1.2 直线的方程 讲义-2025年暑期新高二数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与方程 1.2直线的方程 知识点一、直线的点斜式方程 定义：方程y-y1=k（x-x1)叫作直线的点斜式方程，简称点斜式。（斜率存在） 特殊： 倾斜角 斜率 方程 0度 tan0度=0，即k=0 y-y1=0或y=y1 90度 tan90度无意义，即k不存在 x-x1=0或x=x1 例1-1、 在平面直角坐标系中，有下列三个结论： ①每一条直线都有点斜式方程； ②方程k=与方程y+1=k(x-2)可表示同一条直线； ③直线l经过点P0（x0,y0)，倾斜角为90度，则其方程为x=x0 其中正确结论的序号为___________。 例1-2、写出下列直线的点斜式方程： （1）经过点A（2，5），斜率是4； （2）经过点B（2，3），倾斜角为45度。 知识点二、直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距，方程y=kx+b由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程，简称斜截式。 例2-1、已知直线l过点（1，0），且与直线y=(x-1)的夹角为30度，求直线l的方程。 例2-2、根据条件写出下列直线的方程 （1）斜率是2，在y轴上的截距是3的直线方程为___________； （2）倾斜角是30度，在y轴上的截距是0的直线方程为___________； （3）已知直线l与直线y+3= x的斜率相等，直线l与x轴的交点为（a,0），且a比直线l在y轴上的截距大1，则直线l的斜截式方程为 ___________。 知识点三、直线的两点式方程 方程=叫作直线的两点式方程，简称两点式。当y1=y2时，由x1≠x2知直线l与y轴垂直，它的方程为y=y1。如果x1=x2，那么y1≠y2，直线l与x轴垂直，它的方程为x=x1。 例3-1、已知△ABC的顶点A（1，-1），线段BC的中点为D（3，），求BC边上的中线所在的直线方程。 例3-2、已知某直线经过点A（1，0），B（m，1），求这条直线的方程。 知识点四、直线的截距式方程 方程+=1中，b称为直线l在y轴上的截距，a称为直线l在x轴上的截距。这个方程由直线l在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程，简称截距式。 例4、 求过点（4，-3）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程。 知识点五、直线的一般式方程 方程Ax+By+C=0（A，B不全为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式。方程也称为关于x，y的线性方程。 （方程中等号的左侧从左到右一般按含x项、y项、常数项的顺序排列；x项的系数为正；x,y的系数和常数项一般不出现分数。） 例5-1、已知直线Ax+By+C=0与两坐标轴都相交，则系数A，B，C满足的条件是（ ） A、A≠0 B、A≠0 且B≠0 C、C≠0 D、B≠0 例5-2、根据下列各条件分别写出直线方程，并化成一般式。 （1）斜率是-，且经过点（8，-6）； （2）在x轴和y轴上的截距分别是和-3； （3）倾斜角为30度，且在y轴上的截距为-7； （4）经过点（2，-3）和（3，-1）。 直线方程的一般式与截距式、斜截式的互化 一般式 斜截式 截距式 Ax+By+C=0(A,B不全为0） y=-x-(B≠0) +=1(A,B,C都不为0） 变、（多选）已知直线l：2ax+y+3+a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（ ） A、 B、- C、3 D、-3 一般式方程中的系数A，B，C与图像特征 （1） 图像与坐标轴平行、重合的情况 图像特征 A，B，C取值情况 平行于x轴（只与y轴相交） A=0，B≠0，C≠0 平行于y轴（只与x轴相交） A≠0，B=0，C≠0 与x轴重合 A=0，B≠0，C=0 与y轴重合 A≠0，B=0，C=0 （2） 图像与两个坐标轴相交的情况 当A≠0，B≠0时，直线与两个坐标轴相交。 例5-3、已知在平面直角坐标系中，A（1，-4），B（6，6），C（-2，0），则△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程为________________。 例5-4、下列说法中不正确的是（ ）。 A、平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0）表示 B、当C=0时，方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0）表示的直线过原点 C、当A=0，B≠0，C≠0时，方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行 D、任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 能力点1、选择适当形式确定直线方程 ★选择直线方程形式的原则 （1） 已知直线过某点，常设点斜式方程。此时，应讨论斜率是否存在。 （2） 已知直线的斜率， 常设点斜式或斜截式方程。 （3） 已知截距，常设斜截式或截距式方程。此时应注意截距式不能表示平行或重合于坐标轴的直线和过原点的直线。 （4） 已知两点，常设两点式方程。注意两点式不能表示平行或重合于坐标轴的直线。 （5） 已知条件过少或难以利用时，可设直线的斜截式，但不要忘记讨论斜率是否存在。 （6） 若所求的是直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，则应选用截距式方程。 例1-1、 直线l过定点A（-2，3），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程。 例1-2、直线l过点P（2，1），与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点，当△ABC的面积最小时，直线l的方程是（ ） A、x+y-3=0 B、2x+y-5=0 C、x+2y-4=0 D、4x+y-9=0 变：等腰△ABC的顶点A（-1，2），AC边所在直线的斜率为，点B（-3，2），求直线AC，BC及∠A的平分线所在直线的方程。 能力点2、中心直线系方程及其应用 1、 中心直线系方程的定义 把平面内恒过定点的直线的全体称为中心直线系 2、 求定点的常用方法 （1） 直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得定点。 （2） 赋值法：因为参数取任何实数，所以给参数任取两次值，得到关于x,y的二元一次方程组，解方程组可得x,y的值，即为直线过的定点。 （3） 分离参数法：将方程变形，把x,y作为参数的系数，即有参数的放在一起，没有参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x,y的值，即为直线过的定点。 例2、 已知直线l:5ax-5y-a+3=0，求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限。 变：已知直线l:5ax-5y-a+3=0，求使直线l不经过第二象限的实数a的取值范围。 能力点3、直线方程的综合应用 例3、 （1）设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3)。若直线的斜率为-1，则k=_____________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k=_____________。 （2）设直线l的方程为（a+1)x+y+2-a=0(a∈R)，若直线l不经过第二象限，则实数a的取值范围是_____________。 变：已知直线l的方程为（m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0。 （1） 求实数m的取值范围； （2） 若直线l的斜率不存在，求实数m的值； （3） 若直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值； （4） 若直线l的倾斜角是45度，求实数m的值。 达标训练： 1、 已知直线的倾斜角为45度，在x轴上的截距为2，则此直线的方程为（ ） A、 y=-x-2 B、y=x-2 C、y=x+2 D、y=-x+2 2、 （多选）下列叙述不正确的是（ ） A、 经过顶点P0（x0,y0）的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示 B、 经过任意两个不同点P1（x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 C、 不经过原点的直线都可以用方程+=1表示 D、 经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示 3、 （多选）关于直线l：x-y-1=0，下列说法正确的有（ ） A、 过点（，-2） B、斜率为 C、倾斜角为60度 D、在y轴上的截距为1 4、 经过点A（-2，3），B（4，-1）的直线的两点式方程为__________，化成点斜式为__________，化成斜截式为__________，化成截距式为__________。 5、 写出下列直线的一般式方程。 （1） 经过点A（3，-1），斜率是； （2） 经过点B（-，2），倾斜角是30度； （3） 过点A（1，3），斜率是直线y=-4x的斜率的； （4） 过点A（-5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍； （5） 过点A（2，1），B（m，3）。 6、 直线y=k(x-1)与以A（3，2），B（0，1）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（ ） A、 [-1,1] B、[-1,3] C、（-∞，-1]∪[3,+∞) D、（-∞，-1]∪[1,+∞) 7、 在平面直角坐标系中，方程+=1所表示的曲线是（ ） A、 两条平行线 B、一个矩形 C、一个菱形 D、一个圆 8、 （多选）已知直线l1:x-y-1=0，动直线l2:（k+1）x+ky+k=0(k∈R),则下列结论错误的是（ ） A、 不存在k，使得l2的倾斜角为90度 B、 对任意的k，l1与l2都有公共点 C、 对任意的k，l1与l2都不重合 D、 对任意的k，l1与l2都不垂直 9、 （多选）已知直线l：mx+y+1=0，则下列结论正确的是（ ） A、 直线l恒过定点（0，1） B、 当m=0时，直线l的斜率不存在 C、 当m=1时，直线l的倾斜角为 D、 当m=2时，直线l的斜率为-2 10、 已知线段PQ两端点的坐标分别为P（-1，1）和Q（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是__________。 11、 已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点P（2，3），则过两点Q1（a1,b1），Q2(a2,b2)的直线方程为__________。 12、 直线过点（，2）且与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$