2.2.1 有理数的乘法导学案2025-2026学年人教版七年级数学上册

本文围绕有理数的乘法展开，核心知识点包括乘法法则、积的符号确定及运算律。承接有理数加减法，为后续有理数混合运算奠基。通过例题讲解、效果检测等环节，培养学生运算能力与推理意识，引导学生用数学思维思考现实世界。 本设计亮点在于知识点讲解与易错点分析结合，采用讲练结合教法。从学生层面看，能提升运算与推理能力；对教师而言，提供清晰授课思路；课堂效果上，有效突破教学难点。

2.2.1 有理数的乘法导学案 一、学习目标（简写版） 1. 掌握有理数的乘法法则，能熟练进行有理数的乘法运算。 1. 理解多个有理数相乘时积的符号确定方法。 1. 会运用乘法交换律、结合律和分配律简化运算。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 有理数的乘法法则，尤其是积的符号确定。 1. 多个有理数相乘时积的符号规律。 1. 乘法运算律在有理数乘法中的应用。 （二）学习难点 1. 理解 “两数相乘，同号得正，异号得负” 的法则，特别是异号两数相乘时符号的确定。 1. 多个有理数相乘时，准确判断积的符号（含 0 的情况）。 1. 灵活运用乘法分配律解决较复杂的计算问题。 三、本节内容的思维导图 有理数的乘法 ├──法则 │ ├──两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 │ ├──任何数与0相乘：都得0 │ └──多个数相乘：有一个因数为0，积为0；无0时，积的符号由负因数个数决定（奇负偶正），再把绝对值相乘 ├──运算律 │ ├──交换律：a×b = b×a │ ├──结合律：(a×b)×c = a×(b×c) │ └──分配律：a×(b + c) = a×b + a×c ├──运算步骤 │ ├──确定积的符号 │ ├──计算积的绝对值 │ └──得出结果 └──应用：解决实际问题中的倍数关系等 四、知识点自主预习填空 1. 两数相乘，同号得（ ），异号得（ ），并把（ ）相乘；任何数与 0 相乘，都得（ ）。 1. 多个不为 0 的有理数相乘，积的符号由（ ）的个数决定：当负因数的个数为（ ）时，积为正；当负因数的个数为（ ）时，积为负。 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，（ ）不变，用字母表示为（ ）。 1. 计算：（-3）×（-4）=（ ）；（-5）×2 =（ ）；0×（-7）=（ ）。 1. 乘法分配律用字母表示为（ ），利用它可以使运算（ ）。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）有理数的乘法法则 1. 两数相乘 法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0。 例如：（+3）×（+2）= +（3×2）= 6（同号得正，绝对值相乘）；（-3）×（+2）= -（3×2）= -6（异号得负，绝对值相乘）；（-5）×0 = 0。 常考易错点：只关注绝对值相乘，忽略符号的确定，尤其是异号两数相乘时易漏掉负号；或误将 “同号得正” 记为 “同号得负”。 经典例题：计算（-4）×（-5）和（-6）×3。 解：（-4）×（-5）：两数同号，得正，绝对值相乘 4×5 = 20，所以结果为 20； （-6）×3：两数异号，得负，绝对值相乘 6×3 = 18，所以结果为 - 18。 1. 多个有理数相乘 法则：几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数是偶数时，积为正；当负因数的个数是奇数时，积为负。然后把各个因数的绝对值相乘。 如果其中有一个因数为 0，积就为 0。 例如：（-2）×3×（-4）：负因数个数是 2（偶数），积为正，绝对值相乘 2×3×4 = 24，结果为 24； （-2）×（-3）×（-4）：负因数个数是 3（奇数），积为负，绝对值相乘 2×3×4 = 24，结果为 - 24； （-1）×0×5 = 0（有一个因数为 0，积为 0）。 常考易错点：多个数相乘时，忘记先判断是否有 0，直接计算；或数错负因数的个数导致符号错误。 经典例题：计算（-1）×（-2）×（-3）×4。 解：负因数个数是 3（奇数），积为负；绝对值相乘 1×2×3×4 = 24；所以结果为 - 24。 （二）有理数乘法的运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为：a×b = b×a。 例如：（-3）×5 = 5×（-3）= -15。 常考易错点：交换因数位置时，忘记连同符号一起交换，导致错误。 经典例题：用交换律计算（-6）×（-7）。 解：根据交换律，（-6）×（-7）=（-7）×（-6）= 42。 17. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示为：(a×b)×c = a×(b×c)。 例如：（2×（-3））×4 = 2×（（-3）×4）= 2×（-12）= -24。 常考易错点：运用结合律时，因括号位置错误导致计算结果出错，尤其是含负数的情况。 经典例题：用结合律计算（-2）×（-3）×（-4）。 解：根据结合律，（-2）×（-3）×（-4）=（-2）×[（-3）×（-4）] =（-2）×12 = -24。 18. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。用字母表示为：a×(b + c) = a×b + a×c。 例如：5×（-2 + 3）= 5×（-2）+ 5×3 = -10 + 15 = 5。 常考易错点：运用分配律时，漏乘其中一个加数；或符号处理错误（尤其是负数乘正数时）。 经典例题：用分配律计算（-4）×（2 - 5）。 解：根据分配律，（-4）×（2 - 5）=（-4）×2 +（-4）×（-5）= -8 + 20 = 12。 六、效果检测 1. 两数相乘，积的符号由两个因数的符号决定，同号得正，异号得负。（ ） 1. （-3）×（-4）×（-5）的积是正数。（ ） 1. 任何数与 1 相乘都得原数，任何数与 - 1 相乘都得原数的相反数。（ ） 1. 乘法交换律和结合律不适用于三个以上有理数相乘。（ ） 1. 0 乘以任何数都得 0，0 除以任何数也都得 0。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0。多个数相乘，有 0 则积为 0；无 0 时，负因数个数偶正奇负，再乘绝对值。 1. 运算律：交换律（a×b = b×a）、结合律（(a×b)×c = a×(b×c)）、分配律（a×(b + c) = a×b + a×c），可简化运算。 1. 关键：先确定积的符号，再计算绝对值；多个数相乘时先看是否有 0，再数负因数个数定符号。 8、 课后作业 1．的倒数是（    ） A．6 B． C． D． 2．的倒数是（   ） A． B． C． D． 3．2025的倒数是（　　） A．-2025 B．2025 C． D． 4．实数的倒数为（　　） A．6 B． C． D． 5．对于两个有理数，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定的正负 6．下列结果中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 7．若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 8．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 9．天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关，随着科学知识的逐渐普及，人们已自发地响应“低碳生活”方式，减少碳排放，某小区安装太阳能路灯，每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，那么10盏灯一年减排碳量为 ． 12．2025的倒数是 ． 13．设a，b都表示数，规定，则 ． 14．计算： ； 三、解答题 15．思考并填空∶ (1) (2) (3) (4) 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 正；负；绝对值；0 1. 负因数；偶数；奇数 1. 积；a×b = b×a 1. 12；-10；0 1. a×(b + c) = a×b + a×c；简便 （二）效果检测的答案和解析 1. （√）解析：两数相乘时，积的符号确实由两个因数的符号决定，同号得正，异号得负，该说法正确。 1. （×）解析：（-3）×（-4）×（-5）中负因数个数是 3（奇数），根据法则，积为负，该说法错误。 1. （√）解析：任何数与 1 相乘，积等于原数；任何数与 - 1 相乘，积等于原数的相反数，该说法正确。 1. （×）解析：乘法交换律和结合律适用于多个有理数相乘，可通过交换和结合因数位置简化运算，该说法错误。 1. （×）解析：0 乘以任何数都得 0，但 0 除以任何非 0 数才得 0，0 不能做除数，该说法错误。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D D B A D A D 1．D 【分析】本题考查倒数的概念．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解:的倒数是． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键； 乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可； 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】解：2025的倒数是． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ∴实数的倒数为， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，根据题意，由，可判断a，b异号，然后根据有理数的乘法运算法则，有理数的加法运算法则判断即可． 【详解】解：∵， ∴a，b异号， 当正数的绝对值较大时，如，则，此时选项A正确； 当a，b的绝对值相等时，如，则，此时选项B正确； 当负数的绝对值较大时，如，则，此时选项C正确； 由于题目未限定a，b的具体值，上述三种均可能出现，因此无法确定的正负，故选项D正确． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了负数的概念，绝对值、相反数及有理数的乘法，掌握这些知识是关键；分别计算各选项的值，判断是否为负数即可． 【详解】解：A. ：负负得正，结果为3，是正数； B. ：先计算绝对值，再取负号，结果为，是负数； C. ：直接相乘，结果为12，是正数； D. ：任何数与0相乘均为0，既不是正数也不是负数； 综上，只有选项B的结果为负数； 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的倒数是，且， ∴， ∴的相反数是4， 故选：A． 8．D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法符号法则，三个数相乘结果为正值，当且仅当负数的个数为偶数． 【详解】解：原式为； 1. 已知为负数，为正数，故原式中已有1个负数； 2. 要使结果为正数，负数的总个数需为偶数，因此内的数必须为负数，使负数总个数变为2（偶数）； 3. 选项中只有为负数，满足条件； 4. 验证：，符合题意． 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 根据所给数值转换机列式计算即可， 【详解】解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得∶ ， 第二次：把代入运算程序得∶ ， ∴输出的结果y为7， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查有理数乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键，根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，根据每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳，进行列式计算得出10盏灯一年减排碳量，即可作答． 【详解】解：∵每盏灯每年节电200度，若减少1度电相当于减排碳， ∵ 故答案为： 12． 【分析】本题主要考查了倒数是定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故答案为：． 13．4 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算，根据新定义进行两步有理数混合运算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 14． 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数乘法法则． （1）按照有理数乘法法则运算即可； （2）按照有理数乘法法则运算即可； （3）按照有理数乘法法则运算即可； （4）按照有理数乘法法则运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 学科网（北京）股份有限公司 $$