜率为求出的值，回代入方程即可得出答案. （2）法一：由点斜式方程得到直线方程；法二：因为直线过点，代入直线系方程求出的值，即可得出答案. （3）法一：两直线平行，斜率相等，由点斜式方程得到直线方程. 法二：两直线平行，斜率相等，可得出直线系方程的斜率求出的值，即可得出答案. 【详解】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线与互相垂直，垂足为，则为（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】利用两直线的垂直关系及点在线上计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：B 2．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）设，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的斜率、直线与直线的位置关系分析运算即可得解. 【详解】解：    如上图，直线过定点，斜率为，且与线段相交， 即过定点，斜率为的直线绕点从逆时针旋转到， 中间经过轴，则或， ∵，， ∴则或，即的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合在上，在上及中点坐标公式求解. 【详解】设，由题意得，， 又的中点是，则，故， 又在上，则，故， 又，故，于是， 根据斜率公式，. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 二、多选题 5．（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】ACD 【分析】对直线的位置关系分三种情况讨论得解. 【详解】由于三条直线，，不能构成三角形， 则直线存在以下三种情况； ①当与平行时，则，解得； ②当与平行时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得，代入解得． 故选：ACD 6．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 【答案】ABD 【分析】对取值后运用直线方程逐项分析即可. 【详解】时，，所以，故A正确； 此时与坐标轴交于 所以D项所求面积，故D正确； 时，， 所以，，故B正确； 时，，解得，故C错误； 故选：ABD. 三、填空题 7．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为 ． 【答案】 【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可. 【详解】解：如图， 设关于直线的对称点为，因为 所以，解得，则 所以，结合图形则当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时， 则，直线为 于是，解得，即，故取得最小值时点坐标为. 故答案为：. 8．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知某等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点是该等腰三角形底边的中点，则底边所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出等腰三角形两腰所在直线的交点，再求出底边上的高所在直线的斜率即可求解作答. 【详解】由解得：，因此得等腰三角形的顶点坐标为， 因原点是该等腰三角形底边的中点，则等腰三角形底边上的高所在直线斜率为， 所以等腰三角形底边所在直线斜率为3，方程为. 故答案为： 9．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 【答案】或 【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论． 【详解】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程为，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 10．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别为，，且它的对角线的交点是，求这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是 ． 【答案】， 【分析】求出给定的两条直线的交点坐标，并求出它关于点对称点的坐标，再利用平行四边形的性质求出方程. 【详解】由，解得，则平行四边形的一个顶点, 点关于点对称点，于是平行四边形的另两边过点， 它们分别与直线，平行， 设对应方程为，，， 则，，解得，， 所以这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是，. 故答案为：， 11．（24-25高二上·江苏扬州·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出直线与直线，的交点坐标、，然后根据中点坐标的相关性质得出，，再然后根据在上以及在上得出，解得的坐标，由直线的两点式方程即得. 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：.    四、解答题 12．（23-24高二上·江苏南通·开学考试）解决下列问题： (1)一直线被两直线：，：截得线段的中点是，求此直线方程； (2)过点的直线交轴、轴的正半轴于A、B两点，求使：面积最小时的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设该直线与直线的交点为，与直线的交点为，根据中点坐标公式列出方程组，求得，，再求得该直线的斜率，从而可得直线方程； （2）设直线的方程为，由题意得到.利用基本不等式得到，代入三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）设该直线与直线的交点为，与直线的交点为，由中点坐标公式可得. 则该直线与直线的交点为，直线斜率为，所以直线方程为：，即．即此直线方程为． （2）设直线的方程为，则，， 直线过点，，则， 当且仅当时取等号，，， 当且仅当，时，取最小值，此时直线的方程为， 即． 13．（22-23高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知射线OA：，OB：.过点作直线分别交射线OA，OB于点A，B. (1)当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程； (2)当的面积为时，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设，，，，从而求出的中点坐标，再结合条件建立等式，求得，即可得到直线方程； （2）法一：设，，，，根据A，P，B三点共线，得到与的关系式，再由，解得，即可得到直线方程； 法二：设直线AB的方程为，联立直线和射线求得点，再联立直线和射线求得点，再结合，即可求解. 【详解】（1）由题意设，，，，则线段AB的中点为， 因为线段AB的中点为P，所以，解得：，. 所以，，则直线AB的斜率. 所以直线AB的方程为，即. 故直线AB的方程为. （2）法一：设，，，， 因为A，P，B三点共线，所以，或， 解得：. 所以的面积为， 解得，. 所以，，则直线AB的斜率. 所以直线AB的方程为，即. 故直线AB的方程为. 法二：设直线AB的方程为， 联立，得，其中， 所以， 联立，得，其中， 所以， 所以， 解得：， 所以直线AB的方程为，即. 14．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将中点代入直线方程即可求出值，则得到答案； （2）首先得到，计算出直线的方程，将其与直线方程联立即可求出的坐标，则得到的方程. 【详解】（1）设，由题意知，的中点在直线上， 则有，点坐标为. （2）由题意知关于的对称点在直线上， 则有边所在直线方程为，即. 联立方程有，解得， 又，则，则所在直线方程为， 即所在直线方程为. 15．（23-24高二上·江苏苏州·期中）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． (1)求点的坐标； (2)过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点； （2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又的坐标为，所以直线的方程为，即． 因为BC边上的中线经过点A，由与联立，解得，， 所以点的坐标为． （2）依题意可设直线的方程为（，），则． 因为，，所以，则， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为． 16．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线的方程； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知可设直线的方程为.代入点的坐标，求解即可得出答案； （2）联立直线与直线的方程得出交点坐标.进而分为直线过原点以及不过原点两种情况，设出直线方程，代入交点坐标，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知以及直线的方程，可设直线的方程为. 直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与直线的方程，可得， 所以，直线与直线的交点为. 当直线过原点时，设方程为，代入点可得， 所以，直线的方程为，即； 当直线不过原点时，由已知可设直线方程为， 代入点可得，，解得， 代入直线方程，整理可得. 综上所述，直线的方程为或. 17．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求此直线方程； （2）在平面直角坐标系中，已知射线：：，过点作直线分别交射线于点，当的中点在直线上时，求直线的方程. 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）通过讨论截距是否为0，结合直线的截距式即可得解； （2）设，，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出、，即可求得直线的方程； 【详解】（1）当截距为0时，易得直线方程为； 当截距不为0时，由题意设直线方程， 代入点可得：，解得， 此时直线方程为，即； 故直线方程为或. （2）设，，则线段的中点为， 所以，解得，或（舍去）； 所以直线的方程为：，化为：. 18．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知两条直线：和：，过点作一条直线． (1)若过两条直线的交点，求直线的方程； (2)若夹在两条直线之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线与的交点坐标，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出线与的交点坐标，由中点坐标公式及直线的点斜式方程求解即可. 【详解】（1）由，解得，即直线与交于点， 则直线的斜率为，方程为，即. （2）设直线与的交点为，则点关于点的对称点， 依题意，点在直线上，即，解得，则， 直线的斜率为，方程为，即， 所以直线的方程为. 19．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． (1)若是边上的高，求直线的方程； (2)若是边上的中线，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）联立直线、的方程，得出点的坐标，可得出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设，则点关于的对称点为在直线上，可求出的值，可点的坐标，进而可求得直线的方程，即直线的方程. 【详解】（1）由得，所以，直线的斜率为， 因为，所以，直线的斜率为， 则直线的方程为，即. （2）点在直线上，设， 点关于的对称点为在直线上， 所以，解得，即点， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 20．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）由两直线互相垂直列方程即可求； （2）根据题意求出，分直线的截距均为0和均不为0两种情况讨论即可； （3）由直线求出，由边上的高方程求出，得到直线的方程，联立直线与求出点，设，求出，代入直线的方程，与直线联立得出，即可求直线的方程. 【详解】（1）因为，所以， 解得或. （2）因为点在直线上， 所以，解得， 因为直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线方程为， 所以，此时直线的方程为； 当两截距均不为0时，设直线的方程为， 将点代入得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，所以直线的方程为：或. （3）由可得， 由得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线， 所以直线的方程为：即， 又因为所在直线的方程为， 由解得，所以， 设，则中点， 代入得，整理得， 由，解得，所以， 所以直线的方程为：即. 21．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    【答案】, 【分析】由已知及直线的斜截式方程求、坐标，再由三角形面积公式写出△的面积S，并指出k的取值范围 由面积S的解析式构造函数，并研究函数的单调性，进而求S的最值． 【详解】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为， ，， 直线OA的方程为，直线AB的方程为， 由知：且，可得或， 由知：且，可得， ，故，， ， ∴，且. 设，， 当时，， ∵， ，，，则，即， 在是增函数， 当时，，即时，． 【点睛】关键点点睛：应用直线的斜截式方程及三角形面积公式写出面积S及k的范围，利用函数的单调性求S的最值. 22．如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. (1)用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； (2)求锯成的的面积的最小值. 【答案】(1)，，. (2). 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标； （2）先由题意确定的范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， 又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. （2）因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$