1.2.2 数轴 导学案-2025-2026学年人教版数学七年级上册

本文围绕“数轴”展开，聚焦数轴概念、三要素及应用。承接有理数知识背景，为后续学习数的运算奠基。通过讲解、例题、检测等环节，培养学生抽象能力、运算能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 本设计亮点在于以思维导图梳理知识，采用讲练结合教法。从学生层面看，能提升其对有理数与数轴关系的理解；从教师层面看，提供了清晰授课思路；从课堂效果看，有效突破数轴三要素等教学难点。

1.2.2 数轴导学案 一、学习目标（简写版） 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三要素。 1. 能正确画出数轴，并在数轴上表示有理数。 1. 会利用数轴比较有理数的大小。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 数轴的概念及三要素（原点、正方向、单位长度）。 1. 在数轴上表示有理数的方法。 1. 利用数轴比较有理数的大小。 （二）学习难点 1. 理解数轴的三要素在数轴中的作用及相互关系。 1. 准确把握有理数与数轴上点的对应关系，尤其是负数在数轴上的表示。 1. 利用数轴比较含有负数的有理数的大小。 三、本节内容的思维导图 数轴 ├──概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 ├──三要素 │ ├──原点：表示数0的点 │ ├──正方向：通常规定向右为正方向 │ └──单位长度：选取适当的长度作为单位长度 ├──作用 │ ├──表示有理数：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 │ └──比较有理数大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 四、知识点自主预习填空 1. 数轴是规定了（ ）、（ ）和（ ）的直线。 1. 数轴的三要素是（ ）、（ ）、（ ），缺一不可。 1. 在数轴上，原点表示的数是（ ）。 1. 正数在原点的（ ）侧，负数在原点的（ ）侧。 1. 在数轴上，右边的数总比左边的数（ ）。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）数轴的概念 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。这意味着数轴首先是一条直线，其次必须具备原点、正方向和单位长度这三个要素，三者缺一不可。 常考易错点：忽略数轴是 “直线” 这一属性，将其误认为是线段或射线；对三要素的理解不完整，在画数轴时遗漏某一要素。 经典例题：判断下列图形是不是数轴，并说明理由。 （1）没有原点的直线；（2）有原点和正方向，但没有单位长度的直线；（3）规定了原点、正方向和单位长度的直线。 解：（1）不是数轴，因为没有原点，缺少数轴的三要素之一；（2）不是数轴，因为没有单位长度，缺少数轴的三要素之一；（3）是数轴，因为它规定了原点、正方向和单位长度，符合数轴的概念。 （二）数轴的三要素 1. 原点：在数轴上，规定的表示数 0 的点叫做原点。原点是数轴的基准点，是区分正数和负数的分界点。 常考易错点：在画数轴时，原点的位置确定不合理，或未明确标注原点表示 0。 经典例题：在画数轴时，原点的作用是什么？ 解：原点是数轴上表示数 0 的点，它是确定数轴上其他点所表示的数的基准，正数在原点右侧，负数在原点左侧。 1. 正方向：数轴上通常规定向右的方向为正方向，并用箭头表示。正方向是确定数的增减趋势的依据。 常考易错点：正方向的标注不规范，或在利用数轴比较大小时忽略正方向的指向。 经典例题：如果数轴的正方向规定为向左，那么在该数轴上，3 在 2 的哪一侧？ 解：因为正方向为向左，所以数值越大的数越靠左，3 比 2 大，所以 3 在 2 的左侧。 1. 单位长度：数轴上选取适当的长度作为单位长度，它是衡量数轴上点与点之间距离的标准。同一数轴上的单位长度必须统一。 常考易错点：同一数轴上使用不同的单位长度，导致数的表示错误；单位长度选择不合适，使得数轴上的点分布不合理。 经典例题：在一条数轴上，若单位长度为 1cm，那么表示 3 的点与表示 - 2 的点之间的距离是多少厘米？ 解：表示 3 的点与原点的距离是 3 个单位长度，即 3cm；表示 - 2 的点与原点的距离是 2 个单位长度，即 2cm；所以两点之间的距离是 3 + 2 = 5cm。 （三）在数轴上表示有理数 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。具体方法是：先确定该有理数的正负，正数在原点右侧，负数在原点左侧，再根据该数的绝对值确定它与原点的距离（即几个单位长度），最后标出相应的点并写上该数。 常考易错点：表示负数时，错误地将其标在原点右侧；确定与原点的距离时，忽略数的绝对值，导致点的位置错误。 经典例题：在数轴上表示出下列有理数：2、-1.5、0、3/2、-3。 解：首先画出数轴，确定原点、正方向（向右）和单位长度（1 个单位长度表示 1）。 1. 2 是正数，在原点右侧 2 个单位长度处标出点，表示 2； 1. -1.5 是负数，在原点左侧 1.5 个单位长度处标出点，表示 - 1.5； 1. 0 在原点处标出点，表示 0； 1. 3/2 = 1.5，是正数，在原点右侧 1.5 个单位长度处标出点，表示 3/2； 1. -3 是负数，在原点左侧 3 个单位长度处标出点，表示 - 3。 （四）利用数轴比较有理数的大小 在数轴上，右边的数总比左边的数大。根据这一性质，我们可以通过观察有理数在数轴上的位置来比较它们的大小。正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。 常考易错点：比较两个负数大小时，错误地认为绝对值大的负数大，实际上在数轴上，绝对值大的负数更靠左，所以更小。 经典例题：利用数轴比较下列各数的大小：-4、1.5、-2、3、0。 解：在数轴上表示出这些数（略），从左到右的顺序为：-4、-2、0、1.5、3，所以它们的大小关系为：-4 < -2 < 0 < 1.5 < 3。 六、效果检测 1. 数轴上的原点表示 0，原点左侧的数都是负数，右侧的数都是正数。（ ） 1. 数轴的三要素是原点、正方向和长度。（ ） 1. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。（ ） 1. 在数轴上，离原点越远的数越大。（ ） 1. 因为在数轴上，右边的数总比左边的数大，所以 - 1 > -2。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 1. 数轴与有理数的关系：任何有理数都能在数轴上找到对应的点表示，但数轴上的点不一定都表示有理数。 1. 数轴的应用：可用于表示有理数，还能利用 “右边的数总比左边的数大” 这一性质比较有理数的大小，其中正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。 8、 课后作业 1．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 2．如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 3．如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 4．点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位到点，则用含有的代数式表示对应的数是（　　） A． B． C．2 D． 5．公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 6．如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 7．数轴上，在原点的左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 8．如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（  ） A． B． C． D．0 二、填空题 9．如图，数轴上点A所表示的数是 ． 10．已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 11．如图，已知数轴上点表示的数是2024，且，则点表示的数是 ． 12．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 三、解答题 13．用直线上的点表示下面各数，并将这些数按照从小到大的顺序排列． ；1.5；； ______<______<______<______ 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 原点；正方向；单位长度 1. 原点；正方向；单位长度 1. 0 1. 右；左 1. 大 （二）效果检测的答案和解析 1. （√）解析：数轴上原点是区分正负的分界点，左侧为负，右侧为正，该说法正确。 1. （×）解析：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，不是 “长度”，该说法错误。 1. （√）解析：有理数与数轴上的点存在对应关系，任何有理数都可在数轴上表示，该说法正确。 1. （×）解析：在原点右侧，离原点越远的数越大；但在原点左侧，离原点越远的数越小，该说法错误。 1. （√）解析：在数轴上，-1 在 - 2 的右侧，根据右边的数总比左边的数大，可得 - 1 > -2，该说法正确。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A B B D A B 1．B 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．直接观察数轴，即可求解． 【详解】解：数轴上点A表示的数是． 故选：B 3．A 【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键． 观察数轴得到表示的点即可． 【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查数轴上点的平移，掌握知识点是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律，向右平移时点的坐标增加，向左平移则减少． 【详解】解：点M对应的数为，向右平移t个单位，即坐标增加t． 因此，点N对应的数为． 故选B． 5．B 【分析】本题主要考查了数轴和数学常识，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解题的关键． 根据题意可得M所表示的数在与之间，然后再进行判定即可解答． 【详解】解：设M表示的数为x， 由数轴可知：， 所以点M所表示的数可能是． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了数轴上的点和数之间的对应关系．数轴上原点左边的数为负数，原点右边的数为正数；到原点的距离表示这个数的绝对值． 【详解】解：在数轴上，离原点3个单位长度的点表示的数是，在原点左侧的为负数，所以是； 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点估算代数式，解题的关键是数形结合．由数轴可知，，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，在和之间，且更靠近， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了数轴，根据数轴的定义即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知，数轴上点A表示的数是． 故答案为：． 10．5或1 【分析】本题考查了数轴，掌握平移的关键在于点对应的数的大小变化和平移的规律． 数轴上的点平移时和数的大小变化规律：左减右加． 【详解】解：∵A点为，点B由点A向右移动6个单位长度， ∴B 是， ∵点C距离点B两个单位， ∴①当点C在点B的右边时：； ②当点C在点B的左边时：； ∴点C在数轴上对应的数为5或1， 故答案为：5或1. 11． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是2024， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确把握数轴上两点之间距离求法是解题关键． 直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴A，B两点间的距离是：， 故答案为：4． 13．见解析； 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握把各数表示在数轴上．先把各数表示在数轴上，然后按照从左到右的顺序排列起来，并用小于号连接起来即可． 【详解】解：各数在数轴上表示出来为： ，， 学科网（北京）股份有限公司 $$