1.2.4 绝对值 导学案2025-2026学年人教版数学七年级上册

本文围绕绝对值展开，涵盖概念、几何意义、性质及应用等核心知识点。承接数的认识背景，为后续有理数运算奠基。通过实例讲解、易错点分析及练习，培养学生抽象能力、运算能力与应用意识，渗透用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养。 本设计亮点在于以易错点为导向，结合经典例题强化理解。从学生层面看，能提升其对绝对值知识的辨析能力；从教师角度，提供了系统授课资源；从课堂效果而言，有效突破绝对值非负性等教学难点。

1.2.4 绝对值导学案 一、学习目标（简写版） 1. 理解绝对值的概念，能准确求出一个数的绝对值。 1. 掌握绝对值的几何意义，会结合数轴理解绝对值的含义。 1. 熟练运用绝对值的性质解决相关问题，包括比较数的大小等。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 绝对值的概念及表示方法。 1. 绝对值的几何意义。 1. 绝对值的性质及应用。 （二）学习难点 1. 理解绝对值的非负性，即任何数的绝对值都不是负数。 1. 灵活运用绝对值的性质解决含字母的绝对值问题及比较负数的大小。 三、本节内容的思维导图 绝对值 ├──概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| ├──几何意义：数a的绝对值|a|表示数轴上a对应的点到原点的距离 ├──性质 │ ├──正数的绝对值是它本身，即当a>0时，|a|=a │ ├──负数的绝对值是它的相反数，即当a<0时，|a|=-a │ ├──0的绝对值是0，即当a=0时，|a|=0 │ └──任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0 ├──应用 │ ├──求一个数的绝对值 │ ├──比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小 四、知识点自主预习填空 1. 数轴上表示数 a 的点与原点的（ ）叫做数 a 的绝对值，记作（ ）。 1. 正数的绝对值是（ ）；负数的绝对值是（ ）；0 的绝对值是（ ）。 1. 任何数的绝对值都是（ ），即 | a|（ ）0。 1. 若 | a|=a，则 a 是（ ）；若 | a|=-a，则 a 是（ ）。 1. 两个负数比较大小，绝对值大的反而（ ）。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）绝对值的概念 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a|。例如，数轴上表示 3 的点到原点的距离是 3，所以 3 的绝对值是 3，记作 | 3|=3；表示 - 3 的点到原点的距离是 3，所以 - 3 的绝对值是 3，记作 |-3|=3；表示 0 的点到原点的距离是 0，所以 0 的绝对值是 0，记作 | 0|=0。 常考易错点：认为绝对值是 “去掉数的符号”，这种理解不全面，绝对值本质是距离，是一个非负的量，而 “去掉符号” 只是正数和负数绝对值的一种表现形式。 经典例题：求下列各数的绝对值：5、-7、0、-3.8。 解：|5|=5；|-7|=7；|0|=0；|-3.8|=3.8。 （二）绝对值的几何意义 绝对值的几何意义是：数 a 的绝对值 | a | 表示数轴上数 a 所对应的点与原点之间的距离。距离是一个非负的量，所以绝对值一定是非负的。例如，|5 | 表示数轴上 5 对应的点到原点的距离，是 5；|-5 | 表示数轴上 - 5 对应的点到原点的距离，也是 5。 常考易错点：混淆绝对值的几何意义与数的正负，忽略绝对值表示的是距离，与数的正负无关。 经典例题：在数轴上，与原点的距离是 4 的点表示的数的绝对值是多少？ 解：与原点的距离是 4 的点表示的数是 4 或 - 4，它们的绝对值都是 4，即 | 4|=4，|-4|=4。 （三）绝对值的性质 1. 正数的绝对值是它本身：当 a 是正数时，|a|=a。例如，|2|=2，|5.3|=5.3。 常考易错点：在应用该性质时，忽略 a 是正数这一前提，错误地认为对于任意 a，|a|=a。 经典例题：若 | x|=x，求 x 的取值范围。 解：因为正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0，所以当 | x|=x 时，x 是非负数，即 x≥0。 1. 负数的绝对值是它的相反数：当 a 是负数时，|a|=-a。例如，|-3|=-(-3)=3，|-2.5|=-(-2.5)=2.5。 常考易错点：对 “-a” 的理解有误，认为此时的 “-a” 是负数，实际上当 a 是负数时，-a 是正数。 经典例题：若 | m|=-m，求 m 的取值范围。 解：因为负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0（也可以看作 0 的相反数是 0），所以当 | m|=-m 时，m 是非正数，即 m≤0。 1. 0 的绝对值是 0：|0|=0，这是绝对值的特殊情况，是正数和负数绝对值性质的边界情况。 常考易错点：在综合应用绝对值性质时，容易遗漏 0 的情况。 经典例题：若 | a|=0，求 a 的值。 解：因为只有 0 的绝对值是 0，所以 a=0。 1. 非负性：任何数的绝对值都是非负数，即 | a|≥0。这意味着绝对值最小的数是 0。 常考易错点：在解决含绝对值的等式或不等式问题时，忽略绝对值的非负性导致错误。 经典例题：若 | x| + |y|=0，求 x 和 y 的值。 解：因为 | x|≥0，|y|≥0，且它们的和为 0，所以只有 | x|=0 且 | y|=0 时等式成立，即 x=0，y=0。 （四）绝对值的应用 —— 比较两个负数的大小 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如，比较 - 3 和 - 5 的大小，因为 |-3|=3，|-5|=5，3<5，所以 - 3>-5。 常考易错点：比较两个负数大小时，错误地认为绝对值大的数大，忽略负数大小比较的特殊性。 经典例题：比较 - 2.5 和 - 1.8 的大小。 解：因为 |-2.5|=2.5，|-1.8|=1.8，2.5>1.8，所以 - 2.5<-1.8。 六、效果检测 1. 一个数的绝对值一定是正数。（ ） 1. |-5|=5，|5|=5，所以 - 5 和 5 的绝对值相等。（ ） 1. 若 | a|=|b|，则 a=b。（ ） 1. 绝对值等于它本身的数是正数。（ ） 1. 因为 |-3|>| -2|，所以 - 3>-2。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 绝对值的概念：数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作 | a|。 1. 绝对值的几何意义：表示数 a 的点到原点的距离，距离是非负的。 1. 绝对值的性质：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0 的绝对值是 0；任何数的绝对值都是非负数。 1. 应用：可求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小（绝对值大的反而小）。 8、 课后作业 1．如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 2．年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（  ） A． B． C． D． 3．若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 4．中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 5．的绝对值是（   ） A．8 B． C． D．不确定 6．的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 7．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B．0.5 C． D．2 8．将下列各数标注在数轴上，离原点最远的一项是（ ） A． B． C． D． 9．实数的绝对值是（   ） A． B．7 C． D． 二、填空题 10．的绝对值是 ，的相反数是 ． 11．已知，则 ． 12． ， 13．化简 ． 三、解答题 14．化简下列各数． (1)； (2)； (3)； (4)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 距离；|a| 1. 它本身；它的相反数；0 1. 非负数；≥ 1. 非负数；非正数 1. 小 （二）效果检测的答案和解析 1. （×）解析：0 的绝对值是 0，不是正数，所以一个数的绝对值是正数或 0，该说法错误。 1. （√）解析：|-5|=5，|5|=5，二者绝对值相等，该说法正确。 1. （×）解析：若 | a|=|b|，则 a=b 或 a=-b，例如 | 2|=|-2|，但 2≠-2，该说法错误。 1. （×）解析：绝对值等于它本身的数是正数和 0（非负数），不只是正数，该说法错误。 1. （×）解析：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因为 |-3|>| -2|，所以 - 3<-2，该说法错误。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B C D A A B A B 1．B 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式，分析m与n的关系． 【详解】解：∵， ∴，且， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据正数的绝对值等于本身即可求解． 【详解】解：的绝对值是 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 根据绝对值的代数意义判断即可． 【详解】∵ ∴，即a是非负数． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，比较各数绝对值的大小即可判断求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：． 5．A 【分析】本题考查绝对值的概念，绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质，对于负数，其绝对值等于它的相反数，根据绝对值的定义直接计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数． 【详解】解：， 因此，的绝对值为5， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了绝对值，数轴等知识，数轴上某点到原点的距离等于该数的绝对值，绝对值最大的数离原点最远，据此求解即可． 【详解】解：∵；；；，， ∴绝对值最大的数是， 故选∶A． 9．B 【分析】本题主要考查绝对值的计算，根据绝对值的定义，一个数的绝对值是它在数轴上到原点的距离，非负． 【详解】解：绝对值表示数轴上点到原点的距离，无论该数是正还是负，绝对值均为非负数， ∴对于实数， 故选：B． 10． 【分析】本题考查绝对值，相反数，解题的关键是熟练掌握绝对值和相反数的定义． 根据绝对值和相反数的概念即可求解． 【详解】解：的绝对值是， 故答案为：． 的相反数是， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 12． 2 【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【详解】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 13．3 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，熟知绝对值的性质是解题的关键． 根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：3． 14．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了相反数及绝对值，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上号，求解即可． （1）直接利用相反数的定义，进行化简进而分别化简答案； （2）直接利用相反数的定义，进行化简进而分别化简答案； （3）直接利用相反数的定义，进行化简进而分别化简答案； （4）直接绝对值的性质，进行化简进而分别化简答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： $$