精品解析：河北省石家庄市第四十二中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试卷

石家庄市第四十二中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列图形中，和不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 延长直线到点E，使 B. 墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，依据是“两点之间的所有连线中，线段最短” C. 若，则的余角的度数为 D. 直线上有三点A，B，C，，，则 3. 如图，直线，为直角，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 对顶角相等 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 6. 如图，沿射线方向平移后得到，若，那么（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，将一条两边互相平行的纸带进行折叠，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 命题“如果，，那么”的条件是_____． 10. 如图，，则______ ． 11. 如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是________． 12. 如图，直线，直线分别与，PQ交于点A，B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交AB于点，②分别以C、D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点F，若∠ABP=70°，则______． 13. 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为___________ 14. 下表列出了国外几个城市与北京的时差．2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日，小红在北京观看电视直播的时间为_______．（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h 15. 为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中，都与地面l平行，，，当_______时，． 16. 如图是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面l平行，，，要使与平行，则的度数是________． 三、解答题 17. 如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 18. 如图，AB∥CD，∠FGB=150°，FG平分∠EFD，求∠AEF的度数． 19. 已知两条平行直线被直线所截，交于点E，交于点F． （1）如图1，若平分，平分，连接，试说明：； （2）如图2，若，，求的值； （3）若平分，，连接，请在备用图中画出示意图形，并直接写出，，之间的关系：________________． 20. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点．是等腰直角三角形，，点，点在轴的负半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，． （1）如图①，当经过点时，求点的坐标； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足的所有的值______． 21. 如图所示，于点F，于点M，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴（__________________）， ∴（__________________）， ∴（___________________）， ∵，（已知） ∴（___________________）， ∴（________________________） ∵，（已知） ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（_____________________）． 22. 如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 23. 如图，直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明a∥c． 24. 如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠DOF的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第四十二中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列图形中，和不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可． 【详解】解：根据同位角的概念可知， 图中∠1和∠2不是同位角． 故选：C． 【点睛】本题考查了同位角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 延长直线到点E，使 B. 墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，依据是“两点之间的所有连线中，线段最短” C. 若，则的余角的度数为 D. 直线上有三点A，B，C，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线、线段的概念及余角运算进行求解 【详解】A.延长直线到点E，使，该选项错误，因为：直线没有端点，不能延长； B.墙上固定一根木条，依据是“两点之间的所有连线中，线段最短”， 该选项错误，依据是：两点确定一条直线； C.若，则的余角的度数为，该选项正确，因为，所以的余角的度数为； D.直线上有三点A，B，C，，，则，该说法错误，当，时，或； 故选：C 【点睛】本题考查了直线、线段的概念及求一个角的余角，解决问题的关键是理解概念及正确运算 3. 如图，直线，为直角，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线和熟悉平行线的性质是解题的关键． 过作，可得，根据平行线的性质得出，，求出，即可求出答案． 【详解】解：如图：过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，为直角， ∴，， ∴， 故选：B． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 对顶角相等 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 利用两直线的位置关系、对顶角的性质、平行线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，符合题意； B、对顶角相等，是真命题，不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，是真命题，不符合题意； 故选：A． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、平行线的判定、点到直线的距离等知识点，掌握相关的性质定理是判断命题的真假关键． 根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，沿射线方向平移后得到，若，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答的关键． 根据平移性质求即可求出的长度． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， 故选：A． 7. 如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作，可设，由，可设，设，而平分，可得，可得，由，可得， 可得答案． 【详解】解：如图，过作， ∴设， ∵， ∴， ∴设， ∵平分， ∴， 设，而平分， ∴， ∵， ∴， 由平角的定义可得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线是解本题的关键． 8. 如图，将一条两边互相平行的纸带进行折叠，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、翻折变换的性质等知识点，推导出是解题的关键． 如图：由得求得，由折叠得，则，然后求出的度数即可． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴ 由折叠得， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 9. 命题“如果，，那么”的条件是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了命题的条件和结论，正确的区分命题的条件和结论是解题的关键． 根据组成命题的条件和结论即可得到结果． 【详解】解：命题“如果，，那么”的条件是，， 故答案为：，． 10. 如图，，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质定理，三角形内角和定理和三角形外角的性质可找出，和之间的关系，即可得出答案． 【详解】解：， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识点，解题时要求学生熟练掌握这些性质及定理，找出角与角直角的关系是解题的关键． 11. 如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 当在直线的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 当在直线的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 12. 如图，直线，直线分别与，PQ交于点A，B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交AB于点，②分别以C、D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点F，若∠ABP=70°，则______． 【答案】35° 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义得∠BFA=∠BAF，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵MN//PQ， ∴∠NAF=∠BFA， 由题意得：AF平分∠NAB， ∴∠NAF=∠BAF， ∴∠BFA=∠BAF， ∵∠ABP=∠BFA+∠BAF， ∴∠ABP=2∠BFA=70°， ∴∠AFB=70°÷2=35°， 故答案为：35°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、三角形外角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键． 13. 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为___________ 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 14. 下表列出了国外几个城市与北京的时差．2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日，小红在北京观看电视直播的时间为_______．（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正负数的实际意义，理解时差的含义是解题关键．根据巴黎与北京的时差为，即可求解． 【详解】解：2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日，巴黎与北京的时差为， 则小红在北京观看电视直播的时间为时分时时分，即北京时间， 故答案为：． 15. 为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中，都与地面l平行，，，当_______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据两直线平行，同旁内角互补求得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴， 即， ∴， 当时，， 故答案为：． 16. 如图是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面l平行，，，要使与平行，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行线定理与性质、三角形内角和定理，根据平行线定理可得，由平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可； （2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解． 【小问1详解】 解：因为，平分， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 18. 如图，AB∥CD，∠FGB=150°，FG平分∠EFD，求∠AEF的度数． 【答案】60° 【解析】 【分析】先根据平行线的性质，得到∠GFD的度数，再根据角平分线的定义求出∠EFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠FGB＋∠GFD＝180°， ∴∠GFD=180°－∠FGB=180°－150°＝30°， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFD＝2∠GFD＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD＝60°． 【点睛】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 19. 已知两条平行直线被直线所截，交于点E，交于点F． （1）如图1，若平分，平分，连接，试说明：； （2）如图2，若，，求的值； （3）若平分，，连接，请在备用图中画出示意图形，并直接写出，，之间的关系：________________． 【答案】（1） ，证明如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用平行线的性质以及三角形外角的性质成为解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，根据等量代换可得可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）设，则，易得；如图：延长交于G，延长交于H，易得、，根据三角形外角的性质可得；最后再根据三角形外角的性质即可解答； （3）仿照（2）的思路求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵，， ∴， 如图：延长交于G，延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 【小问3详解】 解：设，则，则， ∵平分， ∴， ∴， 如图：延长交于G，延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点．是等腰直角三角形，，点，点在轴的负半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，． （1）如图①，当经过点时，求点的坐标； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足的所有的值______． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、矩形的性质，结合平移的性质即可求解； （2）分时，当时，当时，当时，当时，五种情况分类讨论求解得与的关系式． ①根据分类讨论即可求解； ②根据，代入与的关系式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，，， 矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，，即：， ∵将沿轴向右平移，得到，当经过点时， ∴，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴沿轴向右平移了1个单位， ∴； 【小问2详解】 当时，此时重叠部分为为矩形， 此时； 当时，此时重叠部分为为五边形， ∵将沿轴向右平移，得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 此时； 当时，此时重叠部分为直角梯形， 同理为等腰直角三角形，， ，则， 此时； 当时，此时重叠部分为， 同理为等腰直角三角形，， 此时； 综上：； ①由上可知，当与矩形重叠部分为五边形时， ； ②当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：或，不符合题意； 综上：时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与平移，一元二次方程与二次函数，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质．属于中考压轴题，确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 21. 如图所示，于点F，于点M，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴（__________________）， ∴（__________________）， ∴（___________________）， ∵，（已知） ∴（___________________）， ∴（________________________） ∵，（已知） ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（_____________________）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，平行公理，先结合垂直的定义得，再运用同位角相等，两直线平行得，故，根据，则，证明，结合，即可作答． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ∵，（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 22. 如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）先根据平行线的性质得到，再根据证得，根据同位角相等，两直线平行证得结论； （2）已知，可求得，进而求得，再利用证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明a∥c． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∴a//b， ∵∠3=∠4， ∴b//c， ∴a//c(平行于同一直线的两条直线互相平行) 【解析】 【分析】由已知得∠1 =∠2，证出a//b，由∠3=∠4，证出b//c，由平行线的性质可得出结论． 【详解】略． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠DOF的度数． 【答案】 【解析】 【分析】要求∠DOF的度数，结合已知条件，只需求得∠DOE的度数．显然根据平行线的性质以及角平分线的定义就可求解 【详解】解：∵CD∥AB∴ ∵∴ ∵OE平分∠AOD∴ ∵OE⊥OF∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $