2.1.2 有理数的减法导学案2025-2026学年人教版七年级数学上册

2.1.2 有理数的减法导学案 一、学习目标（简写版） 1. 掌握有理数的减法法则，能熟练进行有理数的减法运算。 1. 理解有理数减法与加法的关系，会将减法转化为加法计算。 1. 能运用减法法则解决简单的实际问题。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 有理数的减法法则（减去一个数，等于加上这个数的相反数）。 1. 有理数减法转化为加法的运算过程。 （二）学习难点 1. 理解减法法则的推导过程，明确 “减去一个数” 与 “加上这个数的相反数” 的等价性。 1. 处理减法运算中符号的变化，避免因符号错误导致计算失误。 三、本节内容的思维导图 有理数的减法 ├──法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b) ├──运算步骤 │ ├──将减法转化为加法：把减号变为加号，把减数变为它的相反数 │ ├──按照有理数加法法则进行计算 │ └──得出结果 ├──与加法的关系：减法是加法的逆运算，可通过加法检验减法结果 ├──应用：解决实际生活中的温差、高度差等问题 四、知识点自主预习填空 1. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的（ ），用字母表示为 a - b =（ ）。 1. 计算 3 - 5 时，可转化为 3 +（ ），结果是（ ）。 1. 0 减去一个数，等于这个数的（ ），即 0 - a =（ ）。 1. 若 a - b = 0，则 a 与 b 的关系是（ ）。 1. 计算（-2）-（-3）时，转化为加法是（ ），结果是（ ）。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）有理数的减法法则 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a - b = a + (-b)。 法则的推导思路：根据减法是加法的逆运算，若 a - b = c，则 c + b = a。而 a + (-b) + b = a + 0 = a，因此 c = a + (-b)，即 a - b = a + (-b)。 常考易错点：应用法则时，只改变运算符号（减号变加号），忘记改变减数的符号；或只改变减数的符号，忘记改变运算符号。 经典例题：计算（-5）- 3。 解：根据减法法则，（-5）- 3 =（-5）+（-3）（减 3 转化为加 - 3）。再按加法法则计算：取相同符号 “-”，绝对值相加 5 + 3 = 8，所以结果为 - 8。即（-5）- 3 = -8。 （二）有理数减法的运算步骤 1. 转化：将减法运算转化为加法运算，具体操作是 “两变”—— 变减号为加号，变减数为它的相反数。 1. 计算：按照有理数加法的法则和步骤进行计算（确定符号、计算绝对值、得出结果）。 常考易错点：转化过程中 “两变” 不彻底，导致后续计算错误；多个减法连续运算时，容易遗漏对某个减数的符号改变。 经典例题：计算 7 -（-4）- 5，并写出运算步骤。 解：第一步，转化：7 -（-4）- 5 = 7 +（+4）+（-5）（减 - 4 转化为加 + 4，减 5 转化为加 - 5）；第二步，计算：7 + 4 = 11，11 +（-5）= 6（按加法法则，异号相加取绝对值大的符号 “+”，用 11 - 5 = 6）。所以结果为 6。 （三）特殊情况的减法运算 1. 一个数减去 0：任何数减去 0，仍得这个数。即 a - 0 = a。例如：5 - 0 = 5，（-3）- 0 = -3。 常考易错点：混淆 “一个数减去 0” 与 “0 减去一个数”，错误地认为 a - 0 = 0。 经典例题：计算（-7）- 0。 解：根据法则，一个数减去 0 仍得这个数，所以（-7）- 0 = -7。 1. 0 减去一个数：0 减去一个数，等于这个数的相反数。即 0 - a = -a。例如：0 - 5 = -5，0 -（-2）= 2。 常考易错点：计算时忘记改变减数的符号，如错误地认为 0 -（-3）= -3。 经典例题：计算 0 -（-6）。 解：根据法则，0 减去一个数等于这个数的相反数，所以 0 -（-6）= 6（或转化为 0 + 6 = 6）。 1. 相同两数相减：任何数减去它本身，结果为 0。即 a - a = 0。例如：3 - 3 = 0，（-4）-（-4）= 0。 常考易错点：计算时因符号处理不当导致结果错误，如（-2）-（-2）误算为 - 4。 经典例题：计算（-1.5）-（-1.5）。 解：转化为加法：（-1.5）+ 1.5 = 0（互为相反数的两数相加得 0），所以结果为 0。 （四）有理数减法的应用 有理数的减法在实际生活中常用于计算温差、高度差、利润差等具有 “差值” 意义的问题。解题关键是明确 “较大的量 - 较小的量 = 差值”，若无法直接判断大小，可通过计算结果的符号判断（正数表示前者大，负数表示后者大）。 常考易错点：实际问题中确定被减数和减数时出错，导致结果与实际意义不符（如计算温差时用低温减高温）。 经典例题：某地某天的最高气温是 5℃，最低气温是 - 3℃，求这天的温差。 解：温差 = 最高气温 - 最低气温 = 5 -（-3）= 5 + 3 = 8（℃）。答：这天的温差是 8℃。 六、效果检测 1. 有理数的减法可以转化为加法来计算。（ ） 1. 3 -（-2）= 3 + 2 = 5。（ ） 1. （-5）- 0 = 5。（ ） 1. 若 a - b = 5，则 b - a = 5。（ ） 1. 减去一个负数，等于加上一个正数。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 核心法则：有理数减法的关键是 “转化”，即减去一个数等于加上这个数的相反数（a - b = a + (-b)）。 1. 运算步骤：先将减法转化为加法（变减号为加号，变减数为相反数），再按加法法则计算。 1. 特殊情况：一个数减 0 得原数，0 减一个数得该数相反数，相同数相减得 0。 1. 注意事项：转化过程中 “两变” 必须同时进行，严格遵循符号变化规则，避免符号错误。 8、 课后作业 1．比低的气温是（   ） A．2 B． C． D．4 2．如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 3．“雪山之巅轿子立，千年冰封岁月长”．冬日某一天的轿子雪山，山脚最低气温为零上，记作，山顶最低气温为零下，记作，则这一天轿子雪山山脚与山顶的最大温差是（   ） A．3 B． C． D． 4．某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 5．如图，若数轴上点A表示的数是，则点B表示的数为（   ） A． B．0 C．2 D．4 6．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数是（         ） A． B．2 C． D． 7．某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（   ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．上海 8．如图，平遥县某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（   ） A． B． C． D． 9．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图所示是计算机程序计算，当输入的数为1时，则输出的结果 ． 11．一个自然数，各个数位上的数字之和是17，并且各个数位上的数字都不相同．符合条件的最小数是 ，最大数是 ． 12．计算： ． 13．天气预报说明天的气温是，明天的昼夜温差是 ． 三、解答题 14．快速计算，直接填空 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 相反数；a + (-b) 1. （-5）；-2 1. 相反数；-a 1. a = b 1. （-2）+ 3；1 （二）效果检测的答案和解析 1. （√）解析：有理数减法法则的核心就是将减法转化为加法，该说法正确。 1. （√）解析：根据法则，3 -（-2）转化为 3 + 2 = 5，计算正确，该说法正确。 1. （×）解析：一个数减去 0 仍得这个数，（-5）- 0 = -5，该说法错误。 1. （×）解析：因为 a - b 与 b - a 互为相反数，若 a - b = 5，则 b - a = -5，该说法错误。 1. （√）解析：减去一个负数，即加上这个负数的相反数（正数），该说法正确。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B C B A A B C B 1．C 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据温度变化的含义，低即温度减少，进行减法运算即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 3．C 【分析】本题考查有理数减法的实际运用，根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意得， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查有理数加减法的实际应用．求出的值，确定筷子中合格的长度，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴零件的尺寸标准在之间， 故四双筷子中合格的长度是． 故选：B． 5．A 【分析】该题考查了数轴和有理数减法，根据两点的距离是4个单位长度解答即可． 【详解】解：若数轴上点A表示的数是， 则点B表示的数为， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，解题的关键是熟练掌握原点左边的点表示的数为负数，原点右边的点表示的数为正数，左边的点表示的数比右边的点表示的数小．根据数轴表示数的方法，一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数为，然后计算即可． 【详解】解：， 该点所表示的数为， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查有理数的大小比较，数轴上两点间的距离． 将各个城市的温度从小到大排列，再比较与济南接近的两个城市，即可解答． 【详解】解：∵，且， 即， ∴北京与济南气温最接近． 故选B． 8．C 【分析】本题考查有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温即可求解． 【详解】解：根据题意，这天的温差为， 故选：C． 9．B 【分析】本题考查有理数的加减．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后去掉括号和加号即可． 【详解】解： ， 故选：B． 10． 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及加、减运算，相反数，解题关键是对相应的运算法则的掌握．根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【详解】解：当输入的数为1时， ， ， ， ， ， ，即输出的结果， 故答案为： 11． 89 743210 【分析】本题考查数的组成，根据自然数最小，需要数位尽量少得到最小数，根据自然数最大，需要数位尽量多，求出最大数即可． 【详解】解：要想这个自然数最小，需要数位尽量少， ， 所以，最小的数为， 要想这个自然数最大，需要数位尽量多， 取最小的自然数： ，， 最大的数为：， 答：最小数是89，最大数是743210． 故答案为：89，743210． 12．6 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； 根据题意可列出算式，再计算即可得到答案. 【详解】解：， 所以明天的昼夜温差是； 故答案为：. 14． 【分析】（1）根据题意，把小数，带分数拆成整数+小数的形式计算即可； （2）利用分配律解答即可； （3）根据运算顺序计算即可； （4）根据除法运算法则解答即可； （5）把带分数化成整数+分数形式，利用分配律解答即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ； 故答案为：42； （3）； 故答案为：； （4） ； 故答案为：； （5） 故答案为：； 【点睛】本题考查了除法运算，乘法运算，混合运算，运算律的应用，简便运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． $$