2.2.2 有理数的除法 导学案 2025-2026学年人教版七年级数学上册

本文围绕有理数的除法展开，涵盖除法法则、运算步骤及乘除混合运算等核心知识点。承接有理数乘法背景，为后续数学运算奠基。通过推导法则、例题讲解等环节，培养学生运算能力与推理意识，提升用数学思维思考现实世界的素养。 本设计创新点在于借助思维导图梳理知识，采用讲练结合的特色教法。从学生层面看，能强化其对知识的理解与运用；从教师层面看，提供了清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破教学难点。

2.2.2 有理数的除法导学案 一、学习目标（简写版） 1. 掌握有理数的除法法则，能熟练进行有理数的除法运算。 1. 理解有理数除法与乘法的关系，会将除法转化为乘法计算。 1. 能运用除法法则解决简单的实际问题。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 有理数的除法法则（除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数）。 1. 有理数除法的运算步骤，尤其是符号的确定。 1. 有理数的乘除混合运算。 （二）学习难点 1. 理解 “两数相除，同号得正，异号得负” 的法则，准确确定商的符号。 1. 区分 “除以一个数” 与 “乘一个数的倒数” 的等价性，避免运算顺序错误。 1. 处理含 0 的除法运算（0 不能作除数）及乘除混合运算中的符号问题。 三、本节内容的思维导图 有理数的除法 ├──法则 │ ├──基本法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b = a×(1/b)（b≠0） │ ├──符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 │ └──特殊情况：0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作除数 ├──运算步骤 │ ├──将除法转化为乘法：把除号变为乘号，把除数变为它的倒数 │ ├──按照有理数乘法法则进行计算（确定符号、计算绝对值） │ └──得出结果 ├──与乘法的关系：除法是乘法的逆运算，可通过乘法检验除法结果 ├──乘除混合运算：先将除法转化为乘法，再按乘法法则从左到右依次计算 四、知识点自主预习填空 1. 有理数的除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的（ ），用字母表示为 a÷b =（ ）（b≠0）。 1. 两数相除，同号得（ ），异号得（ ），并把（ ）相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得（ ）。 1. 计算 8÷（-2）时，可转化为 8×（ ），结果是（ ）。 1. （-15）÷5 =（ ）；（-12）÷（-3）=（ ）；0÷（-7）=（ ）。 1. 有理数的乘除混合运算中，应先将（ ）转化为（ ），再按从（ ）到（ ）的顺序计算。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）有理数的除法法则 1. 基本法则（转化法则）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为：a÷b = a×(1/b)（b≠0）。 推导思路：根据除法是乘法的逆运算，若 a÷b = c，则 b×c = a。而 b×(a×1/b) = a，因此 c = a×1/b，即 a÷b = a×1/b（b≠0）。 常考易错点：忽略 “b≠0” 的条件，错误地认为 0 可以作除数；转化时忘记将除数变为倒数，仅改变运算符号。 经典例题：计算（-6）÷2。 解：根据基本法则，（-6）÷2 =（-6）×(1/2) = -3（先转化为乘法，再按乘法法则计算：异号得负，绝对值相乘 6×1/2 = 3）。 1. 符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 常考易错点：确定商的符号时与乘法混淆，或计算绝对值时误将除法当作乘法（如将 “绝对值相除” 算成 “绝对值相乘”）。 经典例题：计算（-12）÷（-3）和 15÷（-5）。 解：（-12）÷（-3）：两数同号，得正，绝对值相除 12÷3 = 4，所以结果为 4； 15÷（-5）：两数异号，得负，绝对值相除 15÷5 = 3，所以结果为 - 3。 （二）有理数除法的运算步骤 1. 转化：将除法运算转化为乘法运算，即 “两变”—— 变除号为乘号，变除数为它的倒数（除数不能为 0）。 1. 计算：按照有理数乘法的法则计算（确定符号、计算绝对值的乘积）。 1. 结果：化简得出最终的商。 常考易错点：多步除法运算中，仅转化部分除数的符号或倒数，导致后续计算错误；对带分数或小数的倒数转化错误（如误将 0.5 的倒数当作 2 的倒数）。 经典例题：计算（-8）÷（-4）÷（-2），写出运算步骤。 解：第一步，转化：（-8）÷（-4）÷（-2）=（-8）×(-1/4)×(-1/2)（将两个除号变为乘号，除数 - 4 和 - 2 分别变为倒数 - 1/4 和 - 1/2）； 第二步，计算：先确定符号，负因数个数为 3（奇数），得负；绝对值相乘 8×1/4×1/2 = 1； 第三步，结果：-1。 （三）有理数的乘除混合运算 乘除混合运算的核心是 “统一为乘法”：先将所有除法转化为乘法（变除号为乘号，除数变倒数），再按照从左到右的顺序计算，最后确定积的符号（负因数个数偶正奇负）。 常考易错点：未统一转化为乘法就直接计算，导致运算顺序错误；带分数未化为假分数就进行乘除，出现计算失误。 经典例题：计算（-10）÷（-2）×（-5）。 解：先转化为乘法：（-10）÷（-2）×（-5）=（-10）×(-1/2)×（-5）； 再按顺序计算：先算（-10）×(-1/2) = 5，再算 5×（-5）= -25。所以结果为 - 25。 六、效果检测 1. 有理数的除法可以转化为乘法来计算。（ ） 1. 两数相除，商的绝对值等于两数绝对值的商。（ ） 1. （-1）÷（-1）= -1。（ ） 1. 0 除以任何数都得 0。（ ） 1. （-6）÷2×（1/2）=（-6）÷1 = -6。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 核心法则：有理数除法的关键是 “转化”，即除以一个非 0 数等于乘它的倒数（a÷b = a×1/b，b≠0）；符号法则与乘法一致（同号得正，异号得负）。 1. 运算步骤：先转化（除号变乘号，除数变倒数），再按乘法法则计算（定符号、算绝对值）。 1. 特殊情况：0 不能作除数；0 除以非 0 数得 0。 1. 乘除混合运算：统一为乘法后从左到右计算，注意符号和倒数转化的准确性。 8、 课后作业 1．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 2．计算：（    ） A．3 B． C．6 D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一”也就是用底面周长的平方乘高，再除以，这种计算方法，圆周率取近似值3．一个圆锥形沙堆的底面周长是，高是，用这种方法算出这个沙堆的体积是（   ） A． B． C． D． 4．数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 6．两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（        ） A． B． C． D． 7．计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 8．下列各式的值最大的是（   ） A． B． C． D． 9．算式，若使计算结果为；则中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 10．某校准备购买一批如图所示的新课桌和椅子，已知购买3张课桌和1把椅子共需要350元，购买1张课桌和3把椅子共需要250元，则购买1张课桌和1把椅子共需要（    ） A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 二、填空题 11．计算： ． 12．某商品按标价出售，利润率为，已知进价是240元，则标价为 元． 13．规定运算“★”是则 ． 三、解答题 14．下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 倒数；a×(1/b) 1. 正；负；绝对值；0 1. （-1/2）；-4 1. -3；4；0 1. 除法；乘法；左；右 （二）效果检测的答案和解析 1. （√）解析：有理数除法法则的核心是将除法转化为乘法，该说法正确。 1. （√）解析：两数相除时，商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值，该说法正确。 1. （×）解析：（-1）÷（-1）是同号相除，得正，绝对值相除 1÷1 = 1，结果应为 1，该说法错误。 1. （×）解析：0 除以任何 “不等于 0 的数” 才得 0，0 不能作除数，该说法错误。 1. （×）解析：乘除混合运算应从左到右依次计算，（-6）÷2×(1/2) =（-3）×(1/2) = -3/2，而非先算 2×(1/2)，该说法错误。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A A A D C B B 1．B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．B 【分析】本题考查有理数的除法运算．根据有理数除法法则，两数相除，异号得负，再将绝对值相除．据此进行解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意代值计算即可． 【详解】解：由题意得：这个沙堆的体积是：； 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 5．A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 6．A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，有理数的加减法，绝对值和相反数，理解数轴是解题关键．由数轴可知，，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，，，， A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查有理数的除法，根据除法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 8．C 【分析】此题考查了有理数的加减乘除运算，有理数比较大小，算出每个选项的值，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴值最大的是， 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，分别填入加减乘除符号，计算出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 10．B 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算，理解题意得出购买4张课桌和4把椅子共需要元，然后求解即可． 【详解】解：∵购买3张课桌和1把椅子共需要350元，购买1张课桌和3把椅子共需要250元， ∴购买4张课桌和4把椅子共需要元， ∴购买1张课桌和1把椅子共需要元， 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．288 【分析】本题考查了销售问题，读懂题意，列出代数式是解题的关键． 根据标价=进价利润率），列式计算，即可解答． 【详解】解：依题意，得 （元）． 故答案为：288． 13． 【分析】本题考查了新定义及有理数的除法及减法运算，根据新定义列出式子，根据运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 14．(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算． （1）先将除法换为乘法，再根据乘法结合律计算即可； （2）根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： $$