第45讲 空间角 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第45讲　空间角 基础热身 1.已知直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则 (　 ) A.α=θ B.α=π-θ C.cos θ=|cos α| D.cos α=|cos θ| 2.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为 (　 ) A. B. C. D. 3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是 (　 ) A. B. C. D. 4.点A,B分别在空间直角坐标系Oxyz的x,y轴的正半轴上,点C(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为θ,则cos θ的值为 (　 ) A.- B. C.- D. 5.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,△ABC是正三角形,M,N分别是AB,PC的中点,则直线MN与PB所成角的余弦值为　　　　.  6.如图是电商平台售卖的一种木制“升斗”,底部封闭,上部开口,把该升斗看作一个正四棱台,尺寸如图所示,则该四棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为　　　　.  综合提升 7.在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是边长为8的等边三角形,PA⊥平面ABC,PA=14,则AB与平面PBC所成角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 8.如图,在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼,四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱看成正四棱柱,钟面圆心在棱柱侧面中心上),在整点时刻(在0点至12点中取整数点,含0点,不含12点),已知在3点时和9点时,相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直,则在2点时和8点时,相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 9.(多选题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1,若直线AC1与BB1所成的角是45°,则 (　 ) A.直线A1B1与BC所成的角为60° B.直线AC1与BC所成角的余弦值为 C.直线AA1与平面AB1C1所成的角为45° D.直线AB与平面A1ACC1所成的角为60° 10.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在面对角线B1C上运动,则下列结论正确的有 (　 ) A.直线BD1⊥平面A1C1D B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值 C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 11.(多选题)已知异面直线a与b所成的角为60°,平面α与平面β的夹角为80°,直线a与平面α所成的角为15°,点P为平面α,β外一定点,则下列结论正确的是 (　 ) A.过点P且与直线a,b所成的角均为30°的直线有3条 B.过点P且与平面α,β所成的角均为30°的直线有4条 C.过点P作与平面α成55°角的直线,可以作无数条 D.过点P作与平面α成55°角的直线,可以作3条 12.已知四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD=2,且该四面体的体积为12,则异面直线AD与BC所成角的大小为　　　　.  13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,E是侧面AA1B1B(含边界)上的动点,且有AB1⊥平面C1DE,则直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为　　　　　.  14.已知四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,BC=CD=AB=2,PA⊥BD. (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD; (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 15.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC,点D为BC的中点. (1)求平面PAD与平面PBD的夹角的余弦值. (2)在直线AB上是否存在点M,使得PM与平面PAD所成角的正弦值为?若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由. 能力拓展 16. 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上. (1)证明:PN⊥AM; (2)当平面PMN与平面ABC的夹角为45°时,求平面PMN与侧面A1ACC1的交线长. 参考答案 1.D　[解析] 由题可知α=θ或α=π-θ,且α∈,所以cos α=|cos θ|.故选D. 2.C　[解析] ∵<a,n>=,∴l与法向量所在直线所成的角为,∴l与α所成的角为.故选C. 3.A　[解析] 如图所示,连接AD1,CD1,易知AD1∥BC1,则异面直线AC和BC1所成的角即为 ∠D1AC.由AB=3,AD=4,AA1=2及勾股定理可得AC==5,AD1==2,CD1==,在△ACD1中,由余弦定理可得 cos∠D1AC==.故选A. 4.D　[解析] 设平面ABO的法向量为m=(x,y,z),A(a,0,0)(a>0),B(0,b,0)(b>0),则=(a,0,0),=(0,b,0),所以即可取m=(0,0,1).由题知θ为锐角, 则cos θ===.故选D. 5.　[解析] 取AC的中点为O,连接OB,ON,易知OB,OC,ON两两垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=4,则N(0,0,2),M(,-1,0),P(0,-2,4),B(2,0,0),所以=(,-1,-2),=(2,2,-4),所以cos<,>==,故直线MN与PB所成角的余弦值为. 6.　[解析] 如图所示,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,取O,O1分别是底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心,连接OO1,AC,A1C1.过点A1作A1E⊥AC,垂足为E,∵A1E∥OO1,∴A1E⊥底面ABCD,∴该四棱台的侧棱与底面所成角为∠A1AE.由题得C1A1=22,CA=40,AA1=18,∴AE==9,∴cos∠A1AE==. 7.A　[解析] 因为PA⊥平面ABC,且AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,由题意可得PB=PC==2.在△PBC中,设边BC上的高为h,则h==2,所以S△PBC=×8×2=8.设点A到平面PBC的距离为d,因为VP-ABC=VA-PBC,即×14××8×8×=×d×8,解得d=.设AB与平面PBC所成的角为θ,则sin θ===.故选A. 8.B　[解析] 易知2点时和8点时钟面上的时针所在直线重合.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为侧面ABB1A1和侧面BCC1B1的中心,G为BB1的中点,EN为2点钟时针,FM为8点钟时针,则∠NEG=30°,∠MFG=30°.设正四棱柱的底面边长为a,侧棱长为b,以D为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则E,N,F,M,所以=,=,所以|cos<,>|===.所以在2点时和8点时,相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为.故选B. 9.ABD　[解析] 因为CC1∥BB1,所以∠AC1C即为直线AC1与BB1所成的角,则∠AC1C=45°,则AC=CC1.由正三棱柱ABC-A1B1C1,得AA1⊥平面ABC,△ABC为正三角形.取AC的中点O,连接OB,以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系,如图,设AC=CC1=2,则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2),所以=(,1,0),=(,1,0),=(-,1,0),=(0,2,2),=(0,0,2),=(-,1,0).|cos<,>|===,则直线A1B1与BC所成的角为60°,故A正确;|cos<,>|===,则直线AC1与BC所成角的余弦值为,故B正确;设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则m=(1,,-),设直线AA1与平面AB1C1所成的角为α,则sin α=|cos<,m>|===,则α≠45°,故C错误;平面A1ACC1的一个法向量为n=(1,0,0),设直线AB与平面A1ACC1所成的角为β, 则sin β=|cos<,n>|==,则β=60°,故D正确.故选ABD. 10.ABD　[解析] 在A中,连接B1D1,∵A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1⊂平面BB1D1,∴A1C1⊥平面BB1D1,又BD1⊂平面BB1D1,∴A1C1⊥BD1,同理,DC1⊥BD1,∵A1C1∩DC1=C1,A1C1,DC1⊂平面A1C1D,∴直线BD1⊥平面A1C1D,故A正确;在B中,∵A1D∥B1C,A1D⊂平面A1C1D,B1C⊄平面A1C1D,∴B1C∥平面A1C1D,∵点P在面对角线B1C上运动,∴点P到平面A1C1D的距离为定值,又△A1C1D的面积是定值,∴三棱锥P-A1C1D的体积为定值,故B正确;在C中,连接AB1,AC,∵A1D∥B1C,∴异面直线AP与A1D所成角即为直线AP与直线B1C的夹角,易知△AB1C为等边三角形,当P为B1C的中点时,AP⊥B1C,当P与点B1或C重合时,直线AP与直线B1C的夹角为,故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是,故C错误;在D中,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P(a,1,a)(0≤a≤1),则C1(0,1,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),∴=(a,0,a-1),=(1,1,-1),由A选项可知=(1,1,-1)是平面A1C1D的一个法向量,∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为==,∵0≤a≤1,∴当a=时,直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值取得最大值,故D正确.故选ABD. 11.BC　[解析] 因为异面直线a与b所成的角为60°,所以过点P且与直线a,b所成的角均为30°的直线只有1条,故A错误;因为平面α与平面β的夹角为80°,所以过点P与平面α,β所成的角均为=40°和=50°的直线各有1条,分别记作m,n,若过点P与平面α,β所成的角均为30°,则在m,n的两侧各有1条,所以共有2×2=4(条),故B正确;点P为平面α外一点,过点P作以P为顶点,底面在α上且母线与α所成角为55°的圆锥,则圆锥的母线所在直线均与平面α成55°角,因此可以作无数条,故C正确,D错误.故选BC. 12.或　[解析] 方法一:如图所示,在长方体ABCF-MNEG中,易知点D在直线GE上.由V四面体ABCD=××2×2×CE=12,解得CE=3,故DE===.以F为原点,FA,FC,FG所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,,3)或D(0,3,3),所以=(-2,,3)或=(-2,3,3),=(-2,0,0).设异面直线AD与BC所成的角为θ,θ∈,则cos θ===或cos θ===,可得θ=或θ=,故异面直线AD与BC所成角的大小为或. 方法二:如图,过点A作AE∥BC且AE=BC,连接CE,DE,所以∠DAE(或其补角)即为异面直线AD与BC所成的角.由题可知四边形AECB是正方形,所以AE⊥CE,因为BC⊥CD,AE∥BC,所以AE⊥CD,又CE⊂平面CDE,CD⊂平面CDE,CE∩CD=C,所以AE⊥平面CDE,又DE⊂平面CDE,所以AE⊥ED.过点D作DF⊥CE于点F,因为AE⊥平面CDE,DF⊂平面CDE,所以DF⊥AE,又AE∩CE=E,AE,CE⊂平面AECB,所以DF⊥平面AECB.因为四面体ABCD的体积为12,所以四棱锥D-ABCE的体积为24=S正方形ABCE·DF=×24·DF,所以DF=3,又CD=CE=2,所以sin∠DCE==,又∠DCE∈(0,π),所以∠DCE=或∠DCE=.当∠DCE=时,△DEC为等边三角形,DE=2,在Rt△ADE中,tan∠DAE===1,则∠DAE=;当∠DCE=时,CD=CE=2,DE=6,在Rt△ADE中,tan∠DAE===,则∠DAE=.故异面直线AD与BC所成角的大小为或. 13.　[解析] 在BB1上取点F,使B1F=B1B,连接DF,C1F,此时AB1⊥平面C1DF.证明如下:因为直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,所以C1D⊥平面AA1B1B,又AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.以C1为坐标原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,2),B1(0,1,0),D,F,所以=(-1,1,-2),=,所以·=0,所以AB1⊥DF.又C1D∩DF=D,所以AB1⊥平面C1DF.因为DF⊂平面AA1B1B,C1D⊥平面AA1B1B,所以△C1DF中边DF上的高为C1D.综上,动点E在线段DF(含端点)上,要使直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值最小,只需E,F重合,由于C1F=,因此直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为=. 14.解:(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=90°,BC=CD=AB=2,则AB=4,BD==2,AD==2,∴BD2+AD2=AB2,∴AD⊥BD.又PA⊥BD,且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, ∴BD⊥平面PAD,又BD⊂平面ABCD, ∴平面PAD⊥平面ABCD. (2)如图,以D为原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(0,2,0),C(-,,0),P(,0,),∴=(0,2,0),=(-2,,-),=(,0,).设平面PBD的法向量为n=(x,y,z), 则令x=,则n=(,0,-1). 设直线PC与平面PBD所成的角为θ,则sin θ===, ∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为. 15.解:(1)∵PC⊥AC,∴∠PCA=90°.∵AC=BC,PA=PB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB, ∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥BC.又PC⊥AC,AC∩BC=C,AC,BC⊂平面ACB,∴PC⊥平面ACB,又AC⊥BC,∴PC,CA,CB两两垂直.以C为坐标原点,以CB,CA,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则C(0,0,0),A(0,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),∴=(1,-2,0),=(1,0,-2). 设平面PAD的法向量为n=(x,y,z), 则取x=2,得n=(2,1,1).易知平面PBD的一个法向量为=(0,2,0),∵|cos<n,>|=,∴平面PAD与平面PBD的夹角的余弦值为. (2)假设存在点M满足题意,设=λ,λ∈R,则M(2λ,2-2λ,0),∴=(2λ,2-2λ,-2), 由(1)知n=(2,1,1)为平面PAD的一个法向量, ∵|cos<,n>|==, ∴λ=或λ=-1,∴存在点M满足题意,且M是AB的中点或A是MB的中点. 16.解:(1)证明:由题意知AB,AC,AA1两两垂直,以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz,如图①,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(0,1,1).∵M是CC1的中点,N是BC的中点,∴M,N, 设=λ,则P(λ,0,1),∴=,=,则·=0+-=0,∴PN⊥AM. (2)由(1)知P(λ,0,1),则=,=.设平面PMN的法向量为n=(x,y,z),则即 令x=3,则n=(3,2λ+1,2-2λ), 易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1). ∴|cos<n,m>|===,解得λ=-,此时P. 如图②,设E为AB的中点,连接PE,EN,设PE交AA1于点Q,由A1P=AE= 且A1P∥AE, 得△A1PQ与△AEQ全等,∴Q为AA1的中点. 连接QM,由Q,M分别为AA1,CC1的中点,得QM∥AC, 又E,N分别为AB,BC的中点,∴EN∥AC,∴QM∥EN,∴点E,N,M,Q共面,又P∈EQ,∴E,N,M,Q,P共面,即平面MNP与平面NMPE重合,∴平面PMN与侧面A1ACC1的交线为QM,∴交线长为QM=AC=1. 学科网（北京）股份有限公司 $$