第二十八章锐角三角函数暑期巩固提升训练题2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 暑期巩固提升训练题 一、单选题 1．的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 2．如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面与地面的夹角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 4．如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 6．如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿匀速运动到点，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为，与的函数图象如图2所示，的长为（    ） A． B．3 C． D．4 7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，当点恰好落在上时，交于点，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，菱形中，是边的中点，为边上一点，过点作于点，交于点．若，，则的值为(   ) A． B． C． D． 10．如图，对折正方形得到折痕，连接，上有一点M，将沿翻折，点A的对应点N恰好落在上，连接分别交，，于点P，O，Q，则下列结论：①；②；③；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的序号是（    ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 11．计算： ． 12．在三角形中余切通常指的是直角三角形中一锐角的邻边与对边的比，通常用表示，若中，，，则三角形的周长为 ． 13．如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 14．如图，在中，，点为内一点，连接、、，若，，则的最小值 ． 15．无动力帆船是借助风力前行的，如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力P为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被能的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 （单位：N）（参考数据：，） 三、解答题 16．杨老师在探究“矩形折叠中的相似三角形”问题时遇到一些困难，请你帮帮老师： 如图，已知在矩形中，，，点为边上一点（不与点、点重合），先将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形：__________________． （2）迁移探究 当与的交点恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 同样的折叠方式，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求此时的长． 17．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是近期初三某同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点N（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 18．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)的山坡，点、点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了20米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．求楼的高度．(溅角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，) 19．综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 20．如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十八章 锐角三角函数 暑期巩固提升训练题2024-2025学年人教版九年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A C B B B A D 1．A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，根据正弦的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴桥的坡面与地面的夹角的正弦值为， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，解决此题的关键是弄清直角三角形的三边与其锐角的关系，进而列出有关的等式，解之即可． 分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用分别表示出、，利用两线段的差等于20 列出关于线段的式子，求得即可． 【详解】解：过点C作，， ∵在中，， ， ∵在 中，， ， ∵米， 米， 解得：米． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了二次函数综合、等边三角形性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可求解． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， ∵是等边三角形，点在边上，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B ． 7．B 【分析】本题考查了正方形和旋转的性质，图形的坐标变化规律，三角函数的计算．由正方形的性质可得点A的坐标为，再根据旋转的性质可得，据此可得每旋转8次，点A的对应点循环出现一次，即可求解，由旋转的性质得到图形的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为， ∴点A的坐标为， ∵， ∴每旋转8次，点A的对应点循环出现一次， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， 由旋转知， ∴点的横、纵坐标均为，即， ∴点的坐标为， 故选B． 8．B 【分析】本题主要考查了求角的正切值，矩形的性质，旋转的性质，由矩形和旋转的性质得到，则可得到，再导角证明，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．延长，交于，可证明，得到，再证明，则可利用勾股定理得到，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长，交于， 四边形是菱形， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．D 【分析】首先得到四边形，是矩形，得到，然后结合正方形和折叠的性质即可得到，进而判断①；根据题意证明出，得到，然后证明出，得到，得到，即可判断②；设，则，勾股定理表示出，设，则，，勾股定理得到，代入表示出，即可判断③；当时，求出，，，，然后利用四边形的面积代数求解即可判断④． 【详解】解：∵对折正方形得到折痕， ∴四边形，是矩形 ∴ ∵四边形是正方形 ∴ 由折叠得， ∴，故①正确； 由折叠得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故②正确； 设，则 ∵ ∴ 设，则， 如图所示，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确； 当时， ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积 ，故④正确； 综上所述，其中正确结论的序号是①②③④． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11． 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 直接利用负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，由题意可得，则，然后由勾股定理得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可得：， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了加权费马点，作旋转构造相似三角形是解题的关键．根据问题可识别为加权费马点，所以作旋转，构造相似，将绕点逆时针旋转并扩大倍得到，连接，证得，，从而得到，所以，据此求解即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转并扩大倍得到，连接，作于交延长线于点， ，， ，且， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，当且仅当、、、四点共线时取等号， 的最小值． 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出，在中，根据即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵为，为， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意可知， ， ∴， ∴ 在中，，， ∴， 故答案为：． 16．（1）或（写出一个即可）；（2）；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质和对顶角相等可得出相似的三角形为或； （2）由题意结合勾股定理可求出，即可求出．易证，即得出，代入数据即可求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可； （3）画出图形，易求出，即得出，从而可求出，再根据折叠可求出．最后根据，即可求解． 【详解】解：（1）∵矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故与相似的三角形为或（写出一个即可） （2）∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即阴影部分的面积为； （3）如图，点F在的中垂线上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，含特殊角的直角三角形三边的关系，勾股定理等知识．掌握矩形和折叠的性质，三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键． 17．(1)cm (2)cm 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴， 答：线段的长度为． 18．米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 由题意得：，米，根据已知山坡的坡度，可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，米， 山坡的坡度：， ， 设米，则米， 在中，米， ， 解得：， 米， 过点作，垂足为， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， ， 解得：， 米， 楼的高度约为米． 19．问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 20．(1) (2) (3)证明见解析 (4)的长为或. 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可； （3）证明，结合，，从而可得结论； （4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案. 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； （3）证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； （4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，， 过作于，过作于， ∴四边形为矩形， ∴， 结合（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的右边时，过作于，过作于， 同理：， 四边形四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴； 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$