7.2 平行线 暑假分层练习2024-2025学年人教版（2024）七年级数学下册

人教版（2024）七年级下册 7.2 平行线 暑假分层练习 一、平行线的概念 1.下列生活实例中：①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线．其中属于平行线的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法中，正确的个数有(　　) (1)在同一平面内不相交的两条线段必平行； (2)在同一平面内不相交的两条直线必平行； (3)在同一平面内不平行的两条线段必相交； (4)在同一平面内不平行的两条直线必相交. A.1 B.2 C.3 D.4 3.在同一平面内，下列说法正确的是（    ） A.不相交的两条直线平行 B.不相交的两条射线平行 C.不相交的两条线段平行 D.一条射线和一条直线不平行就相交 4.在一平面内，把两个不重合的木条抽象成两条直线，在木条转动过程中，存在一条直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相          ．记作“a          b”． 在同一平面内，不相交的两条直线叫做          ． 注意：平行线的定义包含三层意思： （1）“在同一           ”是前提条件； （2）“不相交”就是说两条直线没有          ； （3）平行线指的是“两条          ”而不是两条射线或两条线段． 5.如图所示，能相交的是         ，一定平行的是         ．（填图形序号） 6.如图所示，马路上的斑马线，运动场上的双杠这些都给我们平行线的形象．请分别在图中标出字母；并用不同字母表示各组平行线. 7.写出每组直线的位置关系． 二、立体图形中平行的棱或面 1.已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列直线中与直线AB不平行也不垂直的直线是 A.EA B.GH C.HC D.EF 2.如图，在长方体ABCD-EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（　　） A.BC B.CG C.EH D.HG 3.如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（    ） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 4.如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有     条，与AD平行的面有         个．    5.如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有    条．    6.如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    7.（1）补全图形，使之成为长方体ABCD﹣EFGH的直观图； （2）与棱AB平行的棱是 　              　； （3）若这个长方体框架的长、宽、高分别是4分米、3分米和5分米，则需要多少分米的铁丝才能搭成这样的框架？（接缝处忽略不计） 三、平行公理 1.下列说法中：①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 2.下列说法正确的是（　　） A.经过一点有一条直线与已知直线平行 B.经过一点有无数条直线与已知直线平行 C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3.如图，过H点作线段MN的平行线，说法正确的是（　　） A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条 4.如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是：                    ．    5.如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线l1，l2相交于P，且l1∥l,那么l2与l的位置关系是            ． 6.读下列语句，并画出图形： （1）直线AB垂直于CD，垂足是O，点P是直线AB上一点，直线EF经过点P且与直线CD平行； （2）直线AB，CD相交于点O，点P是直线AB，CD外的一点，直线PE与直线CD平行，且与直线AB相交于点E. 7.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？ 四、平行公理的推论 1.在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A.平行或重合 B.平行或垂直 C.垂直 D.相交 2.三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（　　） A.a⊥b B.a∥b C.a⊥b或a∥b D.无法确定 3.在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A.平行于同一条直线的两直线平行 B.同旁内角相等，两直线平行 C.两直线平行，同位角相等 D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 4.（1）平行公理是：                                          ． （2）平行公理的推论是如果两条直线都与        ，那么这两条直线也        ．即三条直线，若，则         ． 5.如图，DC∥AB，EC∥AB，则点D，C，E在同一条直线上，理由是　          　；如果DE∥AB，DE∥MN，则MN与AB的位置关系是　     　，理由是　         　． 6.如图，直线a,点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 7.在如下图所示的正方形网格中，点A，B，C，D在正方形网格的格点（网格线交点）上，请按要求画图并回答问题． (1)过点B画直线，过点C画直线； (2)过点D画直线； (3)试判断直线BE与直线CF的位置关系，并说明理由． 五、同位角相等两直线平行 1.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠4 C.∠3＋∠4＝180° D.∠2＝30°，∠4＝35° 2.在下列图形中，已知∠1＝∠2，一定能推导出l1∥l2的是（　　） A. B. C. D. 3.如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A. B. C. D. 4.如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，则线段BA、AC、CE、DE、EA、BC、CD中，利用“同位角相等，两直线平行”判定方法，写出相互平行的线段　       　． 5.如图，直线AB，CD被直线AE所截．请添加一个条件使直线AB∥CD，则该条件可以是 　        　.（用图中已标注的角或字母表示） 6.已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，．求证：．（请完成下面的证明过程） 证明：∵（已知）， ∴ °（垂直的定义）， 即 ． 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 7.如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 六、内错角相等两直线平行 1.下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是(　　) A. B. C. D. 2.如图，已知∠3＝∠4，要得到AB∥CD，需要添加的条件是(　　) A.∠1＝∠4 B.∠3＝∠2 C.∠1＝∠2 D.∠1与∠2互补 3.下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A. B. C. D. 4.如图，小颖按图中的方式摆放一副三角板，画出，其依据是       ． 5.在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，和相交于点O，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（      ）．    6.如图，直线AB、CD被EF所截，GH⊥AB于H，∠1=25°，∠2=65°，求证：AB∥CD． 7.如图，点O在直线AB上，点F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF交DE于点D． （1）试说明OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，试说明ED∥AB． 七、同旁内角互补两直线平行 1.如图，在下列条件中，能判定直线a与b平行的是（　　） A.∠4+∠2=180° B.∠2＝∠5 C.∠3+∠4＝180° D.∠3＝∠5 2.如图，下列说法：①②③④，其中能说明的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，下列条件中，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 4.如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，∠2＝75°，当∠1＝______°时，能使AB∥CD. 5.如图，直线AB，CD被直线EF所截，若∠2＝80°，当∠1＝　    　°时，AB∥CD． 6.如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC. （1）∠DAB+∠B等于多少度？ （2）AD与BC平行吗？AB与DC平行吗？ 7.如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF． （1）试说明：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠2＝∠C，试说明：AB∥CD． 八、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 1.如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A. B. C. D. 2.如图，要使BC∥DE，给出下列条件：①②BC⊥AC，DE⊥AC，③，④，其中正确的个数是（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条平行线．小明的作法如下： 如图， （1）任取两点A，B，画直线． （2）分别过点A，B作直线的两条垂线；则直线即为所求． 老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是            ． 5.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相        ．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 6.完成下面证明 如图，已知在同一平面内的三条直线a，b，c，a⊥b，a⊥c；求证：． 证明：∵a⊥b ∴∠1=90°（    ） 同理∠2=90° ∴（    ）=（    ） ∴．（    ）． 7.如图，已知NE⊥BC于E，AD⊥BC于D，MF⊥BC于F，求证：AE∥MF. 九、平行线判定方法的综合 1.如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠4=∠5；③∠2+∠5=180°；④∠1=∠3；⑤∠6=∠1+∠2且∠6=∠2+∠3；其中能判断直线l1∥l2的有（　　） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.如图，直线a,b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠3；②∠4=∠8；③∠1+∠6=180°；④∠5+∠8=180°．其中能判定a∥b的条件的个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，下列结论中不能判定两条直线平行的是（    ） A. B. C. D. 4.根据题意可知，下列判断中所依据的命题或定理是　     　． 如图，若∠1＝∠4，则AB∥CD；若∠2＝∠3，则AD∥BC． 5.如图，已知直线EF⊥MN，垂足为F，且∠1=140°，若增加一个条件使得AB∥CD，试写出一个符合要求的条件          ． 6.如图，已知，，垂足为点、，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 7.把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 十、平行线判定方法的实际应用 1.小明将两块相同的三角尺如图放置，分别在三角尺的边缘画直线和，则，画图的原理是（　　） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线平行 2.如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是(　　) A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两直线平行 3.如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是（   ） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线平行 4.如图所示，用直尺和三角尺作直线，这种作法的依据是      ． 5.小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝　        　，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能情况）． 6.光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图．已知∠1＝∠4，∠2＝∠3．请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由． 7.数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 十一、两直线平行同位角相等 1.阅读下列材料，其①~④步中数学依据错误的是（    ） A.① B.② C.③ D.④ 2.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.如图，∠ECD=50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（　　） A.60° B.55° C.70° D.65° 4.如图，直线，直线与直线相交于点A，与直线相交于点，且，若，则    ． 5.如图，l1∥l2，则∠1＝________度． 6.写出推理理由： 如图，已知CD∥EF，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠ACB. 7.如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD相交于点O，M，射线OP在∠AOE的内部，且OP⊥EF，垂足为点O，若∠AOP＝30°，求∠EMD的度数． 十二、两直线平行内错角相等 1.如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是(　　) A.25° B.35° C.45° D.50° 2.如图，AB∥CD，∠A＝35°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（　　） A.55° B.70° C.75° D.80° 3.如图，直线EF∥AC，∠ABD的顶点B在直线EF上，若∠CAB＝40°，∠ABD＝60°，则∠DBF的度数为（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 4.如图，点A，B，C在同一条直线上，，且，，则      （用含α的代数式表示）． 5.如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2相交于C、D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝______. 6.如图，已知，被直线所截，， 平分，，求的度数． 7.如图，已知在四边形中，，． (1)若∠AEB=50°，求的度数； (2)平分交于点，求的度数． 十三、两直线平行同旁内角互补 1.如图，直线，，则的度数为（     ） A. B. C. D. 2.如图，AB∥CD，则下列结论错误的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠D＋∠DAB＝180° C.∠3＝∠4 D.∠B＋∠BCD＝180° 3.如图，，若∠D=100°，∠E=60°，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 4.已知：AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE于O，∠D＝60°，则∠BOF＝______. 5.如图，，，，则的度数等于      ． 6.如图，AB∥DE，C为BD上一点，∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD，求证：CE⊥CA. 7.已知，如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠DEC=100°．求∠BCD的度数． 十四、平行线性质的综合 1.如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，，．若，则下列说法正确的是（    ）． A. B. C. D. 2.如图，已知，若与的夹角为，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 3.如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中与∠B一定相等的角共有(不含∠B)(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，已知AE∥BD，∠1＝3∠2，∠2＝28°.求∠C＝______. 5.如图，，若，则的度数为           ． 6.如图，，，，求的度数．    7.按要求完成下列证明： 如图，，，求证：．    证明：∵（    ） __________（_________________________）． ∵（已知）， __________（_________________________）． ．（    ） 十五、平行线性质与30°60°45°三角板的综合 1.如图，△ABC是一块直角三角板，其中∠C=90°，∠A=30°，若DB∥AC，则∠DBA的度数为（　　） A.30° B.40° C.60° D.90° 2.将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 3.如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A.20° B.15° C.10° D.5° 4.将一副三角尺和直尺按如图所示摆放，则           °．    5.将一副三角尺按如图方式放置在直尺上，则的度数为        度．    6.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A=30°，∠B=60°，∠C=∠D=45°） （1）将三角尺如图1所示叠放在一起． ①∠AOD与∠BOC大小关系是       ，依据是              ． ②∠BOD与∠AOC的数量关系是           ． （2）小亮固定其中一块三角尺△COD不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况． ①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小； ②直接写出∠AOC的其余所有可能值． 7.将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是   （填写序号）. ①∠1=∠2；②∠4+∠5=180°；③∠1+∠4=90°；④∠4+90°=∠3. 十六、平行线性质的实际应用 1.如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD∥AB”．其依据是（　　） A.同位角相等，两直线平行 B.两直线平行，内错角相等 C.同旁内角互补，两直线平行 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2.如图所示，一辆汽车，经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角度为α，第二次转过的角度为β，则β等于(　　) A.α B.90°－α C.180°－α D.90°＋α 3.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1＝45°，∠2＝122°时，∠3和∠4的度数分别是（　　） A.58°，122° B.45°，68° C.45°，58° D.45°，45° 4.如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设，如果∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是________． 5.光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 　     　． 6.当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的.如图，∠1=45°，∠2=122°，求图中∠3，∠4的度数. 7.如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1=∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3=∠4，且AB∥CD．求证：MN∥EF． 十七、平行线性质与判定的综合 1.如图，下列条件中能判断∠3＝∠C的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠B C.∠EDB+∠2＝180° D.∠3＝∠2 2.如图，点D，E，F分别在三角形ABC的边CA，AB，BC上，连接DE，EF，若∠1＝∠B，∠2＝∠C＝75°，则∠3的角度为（　　） A.105° B.95° C.85° D.75° 3.如图，已知， 则的度数为（      ） A. B. C. D. 4.如图，已知，，，则的度数是      ． 5.补全解答过程： 如图，，． 求证：． 证明：∵， ∴           ( )． ∴( ) 又∵， ∴           ． ∴( ) ∴( ) 6.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，且∠AFE=50°． （1）求证：FD∥AB； （2）求∠ACB的度数． 7.如图，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G． 求证：AB∥CD． 十八、用平行线性质与判定解决拐角问题 1.如图，已知AB∥CD，∠A＝35°，∠E＝105°，则∠C的度数为（　　） A.65° B.70° C.75° D.60° 2.如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为(　　) A.α＋β＋γ＝360° B.α－β＋γ＝180° C.α＋β＋γ＝180° D.α＋β－γ＝180° 3.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为（　　） A.90° B.110° C.80° D.100° 4.如图，AB∥CD，∠E＝60°，则∠B＋∠F＋∠C＝____________°. 5.如图，AB∥CD，BE为∠ABC的平分线，DE为∠ADC的平分线，∠ADC＝72°，∠BCD＝42°，则∠BED的度数为　    　°． 6.如图，． (1)如图①，若，点B在射线上，，求的度数； (2)如图②，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 7.如图所示，AB∥CD. (1)如图1，求证：∠E＝∠B＋∠D； (2)如图2，∠B、∠D、∠E有什么关系，直接写出结论，不用证明． 十九、用平行线性质与判定解决折叠问题 1.如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（　　） A.∠1＝2∠2 B.∠1+∠2＝90° C.∠1﹣∠2＝30° D.2∠1﹣3∠2＝30° 2.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(　　) A.20° B.30° C.35° D.55° 3.在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（　　） ①平角的定义； ②邻补角的定义； ③角平分线的定义； ④同旁内角互补，两直线平行； ⑤两直线平行，内错角相等． A.②④ B.③⑤ C.①②⑤ D.①③④ 4.如图，将长方形纸片ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF＝40°，则∠FBE的度数为______． 5.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D，C分别在M，N的位置上，若∠EFG＝56°，则∠2＝　     　． 6.如图，将一张上、下两边平行(即AB∥CD)的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕． (1)试说明∠1＝∠2； (2)已知∠2＝40°，求∠BEF的度数． 7.如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成： 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B´落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？ （请完成下面的证明，并填上对应的推理根据） 证明：∵ ∴∠  ．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴∠ ．理由是：（　 　 ）． ∴ ， ∴．理由是：（　 　 ）． 人教版（2024）七年级下册 7.2 平行线 暑假分层练习（参考答案） 一、平行线的概念 1.下列生活实例中：①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线．其中属于平行线的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】属于平行线的有①③④⑤.故选D. 2.下列说法中，正确的个数有(　　) (1)在同一平面内不相交的两条线段必平行； (2)在同一平面内不相交的两条直线必平行； (3)在同一平面内不平行的两条线段必相交； (4)在同一平面内不平行的两条直线必相交. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】(1)线段不相交，延长后不一定不相交，错误； (2)同一平面内，直线只有平行或相交两种位置关系，正确； (3)线段是有长度的，不平行也可以不相交，错误； (4)同(2)，正确；所以(2)(4)正确．故选B. 3.在同一平面内，下列说法正确的是（    ） A.不相交的两条直线平行 B.不相交的两条射线平行 C.不相交的两条线段平行 D.一条射线和一条直线不平行就相交 【答案】A 【解析】解：A选项，在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，故本选项正确； B选项，在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行， 如下图所示，故本选项错误； C选项，在同一平面内，线段不相交，延长后不一定不相交， 如下图所示，故本选项错误； D选项，在同一平面内，一条射线和一条直线不平行时，也不一定相交， 如下图所示，故本选项错误． 故选A． 4.在一平面内，把两个不重合的木条抽象成两条直线，在木条转动过程中，存在一条直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相          ．记作“a          b”． 在同一平面内，不相交的两条直线叫做          ． 注意：平行线的定义包含三层意思： （1）“在同一           ”是前提条件； （2）“不相交”就是说两条直线没有          ； （3）平行线指的是“两条          ”而不是两条射线或两条线段． 【答案】平行；∥；平行线；平面内；交点；直线 【解析】解：平行线的定义包含三层意义：一是必须保证“在同一平面内”，因为在立体图形中，异面的两条直线有既不相交也不平行的情况；二是“不相交”，说明两条直线没有公共点；三是“两条直线”而不是射线或线段，如果说射线或线段平行，是指它们所在的直线互相平行，因为射线和线段均为直线的的一部分. 5.如图所示，能相交的是         ，一定平行的是         ．（填图形序号） 【答案】③；⑤ 【解析】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交； 对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交； 对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交； 对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行． 故答案为：③；⑤． 6.如图所示，马路上的斑马线，运动场上的双杠这些都给我们平行线的形象．请分别在图中标出字母；并用不同字母表示各组平行线. 【答案】解：如图，a∥b∥c∥d，e∥f，g∥h∥m∥n. 7.写出每组直线的位置关系． 【答案】解：第一组：两直线相交； 第二组：两直线垂直； 第三组：两直线平行； 第四组：两直线相交． 二、立体图形中平行的棱或面 1.已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列直线中与直线AB不平行也不垂直的直线是 A.EA B.GH C.HC D.EF 【答案】C 【解析】解：A、EA是长方体的棱，与AB互相垂直，故本选项错误； B、GH是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误； C、HC不是长方体的棱，与AB不平行也不垂直，故本选项正确； D、EF是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误． 故选C． 2.如图，在长方体ABCD-EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（　　） A.BC B.CG C.EH D.HG 【答案】D 【解析】结合图形可知，与棱AB平行的棱有CD，EF，GH． 故选：D． 3.如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（    ） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】C 【解析】由题意得： 与棱AD既不相交也不平行的棱有：BB1，CC1，A1B1，C1D1 故选C. 4.如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有     条，与AD平行的面有         个．    【答案】3，1. 【解析】解：与棱AD平行的棱有：BC，B′C′，A′D′，共有3条，与AD平行的面是正方形BB′C′C和正方形A′B′C′D′． 故答案为：3，1． 5.如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有    条．    【答案】3 【解析】解：与AB平行的线段是：DC、EF； 与CD平行的线段是：HG， 所以与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC． 故答案是：3． 6.如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    7.（1）补全图形，使之成为长方体ABCD﹣EFGH的直观图； （2）与棱AB平行的棱是 　              　； （3）若这个长方体框架的长、宽、高分别是4分米、3分米和5分米，则需要多少分米的铁丝才能搭成这样的框架？（接缝处忽略不计） 【答案】解：（1）如图所示. （2）与棱AB平行的棱是CD，EF和GH． （3）（4+3+5）×4 ＝12×4 ＝48（分米）． 答：需要48分米的铁丝才能搭成这样的框架． 三、平行公理 1.下列说法中：①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】A 【解析】解： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故①不正确； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故②不正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③不正确； 所以正确的有0个． 故选：A． 2.下列说法正确的是（　　） A.经过一点有一条直线与已知直线平行 B.经过一点有无数条直线与已知直线平行 C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确． 3.如图，过H点作线段MN的平行线，说法正确的是（　　） A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条 【答案】B 【解析】因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 4.如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是：                    ．    【答案】经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 【解析】解：∵，，且、经过点A， ∴过外一点B的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点A、B、C在一条直线上， 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行． 5.如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线l1，l2相交于P，且l1∥l,那么l2与l的位置关系是            ． 【答案】相交 【解析】P是直线l外一点，两条直线l1，l2相交于P，且l1∥l,那么l2与l的位置关系是相交，因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：相交． 6.读下列语句，并画出图形： （1）直线AB垂直于CD，垂足是O，点P是直线AB上一点，直线EF经过点P且与直线CD平行； （2）直线AB，CD相交于点O，点P是直线AB，CD外的一点，直线PE与直线CD平行，且与直线AB相交于点E. 【答案】解：（1）如图所示. AB⊥CD，垂足是点O，EF∥CD.则直线CD和直线EF即为所求. （2）如图所示. PE∥CD，则直线PE即为所求. 7.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？ 【答案】解 ∵OA∥CD，OB∥CD且OA、OB交于点O， 根据过直线CD外一点O有且只有一条直线与已知直线CD平行， ∴OA，OB共直线，∴A、O、B共直线．∴∠AOB是平角． 四、平行公理的推论 1.在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A.平行或重合 B.平行或垂直 C.垂直 D.相交 【答案】A 【解析】解：若，则或b，c重合； 故选：A． 2.三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（　　） A.a⊥b B.a∥b C.a⊥b或a∥b D.无法确定 【答案】B 【解析】由于直线a，b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b． 3.在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A.平行于同一条直线的两直线平行 B.同旁内角相等，两直线平行 C.两直线平行，同位角相等 D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 4.（1）平行公理是：                                          ． （2）平行公理的推论是如果两条直线都与        ，那么这两条直线也        ．即三条直线，若，则         ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；第三条直线平行；平行； 【解析】解：（1）平行公理是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，即三条直线，若，则． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；第三条直线平行，平行，． 5.如图，DC∥AB，EC∥AB，则点D，C，E在同一条直线上，理由是　          　；如果DE∥AB，DE∥MN，则MN与AB的位置关系是　     　，理由是　         　． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；平行；平行于同一直线的两直线互相平行 【解析】∵DC∥AB，CE∥AB，∴点D，C，E在同一条直线上， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． MN与AB的位置关系是平行. 理由是：平行于同一直线的两直线互相平行． 6.如图，直线a,点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 【答案】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行； （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下： 如图，∵b∥a,c∥a, ∴c∥b. 7.在如下图所示的正方形网格中，点A，B，C，D在正方形网格的格点（网格线交点）上，请按要求画图并回答问题． (1)过点B画直线，过点C画直线； (2)过点D画直线； (3)试判断直线BE与直线CF的位置关系，并说明理由． 【答案】解：（1）如图，BE，CF即为所求． （2）如图，MN即为所求． （3）．理由如下：因为，所以． 五、同位角相等两直线平行 1.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠4 C.∠3＋∠4＝180° D.∠2＝30°，∠4＝35° 【答案】B 【解析】∵∠1＝∠4，∴a∥b(同位角相等两直线平行)．故选B. 2.在下列图形中，已知∠1＝∠2，一定能推导出l1∥l2的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A项，如图， ∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°， ∴∠2+∠3＝180°， ∴不能推导出l1∥l2，不符合题意； B项，如图， ∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°， ∴∠2+∠3＝180°， ∴不能推导出l1∥l2，不符合题意； C项，如图， ∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°， ∴∠2+∠3＝180°， ∴不能推导出l1∥l2，不符合题意； D项，如图， ∵∠1＝∠2，∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴一定能推导出l1∥l2，符合题意． 3.如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示． 根据题意可知， ∵， ∴．（同位角相等，两直线平行） 故选：A． 4.如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，则线段BA、AC、CE、DE、EA、BC、CD中，利用“同位角相等，两直线平行”判定方法，写出相互平行的线段　       　． 【答案】AB∥EC，AC∥ED 【解析】由题可知，∠B＝∠DCE，则AB∥EC（同位角相等，两直线平行）； ∠ACB=∠D，则AC∥ED（同位角相等，两直线平行）. 综上，相互平行的线段为AB∥EC，AC∥ED． 5.如图，直线AB，CD被直线AE所截．请添加一个条件使直线AB∥CD，则该条件可以是 　        　.（用图中已标注的角或字母表示） 【答案】∠1＝∠3 【解析】∵∠1＝∠3， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）. 6.已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，．求证：．（请完成下面的证明过程） 证明：∵（已知）， ∴ °（垂直的定义）， 即 ． 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【答案】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 即， 又∵，（已知） ∴（同角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 7.如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴（角平分线定义） ∵， ∴（平角定义） ∴， ∴， ∴（同位角相等、两直线平行）． 六、内错角相等两直线平行 1.下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A．∠1＝∠2不能判定任何直线平行，故本选项错误； B．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，符合平行线的判定定理，故本选项正确； C．∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，故本选项错误； D．∠1＝∠2不能判定任何直线平行，故本选项错误．故选B. 2.如图，已知∠3＝∠4，要得到AB∥CD，需要添加的条件是(　　) A.∠1＝∠4 B.∠3＝∠2 C.∠1＝∠2 D.∠1与∠2互补 【答案】C 【解析】若AB∥CD，则∠ABC＝∠BCD，又知∠3＝∠4，即∠1＝∠2，故选C. 3.下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A项，由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，故不符合题意； B项，∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，不能得到AB∥CD，故不符合题意； C项，由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，故不符合题意； D项，∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故符合题意. 4.如图，小颖按图中的方式摆放一副三角板，画出，其依据是       ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】解：∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 5.在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，和相交于点O，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（      ）．    【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】解：证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 6.如图，直线AB、CD被EF所截，GH⊥AB于H，∠1=25°，∠2=65°，求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵GH⊥AB于H， ∴∠AHG=90°， ∵∠1=25°， ∴∠AHE=90°-25°=65°， ∵∠2=65°， ∴∠2=∠AHE， ∴AB∥CD． 7.如图，点O在直线AB上，点F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF交DE于点D． （1）试说明OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，试说明ED∥AB． 【答案】证明：（1）∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， ∴∠COF=∠AOF，∠DOF=∠BOF． ∵∠AOF+∠BOF＝180°， ∴∠COD=∠COF+∠DOF=（∠AOF+∠BOF）=90°， ∴OC⊥OD. （2）由（1）知∠COD＝90°， ∴∠1+∠DOB＝90°， ∵∠D与∠1互余， ∴∠D+∠1＝90°， ∴∠D＝∠DOB， ∴ED∥AB（内错角相等，两直线平行）. 七、同旁内角互补两直线平行 1.如图，在下列条件中，能判定直线a与b平行的是（　　） A.∠4+∠2=180° B.∠2＝∠5 C.∠3+∠4＝180° D.∠3＝∠5 【答案】C 【解析】A项，∵∠4与∠2是邻补角，∠4+∠2=180°，不能得到a∥b，∴不符合题意， B项，∠2=∠5不能得到a∥b，∴不符合题意， C项，∵∠3与∠4是同旁内角， ∴∠3+∠4＝180°可以得到a∥b，∴符合题意， D项，∠3＝∠5，不能得到a∥b，∴不符合题意. 2.如图，下列说法：①②③④，其中能说明的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】解：①，故本项不符合题意； ②，由∠AFD=∠CFB且和是同旁内角，利用同旁内角互补，两直线平行，可推出，故本项符合题意； ③，是一对邻补角，故本项不符合题意； ④，是一对邻补角，故本项不符合题意； ∴能说明的有1个． 故选：A． 3.如图，下列条件中，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A.∵ ，∴，故A选项不符合题意； B. ，能判定AC∥BD，但不能判定，故B选项符合题意； C.，能判定 ，故C选项不符合题意； D.，可得，能判定，故D选项不符合题意； 故选B． 4.如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，∠2＝75°，当∠1＝______°时，能使AB∥CD. 【答案】105 【解析】∵∠1＝105°，∴∠AEF＝105°，∵∠2＝75°，∴∠AEF＋∠2＝180°，∴AB∥CD. 故答案为105. 5.如图，直线AB，CD被直线EF所截，若∠2＝80°，当∠1＝　    　°时，AB∥CD． 【答案】100 【解析】如图， 当∠1+∠3＝180°时，AB∥CD， ∵∠3＝∠2＝80°， ∴∠1＝180°﹣80°＝100°. 6.如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC. （1）∠DAB+∠B等于多少度？ （2）AD与BC平行吗？AB与DC平行吗？ 【答案】解：（1）∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°． 又∵∠1=30°， ∴∠DAB=∠1+∠BAC=30°+90°=120°， ∵∠B=60°， ∴∠DAB+∠B=120°+60°=180°． （2）AD∥BC，AB与CD不一定平行，理由如下： ∵由（1）可得∠DAB+∠B=180°， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）， ∵∠ACD不能确定， ∴AB与CD不一定平行． 7.如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF． （1）试说明：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠2＝∠C，试说明：AB∥CD． 【答案】证明：（1）∵EA平分∠BEF，EC平分∠DEF， ∴∠1＝BEF，∠2＝DEF， ∵∠BEF+∠DEF＝180°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥CE. （2）∵∠1＝∠A，∠2＝∠C， ∴∠1+∠A+∠2+∠C＝2（∠1+∠2）＝180°， ∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠2）＝360°﹣2（∠1+∠2）＝180°， ∴AB∥CD． 八、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 1.如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】、根据作图可知：，， ∴∠D=∠FCB=90°（垂直定义） ∴(同位角相等，两直线平行) 故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：， 根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项错误，符合题意； 故选：． 2.如图，要使BC∥DE，给出下列条件：①②BC⊥AC，DE⊥AC，③，④，其中正确的个数是（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】解：①，不能判定，不符合题意； ②∵BC⊥AC，DE⊥AC，∴∠AED=∠C=90°（垂直定义） ∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，符合题意. ③∵， ∴（内错角相等，两直线平行） ④∵， ∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，符合题意. 综上所述，能判定DE∥BC有3个，故选：C 3.直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】解：①如果，，则，故①说法正确； ②如果，，，则，故②说法正确； ③如果，，则，故③说法正确； ④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故④说法错误， ∴正确的有3个， 故选：C． 4.在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条平行线．小明的作法如下： 如图， （1）任取两点A，B，画直线． （2）分别过点A，B作直线的两条垂线；则直线即为所求． 老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是            ． 【答案】在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行 【解析】解：∵， ∴（在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行）． 故答案为：在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行． 5.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相        ．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 【答案】平行 【解析】解：如图，，，说明． 理由如下：，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：平行． 6.完成下面证明 如图，已知在同一平面内的三条直线a，b，c，a⊥b，a⊥c；求证：． 证明：∵a⊥b ∴∠1=90°（    ） 同理∠2=90° ∴（    ）=（    ） ∴．（    ）． 【答案】证明：如图： ∵a⊥b ∴∠1=90°（垂直的定义） 同理∠2=90° ∴∠1=∠2 ∴．（同位角相等两直线平行） 7.如图，已知NE⊥BC于E，AD⊥BC于D，MF⊥BC于F，求证：AE∥MF. 【答案】证明：∵NE⊥BC，AD⊥BC， ∴∠NEC＝∠ADC=90°（垂直定义）， ∴NE∥AD（同位角相等两直线平行）， 同理AD∥MF， ∴AE∥MF（平行于同一直线的两条直线互相平行）. 九、平行线判定方法的综合 1.如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠4=∠5；③∠2+∠5=180°；④∠1=∠3；⑤∠6=∠1+∠2且∠6=∠2+∠3；其中能判断直线l1∥l2的有（　　） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】C 【解析】①∵∠1=∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意； ②∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意； ③∵∠2+∠5=180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意； ④∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意； ⑤∵∠6=∠2+∠3=∠1+∠2，∴∠1=∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意． 故选：C． 2.如图，直线a,b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠3；②∠4=∠8；③∠1+∠6=180°；④∠5+∠8=180°．其中能判定a∥b的条件的个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】能判断a∥b的条件是：②∠4=∠8；③∠1+∠6=180°； 故选：B． 3.如图，下列结论中不能判定两条直线平行的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A．∵，，∴，∴； B．不能判定两条直线平行； C．∵，∴； D．∵，，∴，∴． 故选∶B． 4.根据题意可知，下列判断中所依据的命题或定理是　     　． 如图，若∠1＝∠4，则AB∥CD；若∠2＝∠3，则AD∥BC． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】∵∠1＝∠4，则AB∥CD，∠2＝∠3，则AD∥BC， ∴判断所依据的定理是：内错角相等，两直线平行． 5.如图，已知直线EF⊥MN，垂足为F，且∠1=140°，若增加一个条件使得AB∥CD，试写出一个符合要求的条件          ． 【答案】∠2=50° 【解析】增加的条件为∠2=50°， ∵EF⊥MN， ∴∠EFM=90°， ∵∠2=50°， ∴∠∠BFM=140°， ∴∠AFN=∠1=140°， ∴AB∥CD， 故答案为：∠2=50°． 6.如图，已知，，垂足为点、，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】解：， 证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 7.把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 十、平行线判定方法的实际应用 1.小明将两块相同的三角尺如图放置，分别在三角尺的边缘画直线和，则，画图的原理是（　　） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【解析】解：由作图可知，， （内错角相等两直线平行）． 故选：B． 2.如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是(　　) A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两直线平行 【答案】B 【解析】由图可知，∠ABD＝∠BAC，根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD.故选B. 3.如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是（   ） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【解析】解：如图，由题意，得：， ∴（内错角相等，两直线平行）； 故选B． 4.如图所示，用直尺和三角尺作直线，这种作法的依据是      ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】解：如图， 由画法可得：，则，这种作法的依据是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 5.小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝　        　，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能情况）． 【答案】15°或60°或150° 【解析】有三种情形：①如图，当AD∥BE时，延长BE交AC于点F， ∵AD∥BE， ∴∠BFC＝∠A＝30°， ∴∠ACE＝∠CEB﹣∠EFC＝45°﹣30°＝15°； ②如图，当AD∥BC时，延长CE交AD于点G， ∵AD∥BC， ∴∠AGC＝∠BCE＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠A＝60°； ③如图，当AD∥CE时， ∵AD∥CE， ∴∠ACE＝180°﹣∠A＝150°， 综上所述，满足条件的∠ACE的度数为15°或60°或150°. 6.光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图．已知∠1＝∠4，∠2＝∠3．请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由． 【答案】解：c∥d， 理由如下： 如图，∵∠2+∠5＝∠3+∠6=180°，∠2＝∠3， ∴∠5＝∠6， ∵∠1＝∠4， ∴∠1+∠5＝∠4+∠6（等式的性质）， ∴c∥d（内错角相等，两直线平行）． 7.数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． (1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． (2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． (3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 【答案】解：（1）∵， ∴， 或∵， ∴， 故答案为：同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）． （2）∵ ∴， 故答案为：内错角相等，两直线平行． （3）理由： ，， ． 又， ， （内错角相等，两直线平行） 十一、两直线平行同位角相等 1.阅读下列材料，其①~④步中数学依据错误的是（    ） A.① B.② C.③ D.④ 【答案】B 【解析】解：证明：①（已知）， （垂直的定义） ②又 （已知）， （两直线平行，同位角相等） ③（等量代换） ④（垂直的定义） 故错误为②， 故选B． 2.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【解析】∵射线DF⊥直线c，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，即与∠1互余的角有∠2，∠3，又∵a∥b，∴∠3＝∠5，∠2＝∠4，∴与∠1互余的角有∠4，∠5，∴与∠1互余的角有4个，故选A. 3.如图，∠ECD=50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（　　） A.60° B.55° C.70° D.65° 【答案】D 【解析】∵AB∥CD， ∴∠EMB=∠ECD=50°， ∴∠AME=180°-∠EMB=180°-50°=130°， ∵MF平分∠AME， ∴∠AMF=65°． 故选：D． 4.如图，直线，直线与直线相交于点A，与直线相交于点，且，若，则    ． 【答案】 【解析】解：如图： ∵， ∴∠4=∠2+∠3（两直线平行，同位角相等） ∵55° ∴， ∴∠2+∠3=125° ∵ ∴∠3=90° ∴∠2=125°-90° 故答案为：35． 5.如图，l1∥l2，则∠1＝________度． 【答案】20 【解析】∵l1∥l2，∴∠2＝70°，∴∠1＝90°－∠2＝90°－70°＝20°. 6.写出推理理由： 如图，已知CD∥EF，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠ACB. 【答案】证明：∵CD∥EF(已知)， ∴∠2＝∠DCB(两直线平行，同位角相等)， ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1＝∠DCB(等量代换)， ∴GD∥BC(内错角相等，两直线平行)， ∴∠3＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)． 7.如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD相交于点O，M，射线OP在∠AOE的内部，且OP⊥EF，垂足为点O，若∠AOP＝30°，求∠EMD的度数． 【答案】证明：∵OP⊥EF，∠AOP＝30°， ∴∠BOE＝90°－30°＝60°， 又∵AB∥CD， ∴∠EMD＝∠BOE＝60°. 十二、两直线平行内错角相等 1.如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是(　　) A.25° B.35° C.45° D.50° 【答案】D 【解析】∵CD∥EF，∠C＝∠CFE＝25°，∵FC平分∠AFE，∴∠AFE＝2∠CFE＝50°，又∵AB∥EF，∴∠A＝∠AFE＝50°，故选D. 2.如图，AB∥CD，∠A＝35°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（　　） A.55° B.70° C.75° D.80° 【答案】B 【解析】∵AB∥CD，∠A＝30°， ∴∠ADC＝∠A＝35°，∠CDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等）， ∵DA平分∠CDE， ∴∠CDE＝2∠ADC＝70°， ∴∠DEB＝70°． 3.如图，直线EF∥AC，∠ABD的顶点B在直线EF上，若∠CAB＝40°，∠ABD＝60°，则∠DBF的度数为（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】B 【解析】∵EF∥AC，∠CAB＝40°， ∴∠ABF＝∠CAB＝40°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABD＝60°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF＝20°. 4.如图，点A，B，C在同一条直线上，，且，，则      （用含α的代数式表示）． 【答案】/ 【解析】解：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）. ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2相交于C、D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝______. 【答案】20° 【解析】∵∠1＝130°，∴∠3＝50°，又∵l1∥l2，∴∠BDC＝50°，又∵∠ADB＝30°，∴∠2＝20°，故答案为20°. 6.如图，已知，被直线所截，， 平分，，求的度数． 【答案】解：，， （两直线平行，内错角相等）. 又平分， ， ， ． 7.如图，已知在四边形中，，． (1)若∠AEB=50°，求的度数； (2)平分交于点，求的度数． 【答案】解：（1）∵， ∴（两直线平行，内错角相等）. ∵， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ， ∴（两直线平行，内错角相等）. 十三、两直线平行同旁内角互补 1.如图，直线，，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）. ∵， ∴， 故选：． 2.如图，AB∥CD，则下列结论错误的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠D＋∠DAB＝180° C.∠3＝∠4 D.∠B＋∠BCD＝180° 【答案】A 【解析】∵AB∥CD，∴∠D＋∠DAB＝180°，∠3＝∠4，∠B＋∠BCD＝180°，又∵AD与BC不一定平行，∴∠1＝∠2不一定成立，故选A. 3.如图，，若∠D=100°，∠E=60°，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵， ∴=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∴=180°-100°=80°， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）. ∴∠ABE=180°-60°=120° ∴∠1=∠ABE-∠ABD=120°-80°=40° 故选：D． 4.已知：AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE于O，∠D＝60°，则∠BOF＝______. 【答案】30° 【解析】∵AB∥CD，∴∠AOD＝180°－∠D＝180°－60°＝120°，∠BOD＝∠D＝60°.∵OE平分∠AOD，∴∠EOD＝120°÷2＝60°.∵OF⊥OE，∴∠DOF＝90°－60°＝30°，∴∠BOF＝∠BOD－∠DOF＝60°－30°＝30°.故答案为30°. 5.如图，，，，则的度数等于      ． 【答案】/度 【解析】解：， （两直线平行，同旁内角互补）. ， ． 故答案为：． 6.如图，AB∥DE，C为BD上一点，∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD，求证：CE⊥CA. 【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠B＋∠D＝180°， ∵∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD， ∴∠B＝180°－2∠BCA，∠D＝180°－2∠ECD， ∴(180°－2∠BCA)＋(180°－2∠ECD)＝180°， ∴∠BCA＋∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∴CE⊥CA. 7.已知，如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠DEC=100°．求∠BCD的度数． 【答案】解：∵DE∥BC， ∴∠DEC+∠ACB=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠DEC=100°， ∴∠ACB=80°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=40°. 十四、平行线性质的综合 1.如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，，．若，则下列说法正确的是（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ，， ， ， ， 故A、B、C说法错误，不符合题意，D结论正确，符合题意； 故选：D． 2.如图，已知，若与的夹角为，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． 故选：C 3.如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中与∠B一定相等的角共有(不含∠B)(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠EFC＝∠DEF，∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠B，∠ADE＝∠DEF，所以∠ADE＝∠EFC＝∠DEF＝∠B.所以与∠B一定相等的角共有3个，故选C. 4.如图，已知AE∥BD，∠1＝3∠2，∠2＝28°.求∠C＝______. 【答案】56° 【解析】∵AE∥DB，∴∠1＝∠3＝3∠2，∵∠2＋∠C＝∠3，∴∠2＋∠C＝3∠2，∴∠C＝2∠2，∵∠2＝28°.∴∠C＝56°，故答案为56°. 5.如图，，若，则的度数为           ． 【答案】/60度 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6.如图，，，，求的度数．    【答案】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7.按要求完成下列证明： 如图，，，求证：．    证明：∵（    ） __________（_________________________）． ∵（已知）， __________（_________________________）． ．（    ） 【答案】证明：∵（已知）， ∴(两直线平行，内错角相等)． ∵（已知）， ∴(两直线平行，同旁内角互补)． ．（等量代换）， 故答案为：已知，，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同旁内角互补，等量代换． 十五、平行线性质与30°60°45°三角板的综合 1.如图，△ABC是一块直角三角板，其中∠C=90°，∠A=30°，若DB∥AC，则∠DBA的度数为（　　） A.30° B.40° C.60° D.90° 【答案】A 【解析】∵DB∥AC， ∴∠DBA=∠A=30°． 故选：A． 2.将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示：    由题意可知，， 故选：C． 3.如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A.20° B.15° C.10° D.5° 【答案】C 【解析】如图， ∵直线a∥b， ∴∠4＝∠1+∠3， ∵∠3＝30°，∠1＝50°， ∴∠4＝50°+30°＝80°， ∵∠4+∠2＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠4＝10°. 4.将一副三角尺和直尺按如图所示摆放，则           °．    【答案】 【解析】如图所示，    ∵将一副三角尺和直尺按如图所示摆放， ∴， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 5.将一副三角尺按如图方式放置在直尺上，则的度数为        度．    【答案】/105度 【解析】如图所示，    ∵将一副三角尺按如图方式放置在直尺上， ∴， ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 6.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A=30°，∠B=60°，∠C=∠D=45°） （1）将三角尺如图1所示叠放在一起． ①∠AOD与∠BOC大小关系是       ，依据是              ． ②∠BOD与∠AOC的数量关系是           ． （2）小亮固定其中一块三角尺△COD不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况． ①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小； ②直接写出∠AOC的其余所有可能值． 【答案】解 （1）①∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC+∠AOD=90°，∠AOC+∠BOC=90°， ∴∠AOD=∠BOC，（同角的余角相等）， 故答案为：相等，同角的余角相等； ②∠AOC与∠BOD互补． ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°． ∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC， ∴∠AOC+∠BOD=180°， 即∠AOC与∠BOD互补， 故答案为：互补； （2）①如图，过点O作OE∥AB，则OE∥AB∥CD， ∵OE∥AB∥CD， ∴∠A=∠AOE=30°，∠C=∠COE=45°， ∴∠AOC=∠AOE+∠COE=30°+45°=75°； ②当AB∥OC时，如图， 此时∠AOC=∠A=30°； 当OA∥CD时，如图， 此时，∠AOC=∠C=45°； 当AB∥CD时， 由①得，∠AOC=75°； 当AB∥OD时，如图， 此时，∠BOD=∠B=60°， ∴∠AOC=360°-90°-90°-60°=120°； 当OB∥CD时，如图， 此时，∠BOD=∠D=45°， ∴∠AOC=360°-90°-90°-45°=135°. 7.将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是   （填写序号）. ①∠1=∠2；②∠4+∠5=180°；③∠1+∠4=90°；④∠4+90°=∠3. 【答案】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等） ∠4+∠5=180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠GEF=90°， ∴∠2+∠4=90°，（平角定义） ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠4=90°，（等式的基本事实） ∵AB∥CD， ∴∠2+∠3=180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠3=180°-∠2， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠2=90°-∠4， ∴∠3=180°-（90°-∠4）， ∴∠3=90°+∠4， 综上所述，①②③④都成立. 十六、平行线性质的实际应用 1.如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD∥AB”．其依据是（　　） A.同位角相等，两直线平行 B.两直线平行，内错角相等 C.同旁内角互补，两直线平行 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【解析】根据作图过程可知： 画图的依据是：同位角相等，两直线平行． 故选：A． 2.如图所示，一辆汽车，经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角度为α，第二次转过的角度为β，则β等于(　　) A.α B.90°－α C.180°－α D.90°＋α 【答案】C 【解析】由条件可知∠BAC＝180°－α，∵AB∥CD，∴β＝∠BAC，∴β＝180°－α，故选C. 3.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1＝45°，∠2＝122°时，∠3和∠4的度数分别是（　　） A.58°，122° B.45°，68° C.45°，58° D.45°，45° 【答案】C 【解析】如图，∵EG∥FH，∠1＝45°， ∴∠3＝∠1＝45°． ∵AB∥CD，∠2＝122°， ∴∠ECD＝180°﹣122°＝58°． ∵CE∥DF， ∴∠4＝∠ECD＝58°． 4.如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设，如果∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是________． 【答案】80° 【解析】过C作MN∥AB，∵AB∥DE，∴MN∥DE，∴∠2＋∠D＝180°，∵∠CDE＝140°，∴∠2＝40°，∵MN∥AB，∴∠1＋∠B＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠1＝60°，∴∠BCD＝180°－60°－40°＝80°，故答案为80°. 5.光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 　     　． 【答案】58° 【解析】∵AB∥CD， ∴∠CGF+∠AFG＝180°， ∵∠2+∠1+∠AFG＝180°， ∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+16°＝58°． 6.当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的.如图，∠1=45°，∠2=122°，求图中∠3，∠4的度数. 【答案】解：如图所示， ∵EG∥FH，∠1=45°， ∴∠3=∠1=45°（两直线平行，同位角相等）. ∵EC∥FD，∠2=122°， ∴∠4=∠2=122°（两直线平行，同位角相等）． 7.如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1=∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3=∠4，且AB∥CD．求证：MN∥EF． 【答案】证明 ∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠BCD， ∵∠1+∠ABC+∠2=∠3+∠BCD+∠4=180°， ∴∠1+∠2=∠3+∠4， 又∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2=∠3， ∴MN∥EF． 十七、平行线性质与判定的综合 1.如图，下列条件中能判断∠3＝∠C的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠B C.∠EDB+∠2＝180° D.∠3＝∠2 【答案】B 【解析】∵∠1＝∠2， ∴EF∥AB， 不能判定∠3＝∠C， 故A不符合题意； ∵∠1＝∠B， ∴DE∥BC， ∴∠3＝∠C， 故B符合题意； ∵∠EDB+∠2＝180°， ∴EF∥AB， 不能判定∠3＝∠C， 故C不符合题意； 由∠3＝∠2，不能判定∠3＝∠C， 故D不符合题意. 2.如图，点D，E，F分别在三角形ABC的边CA，AB，BC上，连接DE，EF，若∠1＝∠B，∠2＝∠C＝75°，则∠3的角度为（　　） A.105° B.95° C.85° D.75° 【答案】A 【解析】∵∠1＝∠B， ∴DE∥BC， ∴∠2＝∠EFB， ∵∠2＝∠C， ∴∠C＝∠EFB， ∴EF∥AC， ∴∠3+∠C＝180°， ∵∠C＝75°， ∠3＝180°﹣75°＝105°． 3.如图，已知， 则的度数为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4.如图，已知，，，则的度数是      ． 【答案】/92度 【解析】解： ，， ， ， ， 故答案为：． 5.补全解答过程： 如图，，． 求证：． 证明：∵， ∴           ( )． ∴( ) 又∵， ∴           ． ∴( ) ∴( ) 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等； ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】解：证明： ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等 6.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，且∠AFE=50°． （1）求证：FD∥AB； （2）求∠ACB的度数． 【答案】（1）证明：∵∠1+∠EDF=180°， ∠1+∠2=180°， ∴∠EDF=∠2， ∴FD∥AB； （2）解：由（1）知：DF∥AB， ∴∠3=∠AEF， ∵∠3=∠B， ∴∠B=∠AEF， ∴EF∥BC， ∴∠ACB=∠AFE， ∵∠AFE=50°， ∴∠ACB=50°． 7.如图，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G． 求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵AF⊥CE， ∴∠CGF=90° （垂直定义）， ∵∠1=∠D（已知）， ∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠4=∠CGF=90°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）， ∴∠2+∠3=90°． ∵∠2与∠C互余（已知）， ∴∠2+∠C=90°（互余的定义）， ∴∠C=∠3（同角的余角相等）， ∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）. 十八、用平行线性质与判定解决拐角问题 1.如图，已知AB∥CD，∠A＝35°，∠E＝105°，则∠C的度数为（　　） A.65° B.70° C.75° D.60° 【答案】B 【解析】如图，过点E作PE∥AB，则∠1＝∠A＝35°， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD∥AB， ∴∠C＝∠2＝∠AEC﹣∠1＝105°﹣35°＝70°. 2.如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为(　　) A.α＋β＋γ＝360° B.α－β＋γ＝180° C.α＋β＋γ＝180° D.α＋β－γ＝180° 【答案】D 【解析】过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴α＋∠1＝180°，∠2＝γ，∵β＝∠1＋∠2＝180°－α＋γ，∴α＋β－γ＝180°.故选D. 3.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为（　　） A.90° B.110° C.80° D.100° 【答案】D 【解析】∵EF⊥MN， ∴∠MFE＝90°， 如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB， ∵AB∥MN， ∴AB∥DG∥EH∥MN， ∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEH，∠HEF＝∠MFE＝90°， ∵∠DEF＝120°，∠BCD＝110°， ∴∠GDE＝∠DEH＝120°﹣90°＝30°，∠CDG＝180°﹣110°＝70°， ∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝100°. 4.如图，AB∥CD，∠E＝60°，则∠B＋∠F＋∠C＝____________°. 【答案】240 【解析】作EM∥AB，FN∥CD，如图， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＋∠C＝180°，∴∠B＋∠F＋∠C＝∠1＋∠3＋∠4＋∠C＝∠1＋∠2＋∠4＋∠C＝60°＋180°＝240°.故答案为240. 5.如图，AB∥CD，BE为∠ABC的平分线，DE为∠ADC的平分线，∠ADC＝72°，∠BCD＝42°，则∠BED的度数为　    　°． 【答案】57 【解析】过点E作EF∥CD， ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝42°， ∵BE为∠ABC的平分线，DE为∠ADC的平分线， ∴∠1＝∠ABC＝21°，∠2＝∠ADC＝36°， ∵EF∥CD， ∴∠FED＝∠2＝36°， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF， ∴∠BEF＝∠1＝21°， ∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝21°+36°＝57°. 6.如图，． (1)如图①，若，点B在射线上，，求的度数； (2)如图②，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：如图①，过点M作，则， ∴,     ∵, ∴,     ∵，, ∴,     ∴． （2）解：猜想：，理由如下： 如图②，过点M作，即, ∴, ∵，,     ∴, ∴， ∵, ∴， ∴． 7.如图所示，AB∥CD. (1)如图1，求证：∠E＝∠B＋∠D； (2)如图2，∠B、∠D、∠E有什么关系，直接写出结论，不用证明． 【答案】(1)证明：如图1，过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，∴∠B＝∠BEF.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D＝∠DEF，∴∠DEB＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D； (2)解：∠B＋∠D＋∠E＝360°. 理由如下：如图2，过点E作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＋∠BEF＝180°，∠FED＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BED＋∠D＝360°. 十九、用平行线性质与判定解决折叠问题 1.如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（　　） A.∠1＝2∠2 B.∠1+∠2＝90° C.∠1﹣∠2＝30° D.2∠1﹣3∠2＝30° 【答案】B 【解析】如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠DCA＝180°， ∵∠BAC＝180°﹣2∠1，∠DCA＝180°﹣2∠2， ∴180°﹣2∠1+180°﹣2∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝90°. 2.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(　　) A.20° B.30° C.35° D.55° 【答案】A 【解析】∵∠1＝35°，CD∥AB，∴∠ABD＝35°，∠DBC＝55°，由折叠可得∠DBC′＝∠DBC＝55°，∴∠2＝∠DBC′－∠DBA＝55°－35°＝20°，故选A. 3.在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（　　） ①平角的定义； ②邻补角的定义； ③角平分线的定义； ④同旁内角互补，两直线平行； ⑤两直线平行，内错角相等． A.②④ B.③⑤ C.①②⑤ D.①③④ 【答案】D 【解析】如图， 第一次折纸，确定直线a的垂线CP， ∴∠ECP=∠FCP=90°， 第二次折纸，确定PC的垂线AB， ∴∠APC=∠BPC=90°， ∴∠APC=∠FCP， ∴PB∥EF， 即PB∥a. 故选：D． 4.如图，将长方形纸片ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF＝40°，则∠FBE的度数为______． 【答案】20° 【解析】由翻折的性质，得∠BEF＝∠BEC，∠EBF＝∠EBC，∵∠DEF＝40°，∴∠BEC＝12(180°－∠DEF)＝12(180°－40°)＝70°，∴∠EBC＝90°－∠BEC＝90°－70°＝20°，即∠FBE＝20°，故答案为20°. 5.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D，C分别在M，N的位置上，若∠EFG＝56°，则∠2＝　     　． 【答案】112° 【解析】∵AD∥BC，∠EFG＝56°， ∴∠DEF＝∠EFG＝56°， 由折叠的性质可得∠MEF＝∠DEF＝56°， ∴∠1＝180°﹣∠DEF﹣∠MEF＝68°， ∵AD∥BC， ∴∠2＝180°﹣∠1＝112°. 6.如图，将一张上、下两边平行(即AB∥CD)的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕． (1)试说明∠1＝∠2； (2)已知∠2＝40°，求∠BEF的度数． 【答案】解：(1)∵AB∥CD， ∴∠MEB＝∠MFD， ∵A′E∥B′F， ∴∠MEA′＝∠MFB′， ∴∠MEA′－∠MEB＝∠MFB′－∠MFD，即∠1＝∠2； (2)由折叠知，∠B′FN＝180°-∠22＝70°，∵A′E∥B′F， ∴∠A′EN＝∠B′FN＝70°， ∵∠1＝∠2，∴∠BEF＝70°＋40°＝110°. 7.如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成： 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B´落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？ （请完成下面的证明，并填上对应的推理根据） 证明：∵ ∴∠  ．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴∠ ．理由是：（　 　 ）． ∴ ， ∴．理由是：（　 　 ）． 【答案】证明：∵ ∴ ．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴ ．理由是：（垂直定义）． ∴， ∴．理由是：（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；90；；垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行． 学科网（北京）股份有限公司 $$