5.1.1 从算式到方程导学案2025-2026学年人教版七年级数学上册

5.1.1 从算式到方程导学案 一、学习目标（简写版） 1. 理解方程、一元一次方程的概念，能区分方程与代数式。 1. 掌握列方程的步骤，能根据实际问题列出一元一次方程。 1. 理解方程的解的含义，会检验一个数是否为方程的解。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 方程的概念（含有未知数的等式）。 1. 一元一次方程的概念（只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式）。 1. 列方程表示实际问题中的等量关系。 1. 方程的解的概念（使方程左右两边相等的未知数的值）及检验方法。 （二）学习难点 1. 区分方程与等式、代数式（方程是含未知数的等式，代数式不含等号，等式不一定含未知数）。 1. 准确找出实际问题中的等量关系并转化为方程。 1. 理解一元一次方程中 “未知数的次数都是 1” 的含义（含未知数的项的最高次数是 1）。 三、本节内容的思维导图 从算式到方程 ├──方程 │ ├──概念：含有未知数的等式 │ ├──与相关概念的区别：方程是含未知数的等式，等式不一定含未知数（如3+2=5），代数式不含等号（如2x+1） ├──一元一次方程 │ ├──概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程 │ ├──特征：①一个未知数；②未知数次数为1；③整式方程（分母不含未知数） ├──方程的解 │ ├──概念：使方程左右两边相等的未知数的值 │ ├──检验方法：将未知数的值代入方程，看左右两边是否相等 ├──列方程的步骤 │ ├──设未知数（用字母表示未知量） │ ├──找出实际问题中的等量关系 │ ├──根据等量关系列出含有未知数的等式（方程） ├──易错点 │ ├──混淆方程与代数式（如误将2x+3当作方程） │ ├──判断一元一次方程时忽略“未知数次数为1”或“整式方程”条件（如x²+2x=5不是一元一次方程） │ ├──列方程时漏写单位或等量关系找错 │ ├──检验方程的解时计算错误 └──应用：用方程表示实际问题中的数量关系，为解决问题奠定基础 四、知识点自主预习填空 1. 含有（ ）的（ ）叫做方程。 1. 只含有（ ）个未知数，未知数的次数都是（ ），等号两边都是（ ）的方程叫做一元一次方程。 1. 使方程左右两边（ ）的未知数的值叫做方程的解。 1. 列方程时，首先要（ ），然后找出（ ），最后根据（ ）列出方程。 1. 下列式子中是一元一次方程的有（ ）（填序号）：①3x+5；②2x-1=0；③x+y=3；④x²-3x=1。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）方程的概念 1. 概念：含有未知数的等式叫做方程。 例如：2x=6（含未知数 x 的等式）、3y-1=5（含未知数 y 的等式）都是方程；而 3+5=8（不含未知数）、2x+3（不是等式）都不是方程。 核心要素：必须同时满足两个条件 ——①是等式（含等号 “=”）；②含有未知数（如 x、y 等字母）。 常考易错点：将不含未知数的等式当作方程（如 5+3=8 不是方程）；将代数式当作方程（如 3x-2 不是方程，因不含等号）。 经典例题：判断下列式子是否为方程：（1）3x-5=7；（2）4+6=10；（3）2m+3。 解：（1）是，含有未知数 x 且是等式；（2）不是，不含未知数；（3）不是，不是等式（是代数式）。 （二）一元一次方程 1. 概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 例如：5x=3（一个未知数 x，次数 1，整式方程）、2y-1=3y（一个未知数 y，次数 1，整式方程）是一元一次方程；而 x+y=5（两个未知数）、x²=4（未知数次数 2）、1/x + 2=3（分母含未知数，不是整式）都不是一元一次方程。 三个特征： 常考易错点：误将未知数次数不为 1 的方程当作一元一次方程（如 x³-1=0，未知数次数是 3）；忽略 “整式方程” 条件，将分母含未知数的方程当作一元一次方程（如 2/x + 1=5）。 经典例题：判断下列方程是否为一元一次方程：（1）3x+2=5x-1；（2）2x+y=3；（3）x²+3x=6。 解：（1）是，只含一个未知数 x，次数 1，整式方程；（2）不是，含有两个未知数 x 和 y；（3）不是，未知数 x 的次数是 2。 0. 只含一个未知数（如 x、y 等，不能有多个不同字母）； 0. 未知数的次数都是 1（含未知数的项的最高次数是 1，如 3x 是一次项，x/2 也是一次项）； 0. 等号两边都是整式（分母中不含未知数，否则是分式方程）。 （三）方程的解 1. 概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 例如：对于方程 2x+1=5，当 x=2 时，左边 = 2×2+1=5，右边 = 5，左边 = 右边，所以 x=2 是该方程的解；当 x=1 时，左边 = 3≠右边，所以 x=1 不是解。 1. 检验方法： 常考易错点：检验时只代入一边或计算错误，导致判断失误。 经典例题：检验 x=3 是否是方程 4x-5=7 的解。 解：将 x=3 代入方程左边：4×3-5=12-5=7； 方程右边 = 7； 因为左边 = 右边，所以 x=3 是方程 4x-5=7 的解。 0. 步骤：①将未知数的值代入方程左边，计算结果；②将未知数的值代入方程右边，计算结果；③比较左右两边结果，若相等，则是方程的解，否则不是。 （四）列方程 列方程是将实际问题中的数量关系转化为数学式子的过程，步骤如下： 1. 设未知数：用字母（通常用 x、y 等）表示问题中的未知量（设未知数时可带单位，如设这个数为 x 米）。 1. 找等量关系：分析问题中的数量关系，找出相等的关系（关键步骤，可借助 “比、多、少、倍、共、等于” 等关键词）。 1. 列方程：用含未知数的式子表示等量关系中的各个量，列出等式（方程）。 常考易错点：等量关系找错（如 “甲数比乙数的 2 倍多 3” 误列为甲 = 2×(乙 + 3)）；设未知数后漏写单位或方程中单位不统一。 经典例题：根据下列问题列方程：一个数的 3 倍与 5 的和等于 14，求这个数。 解：设这个数为 x； 等量关系：这个数的 3 倍 + 5 = 14； 列方程：3x + 5 = 14。 六、效果检测 1. 含有未知数的式子叫做方程。（ ） 1. 方程 2x+3=7 是一元一次方程。（ ） 1. x=2 是方程 3x-2=4 的解。（ ） 1. 方程一定是等式，等式一定是方程。（ ） 1. “x 的 2 倍与 3 的差等于 5” 列方程为 2x-3=5。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 核心概念： 0. 方程：含未知数的等式； 0. 一元一次方程：一个未知数、次数为 1、整式方程； 0. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 1. 列方程关键：设未知数、找等量关系、列等式。 1. 易错区分：方程与等式、代数式的区别；一元一次方程的特征。 1. 检验方程的解：代入后比较左右两边是否相等。 8、 课后作业 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B．4 C．4或0 D．0 3．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程：①，②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 6．以下方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一元一次方程有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．下列方程中，是一元一次方程的为（  ） A． B． C． D． 8．若是关于x的一元一次方程，则等于（   ） A．1 B． C．1或 D．0 二、填空题 9．若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 10．若是方程的解，则m的值为 ； 11．小玉解关于的方程，在去分母时，方程右边的“”项没有乘以6，因而求得的解是，则的值为 ． 12．如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是 ． 三、解答题 13．括号里的值，哪个是方程的解？把它圈出来． （1）（，） （2）（，） （3）（，） （4）（，） （5）（，） （6）（，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 未知数；等式 1. 一；1；整式 1. 相等 1. 设未知数；等量关系；等量关系 1. ② （二）效果检测的答案和解析 1. （×）解析：方程是含有未知数的 “等式”，而非 “式子”，式子不一定是等式（如 2x+1 是式子但不是方程），该说法错误。 1. （√）解析：方程 2x+3=7 只含一个未知数 x，未知数次数是 1，等号两边是整式，符合一元一次方程的定义，该说法正确。 1. （√）解析：将 x=2 代入方程 3x-2=4，左边 = 3×2-2=4，右边 = 4，左边 = 右边，所以 x=2 是方程的解，该说法正确。 1. （×）解析：方程是含未知数的等式，因此方程一定是等式，但等式不一定是方程（如 3+5=8 是等式但不是方程），该说法错误。 1. （√）解析：“x 的 2 倍” 是 2x，与 3 的差是 2x-3，等于 5 即 2x-3=5，列方程正确，该说法正确。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A C C D B 1．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程．根据一元一次方程的定义，需满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数为1；③为整式方程．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A． ：含两个未知数x和y，不符合定义，故本选项不符合题意； B． ：仅含未知数x，次数为1，且为整式方程，符合定义； C． ：含项，次数为2，不符合定义，故本选项不符合题意； D． ：分母中含有未知数，不符合定义，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得， 故选：D 3．C 【分析】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．根据方程解的定义，将代入各选项方程，验证是否成立． 【详解】A. 方程左边：，右边为6，，不成立． B. 方程左边：，右边为，，不成立． C. 方程左边：，右边为，，成立． D. 方程左边：，右边为0，，不成立． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程），逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：①：仅含未知数，次数为1，且为整式方程，符合定义； ②：含有两个未知数和，不符合“只含一个未知数”的条件，不符合定义； ③：分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义； ④：仅含未知数，次数为1，且为整式方程（分母为常数），符合定义； ⑤：未知数的次数为2，不符合“次数为1”的条件，不符合定义； 综上，符合一元一次方程定义的为①和④，共2个． 故选A． 5．C 【分析】本题考查了一元一次方程的判断；根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）进行判断． 【详解】解：A． ：不含未知数，不是方程，排除． B． ：仅为代数式，无等号，不是方程，排除． C． ：含有一个未知数，次数为1，且为整式方程，符合定义，正确． D． ：分母含未知数，非整式方程，排除． 故选：C． 6．C 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一判断各方程即可． 【详解】解：① ：含分式，不是整式方程，不是一元一次方程． ② ：仅含未知数，次数为1，是整式方程，是一元一次方程． ③ ：仅含，次数为1，整式方程，符合条件．是一元一次方程 ④ ：化简后为整式方程，且次数为1，符合条件．是一元一次方程 ⑤ ：仅含未知数，次数为1，整式方程，符合条件．是一元一次方程 ⑥ ：含两个未知数和，是二元一次方程，不是一元一次方程．． ⑦ ：含项，次数为2，是一元二次方程，不是一元一次方程．． 综上，符合条件的方程有②、③、④、⑤，共4个， 故选C． 7．D 【详解】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且为整式方程）逐一判断各选项即可． 【分析】A．含有两个未知数和，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B．中是分式，不是整式方程，因此不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C．中未知数的最高次数为2，是二次方程，故该选项不符合题意； D．化简为，仅含一个未知数，次数为1，且为整式方程，符合一元一次方程的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为 1 ，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得：，再解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ， 解得：， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，先根据一元一次方程的解的定义求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解∶∵方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 10．/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程组中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入方程中计算求解即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元一次方程无解问题，掌握方程无解的条件是解题的关键． 根据方程无解，可得系数为零，常数不为零，据此求解即可． 【详解】解：当时，方程的左边，方程的右边， ∴关于x的方程无解． 故答案为：． 13．见解析 【分析】本题主要考查了主程的解的定义，使方程左右两边的值相等的未知数的值是方程的解，解决本题的关键是分别把括号里的值代入方程，如果方程左右两边的结果相等，则这个的值是方程的解，反之则不是． 【详解】解把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 解：把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； 把代入方程， 可得：左边，右边， 左边右边， 是方程的解． 把方程的解圈起来如下： $$