3.3勾股定理的应用举例课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

3.3 勾股定理的应用举例 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离。（重点） 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题。(重难点) 学习目标 一、勾股定理的内容是什么？ 二、勾股定理的逆定理是什么？ Rt△ a2+b2=c2 a2+b2=c2 Rt△ 复习回顾 5 13 求BC的长 解题步骤 解：在Rt△ABC中,由勾股定理得， AB2+BC2=AC2 52+BC2=132 BC2=144 知道2边求1边 知道边长求形状 7、8、9 6、8、10 解题步骤 解：∵ 72=49 82=64 92=81 92≠72+82 ∴ 三角形不是直角三角形 探究一 立体图形中两点之间的最短距离 探究新知 A B 前后两桌一个小组，讨论一下，并把路线画出来。 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 圆柱最短路径问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它应该选择哪条路线? C B A AC+CB>AB（两点之间线段最短） 思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬到 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？ 挑战自我 A B 若已知圆柱体高为12 cm，底面上圆的周长等于18cm 【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. A B 侧面 展开 A B A' 12 9 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 变式1有一个圆柱形油罐，要从 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短长度. BB' ≈ 2×3×2 = 12， 由勾股定理得 AB′2 = BB′2 + AB2 ≈ 122 + 52 = 169， ∴ AB′ ≈ 13，即梯子最短约需 13 m. 变式2：当小蚂蚁在瓶外壁爬到距离上底 3 cm 的点A 时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，一滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底 3 cm 的点 B 处，此时点A、B正好在瓶的正对面，小蚂蚁到达点 B 处的最短路程是多少？（π取3） 解：如图，可知△ECF 为直角三角形，由勾股定理，得 EF2 = EC2 + CF2 = 82 + (12 - 3 - 3)2 = 100， ∴ EF = 10 (cm). 如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少? A B 解：由题意得AC =2，BC=1, 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB²= AC²+ BC²=2²+1²=5 ∴AB= ，即最短路程为 . 2 1 A B C 学以致用 利用勾股定理求最短距离问题 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 归纳总结 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 解决 A B 如图，一个长方体盒子一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 长方体最短路径问题 b a A B c C a b c B C A a b A B c C a b c AB2=（b+c）2+a2 AB2=（a+b）2+c2 AB2=（a+c）2+b2 B A 把小蚂蚁放在点A处，并在点B处放了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路程么？ 6cm 8cm 10cm 课后思考 利用勾股定理求最短距离问题 小结： 1、能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理 2、能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点 3、利用勾股定理求最短距离问题 上面 前面 上面 前面 10 10 10 10 10 10 6 6 6 6 8 8 8 8 A A B B1 路线一： AB12 =102 +（6+8）2 =296， 解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得 6 前面 前面 右侧 右侧 10 10 10 10 6 6 8 8 8 8 8 8 A A B B2 路线二： AB22= 82 +（10+6）2 =320， 解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得 上面 左侧 左侧 上面 10 10 10 6 6 6 6 6 6 10 8 8 8 8 A A B B3 路线三： AB32= 62 +（10+8）2 =360， 解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得 B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 =102 +（6+8）2 =296， AB22= 82 +（10+6）2 =320， AB32= 62 +（10+8）2 =360， 解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得 ∴AB1＜AB2＜AB3. ∴小蚂蚁吃到火腿肠的最短路程为AB1，长为 296 cm. 综合展开图 归纳总结 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 勾股定理的应用 立体图形中两点之间的最短路程问题 勾股定理的实际应用问题 课堂小结 $$