3.1 列代数式表示数量关系导学案2025-2026学年人教版七年级数学上册

本文围绕列代数式表示数量关系展开，聚焦代数式概念、列代数式方法等核心知识点。承接之前数学基础，为后续代数学习奠基。通过分析实际问题、讲解易错点等环节，培养学生抽象能力、运算能力、模型意识等核心素养。 本设计亮点在于借助思维导图梳理知识，采用讲练结合教法。从学生层面看，能提升其对数量关系的理解与运用能力；从教师层面看，提供了清晰授课框架；从课堂效果看，有效突破教学难点。

3.1 列代数式表示数量关系导学案 一、学习目标（简写版） 1. 理解代数式的概念，能区分代数式与非代数式。 1. 掌握列代数式的基本方法，能把文字语言表述的数量关系转化为代数式。 1. 会根据实际问题中的数量关系列出代数式，明确代数式的实际意义。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 代数式的概念及特征（不含等号、不等号）。 1. 列代数式的基本规则和方法（如 “和、差、积、商、倍、分” 等关系的转化）。 1. 准确理解文字语言中的数量关系，正确列出代数式。 （二）学习难点 1. 处理含有多层数量关系的文字表述（如 “比 a 的 2 倍多 3 的数”“a 与 b 的差的平方” 等）。 1. 区分相近的数量关系表述（如 “a 与 b 的平方和” 与 “a 与 b 的和的平方”）。 1. 用代数式表示实际问题中的隐含数量关系（如增长率、折扣等）。 三、本节内容的思维导图 列代数式表示数量关系 ├──代数式的概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式（不含=、≠、>、<等关系符号） ├──列代数式的步骤 │ ├──分析文字语言中的数量关系，找出关键词（如和、差、积、商、倍、分、多、少等） │ ├──确定运算顺序（先读先写，注意括号的使用） │ ├──用字母和运算符号表示出数量关系，形成代数式 ├──常见数量关系的代数式表示 │ ├──和差关系：a与b的和（a+b）、a比b多5（a-b=5错误，应为a=b+5的代数式a-5或b+5） │ ├──倍分关系：a的3倍（3a）、a的1/2（1/2a或a/2） │ ├──乘方关系：a的平方（a²）、a与b的差的平方（(a-b)²） │ └──实际问题：路程（速度×时间）、总价（单价×数量）、增长率（原数×(1+增长率)）等 ├──易错点 │ ├──混淆运算顺序，漏写括号（如“a与b的和的平方”误写为a+b²） │ ├──对“除”和“除以”理解错误（a除b是b÷a，a除以b是a÷b） │ ├──代数式中出现单位时，未正确添加括号（如“(a+3)米”不能写成a+3米） ├──代数式的实际意义：结合具体情境解释代数式所表示的数量关系 四、知识点自主预习填空 1. 用（ ）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个（ ）或一个（ ）也是代数式。 1. 列代数式时，“a 的 3 倍与 b 的和” 表示为（ ）；“x 与 y 的差的一半” 表示为（ ）。 1. “a 除以 b 的商” 表示为（ ）；“a 除 b 的商” 表示为（ ）。 1. 若某商品原价为 m 元，打 8 折后的价格为（ ）元；若增长率为 r，原数为 a，则增长后的数为（ ）。 1. 代数式 5a + 2b 的实际意义可以是（ ）（举一个例子）。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）代数式的概念 代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子。此外，单独的一个数（如 5、0.3）或一个字母（如 a、x）也是代数式。 特征：代数式中不含等号（=）、不等号（≠、>、<、≥、≤），只含有运算符号和数、字母。 常考易错点：误将含有等号或不等号的式子当作代数式，如 “3x + 2 = 5”“2a > 1” 都不是代数式。 经典例题：判断下列式子是否为代数式：（1）3x + 5；（2）4y - 1 = 0；（3）m。 解：（1）是代数式，符合代数式的定义；（2）不是代数式，含有等号；（3）是代数式，单独的一个字母是代数式。 （二）列代数式的基本方法 列代数式的核心是将文字语言转化为数学符号语言，关键在于准确理解关键词的含义和运算顺序： 1. 关键词对应运算： 0. 和、加、加上：用 “+” 表示； 0. 差、减、减去：用 “-” 表示； 0. 积、乘、乘以：用 “×”（或省略不写，如 a×b 可写成 ab）表示； 0. 商、除、除以：用 “÷”（或分数形式）表示； 0. 倍：用乘法表示（如 a 的 3 倍是 3a）； 0. 分：用除法表示（如 a 的 1/5 是 a/5）； 0. 平方、立方：用乘方表示（如 a 的平方是 a²）。 15. 运算顺序：先读的先写，若遇 “和的积”“差的平方” 等需要改变运算顺序的情况，需添加括号。 常考易错点：对 “除” 和 “除以” 区分不清，如 “a 除 b” 是 b÷a，而非 a÷b；忽略括号的使用，导致运算顺序错误。 经典例题：用代数式表示：（1）x 与 y 的和的 3 倍；（2）a 除以 b 与 c 的积的商。 解：（1）先算 x 与 y 的和，再乘以 3，列式为 3 (x + y)； （2）先算 b 与 c 的积，再用 a 除以这个积，列式为 a÷(bc)（或 a/(bc)）。 （三）复杂数量关系的代数式表示 对于含有多层关系的表述，需分层分析，逐步转化： 1. 找出最基本的量，用字母表示。 1. 按照 “先低级运算，后高级运算” 的顺序，逐层表示出数量关系。 常考易错点：混淆 “平方和” 与 “和的平方”“平方差” 与 “差的平方” 等易混淆的表述。例如，“a 与 b 的平方和” 是 a² + b²，“a 与 b 的和的平方” 是 (a + b)²。 经典例题：用代数式表示：（1）比 m 的平方的 2 倍少 1 的数；（2）x 与 y 的差的平方与 x 与 y 的平方差的和。 解：（1）先算 m 的平方的 2 倍，即 2m²，再减 1，列式为 2m² - 1； （2）“x 与 y 的差的平方” 是 (x - y)²，“x 与 y 的平方差” 是 x² - y²，两者的和列式为 (x - y)² + (x² - y²)。 （四）代数式的实际意义 代数式的实际意义是指结合具体情境（如生活、生产中的实际问题），解释代数式所表示的数量关系。解释时需明确字母和代数式整体代表的实际含义。 常考易错点：解释时忽略代数式中运算的实际意义，仅简单翻译字母和数字。 经典例题：说出代数式 3a + 2b 的实际意义（结合生活情境）。 解：若 a 表示每支铅笔的价格（元），b 表示每块橡皮的价格（元），则 3a + 2b 表示买 3 支铅笔和 2 块橡皮的总价格（元）。（答案不唯一，合理即可） 六、效果检测 1. 含有等号的式子也是代数式。（ ） 1. “a 的 5 倍与 b 的和” 可以表示为 5a + b。（ ） 1. “x 与 y 的差的平方” 与 “x 与 y 的平方的差” 表示的代数式相同。（ ） 1. 单独的一个数字 0 不是代数式。（ ） 1. 代数式 2 (x + y) 可以表示 “x 与 y 的和的 2 倍”。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 代数式的概念：由数、字母和运算符号组成，不含关系符号（=、≠等），单独的数或字母也是代数式。 1. 列代数式的方法：抓住关键词，明确运算顺序，分层转化；注意 “除” 与 “除以” 的区别，必要时添加括号。 1. 易错点：混淆易混淆的表述（如平方和与和的平方），漏写括号，误解 “除” 的含义。 1. 代数式的实际意义：结合具体情境，解释代数式所代表的数量关系。 8、 课后作业 1．如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（   ） A．16个 B．个 C．32个 D．个 2．下列代数式用语言叙述错误的是（   ） A．表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．表示与的2倍的和 C．表示与和的平方 D．表示a，b两数的和与差的乘积 3．小明从家到学校路程一定，所需时间与行走的速度（   ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．时间与速度都一定 4．已知长方体的体积为，下列关于该长方形的底面积与高的说法正确的是（    ） A．与成正比例关系 B．与成反比例关系 C．与成正比例关系 D．与不成比例关系 5．学校报告厅第一排有a个座位，第二排有个座位，第三排有个座位，后面每一排比前面一排多2个座位．第n排有（　　）个座位． A． B． C． D． 6．智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 7．下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C． D．元 8．用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 9．用代数式表示“的3倍与的差的平方”，正确的是（　　） A． B．3 C． D． 二、填空题 10．把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制m千克这种混合饮料需 千克甲种饮料． 11．长方形中部分数据如图所示，则用字母表示图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，一张长方形方桌正好可以坐个人，如果按图中这样排，把张桌子拼在一起可以坐 人． 三、解答题 13．如图，阴影部分的周长是厘米，分别以它的长和宽为边画出两个正方形．已知两个正方形面积的和是平方厘米，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 运算符号；数；字母 1. 3a + b；(x - y)/2 1. a÷b（或 a/b）；b÷a（或 b/a） 1. 0.8m；a(1 + r) 1. 5 支单价为 a 元的笔和 2 本单价为 b 元的笔记本的总价格（答案不唯一） （二）效果检测的答案和解析 1. （×）解析：代数式中不含等号、不等号等关系符号，含有等号的式子是等式，不是代数式，该说法错误。 1. （√）解析：“a 的 5 倍” 是 5a，与 b 的和即 5a + b，列式正确，该说法正确。 1. （×）解析：“x 与 y 的差的平方” 是 (x - y)²，“x 与 y 的平方的差” 是 x² - y²，两者不同，该说法错误。 1. （×）解析：单独的一个数或一个字母也是代数式，0 是单独的数，属于代数式，该说法错误。 1. （√）解析：2 (x + y) 先算 x 与 y 的和，再乘以 2，即表示 “x 与 y 的和的 2 倍”，该说法正确。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C B B B D C B A 1．B 【分析】题目主要考查有理数乘方的应用及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． 根据题意得出第个30分钟分裂为个细胞，再由8小时即为16个30分钟，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，1个小时等于2个30分钟，8个小时等于16个30分钟， 1个30分钟后分裂成个细胞， 2个30分钟后分裂成个细胞， 3个30分钟后分裂成个细胞， 个30分钟后分裂成个细胞， ∴16个30分钟后分裂成个细胞， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了用语言叙述代数式；逐一分析各选项代数式与其语言描述是否一致，重点区分“平方和”与“和的平方”等易混淆概念． 【详解】A. 表示a，b两数的平方和（即）减去它们乘积的2倍（即），描述正确； B. 表示m与n的2倍（即）的和，描述正确； C. 表示a与b的平方和，而选项中误述为“和的平方”（即），两者含义不同，描述错误； D. 表示a，b两数的和与差的乘积，描述正确； 综上，错误的选项是C； 故选：C． 3．B 【分析】若两个量的乘积为定值，则它们成反比例关系，时间 与速度 的乘积固定，因此成反比例，由此即可求解． 【详解】解：根据路程、速度和时间的关系式，当路程一定时，速度和时间的乘积为定值，符合反比例的定义， A、因随增大而减小，比值不固定，错误； B、因 为定值，正确； C、因两者存在明确的乘积关系，错误； D、因题目未限定和必须固定，错误； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查反比例的意义，根据两个变量的积为定值时，两个变量成反比例，作答即可．根据长方体的体积公式，结合反比例关系的定义进行判断． 【详解】解∶∵长方体的体积为（定值）， ∴与成反比例关系． 故选：B． 5．B 【分析】依题意，电影院第一排有a个座位，第排与第一排相差排，又后面每排比前排多2个座位，所以第排比第一排多的座位为：，即可作答；本题考查规律的使用，关键在规律的总结和巧妙使用，此处重在归纳总结； 【详解】解：由题知，电影院第一排有a个座位；又后面每排比前排多2个座位； 第排与第一排相差：排， ∴第排比第一排多的座位为：； ∴第排的座位为：； 故选：B 6．D 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了代数式的书写规范，解题的关键是熟悉代数式书写的各项规则，如除法写成分数形式、带分数化为假分数、单位标注要求等． 依据代数式书写规范，对每个选项逐一分析判断． 【详解】A、在代数式中，除法运算应写成分数形式，正确的书写应该是，而不是使用“÷”符号，所以该选项不符合题意． B、代数式中带分数要转化为假分数，正确的书写应该是，避免带分数与变量产生混淆，所以该选项不符合题意． C、将除法以分数形式表示，分子是多项式时书写正确，所以该选项符合题意． D、当代数式包含单位时，单位应标注在整个表达式后面，且表达式是多项式时，要用括号括起，元正确的书写应该是元，所以该选项不符合题意． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 9．A 【分析】本题考查列代数式，根据题意的先求倍数，然后求差，最后求平方列出代数式即可． 【详解】解：由题意可得，“的3倍与的差的平方”可表示为， 故选：A． 10． 【分析】此题考查了列代数式，重点是能够根据所给比值分析出两种饮料各占总体的百分比． 根据甲种饮料千克数溶液总质量甲饮料所占百分比列式． 【详解】解：根据题意，即可分析出甲种饮料占总体的比是．从而进一步计算m千克这种混合饮料中甲种饮料需要． 故答案为：． 11．或 【分析】本题考查了列代数式，长方形中的阴影面积为大长方形的面积减去小白色的长方形的面积，计算即可． 【详解】解：阴影的面积为：或， 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查了图形类规律探究；观察发现多一张桌子多4个人．把这一规律运用字母表示出来是解题的关键．根据所给的图，正确数出即可．在数的过程中，能够发现多一张桌子多4个人，用字母表示这一规律，然后代值计算． 【详解】解：张桌子可坐人， 张桌子拼在一起可坐人， 张桌子拼在一起可坐人， ， 张桌子拼在一起可坐人． 故答案为：． 13．阴影部分的面积为平方厘米 【分析】本题考查了列代数式，有理数运算的应用，根据（厘米），则大正方形面积是（平方厘米），从而求出阴影部分的面积（平方厘米），掌握知识点的应用是解题的关键， 【详解】解：如图， ∵阴影部分的周长是厘米， ∴（厘米）， ∴大正方形面积是（平方厘米）， ∴阴影部分的面积（平方厘米）， 答：阴影部分的面积为平方厘米． $$