3函数的单调性和最值（一）（题型专练）数学北师大版必修第一册

3函数的单调性和最值（一） 题型一：根据图象判断函数的单调区间 1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（ ） A． B．和 C． D．和 2．函数的图象如图所示，其单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 3．如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ） A． B． C． D． 题型二：求函数的单调区间 1．函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 题型三：判断函数的单调性 1．下列函数在定义域内是减函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列函数为增函数的是（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 题型四：定义法证明函数的单调性 1．已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； 2．已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 3．已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 4．已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 5．讨论函数在区间上的单调性. 题型五：分段函数的单调性 1．（多选）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（ ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 2．（多选）已知函数，则（ ） A． B．若，则 C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为 3．（多选）已知函数，则（ ） A． B．若，则或 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域为 4．，用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为______________. 5．已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 题型六：复合函数的单调性 1．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（ ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 4．（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（ ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 题型七：利用函数的单调性比较大小 1．已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 3．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 4．函数为定义在上的减函数，若，则（ ） A． B． C． D． 5．函数在上是严格增函数，且，则（ ） A． B． C． D． 题型一：根据函数单调性求参 1．“"是“函数在R上为减函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知，对都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二：利用函数单调性求不等式 1．已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是________________． 题型三：分段函数的单调性 1．已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，对任意，则实数的取位范围是（ ） A． B． C．或 D． 3．（多选）已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是________________. 1．（多选）已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ） A． B． C． D．是增函数 2．（多选）已知连续函数满足：①，有；②当时，；③.则以下说法中正确的是（ ） A． B． C．在上的最大值是6 D．不等式的解集为 3．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3函数的单调性和最值（一） 题型一：根据图象判断函数的单调区间 1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（ ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 2．函数的图象如图所示，其单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据题干图象求出单调递增区间即可. 【详解】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C 3．如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象即可得出单调递减区间. 【详解】根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：. 故选：. 4．已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象上升下降的情况判断即可. 【详解】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为． 故选：C. 题型二：求函数的单调区间 1．函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将写成分段函数判断即可. 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 2．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 3．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 题型三：判断函数的单调性 1．下列函数在定义域内是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数性质判断的单调性，根据反比例函数的性质判断B，根据二次函数性质判断D，根据复合函数单调性判断法则判断C. 【详解】在上单调递增； 在单调递减，单调递减， 但，，所以函数不在定义域内单调递减； 在单调递减，单调递增，不在定义域内单调递减； 函数在内为减函数，，函数在内为增函数， 所以函数在定义域内为减函数， 故选：C. 2．下列函数为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本函数的单调性，进行判断即可. 【详解】在单调递减，故A错误； 定义域为，且在上单调递增，故B正确； 在上单调递减，故C错误； 在上单调递减，故D错误． 故选：B 3．下列函数中，在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，D不是. 故选：C 4．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据反比例函数、分段函数、二次函数、一次函数的图象性质即可判断. 【详解】对于选项A：反比例函数在上单调递减，符合题意； 对于选项B：函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，符合题意； 对于选项C：二次函数图象开口向上，对称轴为，其在单调递减，在单调递增，故在不单调，不符题意； 对于选项D：一次函数为上的增函数，故不符题意. 故选：AB. 题型四：定义法证明函数的单调性 1．已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值； （2）任取，利用作差法证明即可； 【详解】（1）因为，将代入函数，可得， 解得． （2）设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． 2．已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解； （2）利用定义法即可证明. 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 3．已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）根据函数单调性的定义证明单调性. 【详解】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 4．已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)先求出函数的对称轴，结合开口方向，得到函数在区间的最大值和最小值，从而求出，的值； (2)由(1)得，再由函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为，二次函数对称轴为， 所以在上为减函数，在上为增函数， 从而得，解得； （2）由(1)得，则， 设任意的，且，则， ， 因为，，， 所以，， 所以， 所以在上的增函数. 5．讨论函数在区间上的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ，即， 在内是减函数. ②设 由①知 ， 即， 在内是增函数. 题型五：分段函数的单调性 1．（多选）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（ ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】ABC 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】由已知，因此，A错； 不是单调增函数，例如且，B错； 定义域是，C错； 值域是，D正确 故选：ABC． 2．（多选）已知函数，则（ ） A． B．若，则 C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为 【答案】ABD 【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可 【详解】作出分段函数图象： 对A，，故A正确； 对B，当时，，舍去； 当时，（舍）或，则，故B正确； 对C，当时，， 结合图象可得，在上单调递增，故C错误； 对D，由图象可知当时，，， 故在的值域为，D正确． 故选：ABD． 3．（多选）已知函数，则（ ） A． B．若，则或 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域为 【答案】AD 【分析】根据分段函数的定义及性质依次判断各选项即可. 【详解】对A，，故A正确； 对B，由，若，则，解得，不合题意， 若，则，解得，故B错误； 对C，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D，当时，的值域是， 当时，的值域为， 所以函数在上的值域为，故D正确. 故选：AD. 4．，用表示的较小者，记为，若，则的单调递减区间为______________. 【答案】 【分析】根据函数新定义及一次、二次函数的图象，数形结合确定的单调递减区间. 【详解】根据已知函数解析式，可得如下示意图，为实线部分图象， 由图知，的单调递减区间为. 故答案为： 5．已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【答案】(1)，图象见解析； (2)增区间为，减区间为 【分析】（1）按的正负分类讨论去掉绝对值号，得到分段函数的形式； （2）观察图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，当时，， 故. 图象如下图: （2）由图可知：的单调递增区间：； 单调递减区间：. 题型六：复合函数的单调性 1．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增． 2．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 3．（多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（ ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． 4．（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（ ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【分析】对ABC举反例即可判断，对D直接根据函数单调性定义即可判断. 【详解】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D，函数在上为增函数，则对于任意的， 设，必有， 对于，则有，即， 则在上为减函数，故D正确． 故选：ABC. 题型七：利用函数的单调性比较大小 1．已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 2．已知二次函数的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案. 【详解】因为二次函数的最大值为， 所以的图象关于直线对称，所以，且在上是减函数， 因为，所以. 故选：A． 3．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 4．函数为定义在上的减函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 5．函数在上是严格增函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用严格增函数的性质，结合不等式性质解题即可. 【详解】由知且，由在上是严格增函数， 故，，故． 故选：A. 题型一：根据函数单调性求参 1．“"是“函数在R上为减函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出函数是减函数的等价条件，再利用充分条件/必要条件的定义判断得解. 【详解】由函数在R上为减函数，得，显然，而不能推出， 所以“"是“函数在R上为减函数”的必要不充分条件. 故选：B 2．（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围. 【详解】由在区间上单调递增，则，即，故B正确，A错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误. 故选：BD. 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【详解】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 3．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对a是否为零讨论，再让在对称轴的右边即可求得结果 【详解】当时，上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：D. 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 5．已知，对都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 题型二：利用函数单调性求不等式 1．已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的增函数，且， 所以， 故选：A 2．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即， 解得或． 3．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 4．已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，由单调性解不等式，求出答案. 【详解】， 又是函数图象上两点，故， 该函数是上的减函数，故， 解得，即不等式解集为， 故选：B. 5．已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是________________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定的单调性，再求解不等式. 【详解】依题意，不妨设，则，即， 因此函数是定义在R上的增函数，由，得，解得， 所以的解集为. 故答案为： 题型三：分段函数的单调性 1．已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 2．已知函数，对任意，则实数的取位范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先由函数单调性的定义判断得的单调性，从而利用分段函数的单调性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意， 所以函数在上单调递增， 又， 所以，解得. 故选：A. 3．（多选）已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】根据题目条件得到函数在上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，进而求得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减， 则要满足，解得，故． 故选：BC． 4．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是________________. 【答案】 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故答案为：. 1．（多选）已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ） A． B． C． D．是增函数 【答案】ABD 【分析】令可判断A；令得，通过迭代可判断B；举反例可判断C；令，结合条件可判断D. 【详解】对A，令，得，A正确． 对B，令，得， 所以， 据此类推可得，所以，B正确． 对C，令，则， 且定义域为，当时，，满足题意，C错误． 对D，令，则． 当时，．因为当时，，所以， 即，，所以是增函数，D正确． 故选：ABD 2．（多选）已知连续函数满足：①，有；②当时，；③.则以下说法中正确的是（ ） A． B． C．在上的最大值是6 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】利用题设条件通过赋值法代入，即可判断A，B；对于C，先由条件②，推出在上的单调性，再由③推出，排除C项；对于D，利用C的结论，将化成，再利用函数单调性即可解得. 【详解】对于A：由①，时，有，即，故A正确； 对于B：由①，取，可得， 再取，，故B正确； 对于C：设且，则，由②得. 由①，取，可得，即. 由①再取，可得， 即，即故在上单调递减. 由③，得.又因则， 故在上的最大值为7，故C错误； 对于D：因则，即， 因在上单调递减，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 3．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【详解】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 4．已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减．证明见解析 (3) 【详解】（1）由，令，则，解得． （2）函数在上单调递减．证明如下：设，则，所以．因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减． （3）由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立．令，则，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立． 设． 又，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围是． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$