06讲 充分条件与必要条件 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

06讲　充分条件与必要条件 【人教版2019】 知识点（一）　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件；性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 注意： (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“⇒”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． (4)p是q的充分条件反映了p⇒q，而q是p的必要条件同样反映了p⇒q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系，只是说法不同． (5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 【典题练习】 1.（多选）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【分析】根据充分条件的概念逐项判断即可. 【详解】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确. 故选：ABD 2.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 3.“或”是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合交集、并集的意义判断得解. 【详解】由或，得，而， 所以“或”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 知识点（二）　充要条件 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 注意： 1．条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，但p q p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p，即p⇔q p与q互为充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 2．从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表： 关系 AB BA A＝B AB且BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 【典题练习】 1.“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的定义判断即可得. 【详解】若是有理数，则是有理数， 若是有理数，如，此时不为有理数， 故“是有理数”是“是有理数”的必要不充分条件. 故选：B. 2.已知，是实数，则“且”是“且”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据充分必要条件的定义可得答案. 【详解】当且时，且； 当且时，且. 故“且”是“且”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据充分必要条件的定义求解是解题关键. 3.（多选）下列命题正确的是（   ） A．“”是“集合或为空集”的充要条件 B．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 C．“且”是“”的必要不充分条件 D．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据不一定推出集合或为空集，可以通过举反例来说明即可判断A；根据同位角相等的判定定理及两直线平行的性质即可判断B；根据不一定推出且成立即可判断C；根据一元二次方程有一个实数根，即即可判断D． 【详解】对于A， 充分性：当时，取均不为空集，充分性不成立； 必要性：当或为空集时，一定有，必要性成立， 故“”是“集合或为空集”的必要不充分条件，故A错误； 对于B， 由两直线平行的判定及性质定理得，“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件，故B正确； 对于C， 充分性：当且时，必有，充分性成立； 必要性：当时，有，即且或且，故不一定有且，必要性不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D， 充分性：当时，方程的，有一个实数根，充分性成立； 必要性：当方程有一个实数根时，，即，必要性成立， 所以“”是“方程有一个实数根”的充要条件，故D正确； 故选：BD． 知识点3　充分、必要条件的探求 【典题练习】 1.使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式，得，根据充分不必要条件的定义可判断出答案. 【详解】由不等式，得， 是成立的既不充分也不必要条件，故A不正确； 是成立的充要条件，故B不正确； 是成立的一个充分不必要条件，故C正确； 是成立的一个既不充分也不必要条件，故D不正确. 故选：C 2.设，则“”的充要条件是（   ） A．m，n中至少有一个为1 B．m，n都不为0 C．m，n都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即m，n中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“m，n中至少有一个为1”. 故选：A. 3.（多选）下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】ACD 【分析】转化为集合之间的包含关系，再对比选项即可. 【详解】设该条件所表示的集合为，因为其是“”的一个必要不充分条件， 则. 对比选项知ACD，符合题意，B不合题意. 故选：ACD. 知识点4　利用充分、必要条件求参数 【典题练习】 1.已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 2.已知集合，集合．若命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】； 【分析】由充分条件定义可得，根据集合的包含关系列不等式可求结论； 【详解】命题，命题，若是的充分条件，则有． 所以解得：． 所以实数的取值范围． 3.已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知当时，， 又， 则； （2）若选①，则由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且，解得； 综上所述，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件， 则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且且不同时取等号，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 【巩固练习】 一、单选题 1.设集合，，则“”是“”的 A．充分条件 B．必要条件 C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件 【答案】A 【分析】考虑与之间的推出关系. 【详解】当，集合，，所以正确，即“”是“”的充分条件，所以正确选项为A. 2.诗句“粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华．”其中“腹有诗书”是“气自华”（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 解析：选A　诗句大概意思是虽然衣服简陋，但学识渊博，气质自然会高雅，所以“腹有诗书”是“气自华”的充分条件，反之未必成立，故选A. 3.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，得到的解集，根据充分条件、必要条件定义得到结论. 【详解】因等价于或， 显然根据“或”推不出“”； 而由可以推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4.设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件. 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 二、多选题 5.下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 6.下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC 7．已知p，q都是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件 C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件 【答案】AB 【分析】由已知可得；，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：由已知得：；． 是的充分条件；是的充分不必要条件；是的充要条件；是的充要条件；是的充要条件． 正确的是、． 故选：． 三、填空题 8.命题“”是命题“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】因为或， 所以命题“”是命题“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 9.对于集合、及元素，若，则是的 条件. 【答案】充要 【分析】本题首先可根据并集的性质得出是的充分条件，然后根据得出，从而判断出是的必要条件，即可得出结果. 【详解】根据并集的性质易知，若，则， 故是的充分条件， 因为，所以， 故由可以证得，是的必要条件， 综上所述，是的充要条件， 故答案为：充要. 【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查集合之间的包含关系的应用以及并集的性质，体现了基础性与综合性，考查推理能力，是简单题. 10.已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝_________. 解析：由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，因为p是q的充要条件，所以a－1＝－2，即a＝－1. 答案：－1 11.“”是“方程（）有一个正根和一个负根”的_____________条件 【答案】必要不充分，证明见解析 【分析】根据一元二次方程的根的分布以及充分、必要条件等知识确定正确答案. 【详解】“”是“方程（）有一个正根和一个负根”的必要不充分条件. 证明如下： 方程（）有一个正根和一个负根， 等价于，即. 又是的必要不充分条件， 所以“”是“方程（）有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 四、解答题 12.已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； 【答案】(1)，， (2)证明见详解 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1），， ，， 假设，，， 则，即， 且，，， 或，显然均无整数解， . 综上，，，. （2），， ，即所有奇数都属于集合，则，必有， 又，而，即，推不出， 所以的充分非必要条件是. 13.已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 14.已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据集合间的运算可得； （2）根据题意⫋，根据和分类可得. 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或. （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以⫋. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使⫋，只需解得. 综上可得， 即实数的取值范围是 15.已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再根据真子集的定义即可得解； （2）选①，由“”是“”的充分条件，可得，再分两种情况讨论即可. 选②，由，可得，再分两种情况讨论即可. 【详解】（1）， 所以集合的真子集有； （2）选①，因为“”是“”的充分条件， 所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 选②，因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 16.已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知； （2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求. 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06讲　充分条件与必要条件 【人教版2019】 知识点（一）　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件；性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 注意： (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“⇒”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． (4)p是q的充分条件反映了p⇒q，而q是p的必要条件同样反映了p⇒q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系，只是说法不同． (5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 【典题练习】 1.（多选）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 2.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 3.“或”是“”的 条件． 知识点（二）　充要条件 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 注意： 1．条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，但p q p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p，即p⇔q p与q互为充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 2．从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表： 关系 AB BA A＝B AB且BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 【典题练习】 1.“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知，是实数，则“且”是“且”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（多选）下列命题正确的是（   ） A．“”是“集合或为空集”的充要条件 B．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 C．“且”是“”的必要不充分条件 D．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 知识点3　充分、必要条件的探求 【典题练习】 1.使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2.设，则“”的充要条件是（   ） A．m，n中至少有一个为1 B．m，n都不为0 C．m，n都为1 D．不都为1 3.（多选）下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 知识点4　利用充分、必要条件求参数 【典题练习】 1.已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 2.已知集合，集合．若命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 3.已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【巩固练习】 一、单选题 1.设集合，，则“”是“”的 A．充分条件 B．必要条件 C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件 2.诗句“粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华．”其中“腹有诗书”是“气自华”（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 3.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 二、多选题 5.下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 6.下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 7．已知p，q都是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．q是s的充要条件 B．p是s的充分不必要条件 C．q是s的充分不必要条件 D．p是s的充要条件 三、填空题 8.命题“”是命题“”的 条件． 9.对于集合、及元素，若，则是的 条件. 10.已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝_________. 11.“”是“方程（）有一个正根和一个负根”的_____________条件 四、解答题 12.已知集合． (1)判断8，9，10是否属于集合A： (2)已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； 13.已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 14.已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 15.已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16.已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$