04讲 集合间的基本运算讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

04讲　集合的基本运算 【人教版2019】 知识点1　并　集 1．并集的概念 2．并集的性质 (1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝A；(3)A∪∅＝∅∪A＝A；(4)如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立． 注意： (1)A∪B仍是一个集合； (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B； (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 【典题练习】 1.已知集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3.（多选）已知集合，，则B不可能为（   ） A． B． C． D． 4.已知集合，，则集合中元素的个数为 . 5.已知集合，，若，则m的取值范围是__________. 知识点2　交　集 1．交集的概念 2．交集的性质 (1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A；(3)A∩∅＝∅∩A＝∅；(4)如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立． 注意： (1)A∩B仍是一个集合； (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B； (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 【典题练习】 1.已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 2.已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 3.若集合，则（    ） A． B． C． D． 4.已知集合，，则的元素个数为_____________. 5.已知集合，，满足，，则集合的子集个数为__________. 6.（多选）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 知识点3　全集与补集 1．全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 全集通常记作U 2.补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 3．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U；(2)A∩(∁UA)＝∅；(3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A；(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 注意： (1)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 【典题练习】 1.已知集合，，则A（   ） A． B． C． D． 2.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　 ) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 3.（多选）设全集，，其中，则B可以是（    ） A． B． C． D． 4.设U=R，A=,A=,则 ， . 【巩固练习】 一、单选题 1.集合M＝{1，3，5，7，9, 11}，集合N＝{3，7，11}，则（    ） A．N∈M B．M∪N＝M C．M∩N＝M D．M>N 2.设集合，，则（  ） A． B． C． D． 3.已知集合是菱形或矩形，是矩形，（     ） A．是邻边垂直的菱形 B．是邻边不垂直的菱形 C．是邻边都相等的矩形 D．是邻边都不相等的矩形 4.已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 6.已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*}，B＝{(x，y)|y＞x＋1}，则A∩B中元素的个数为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 8.已知均为实数集的子集，，则（　　） A． B． C． D． 9．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 10．已知集合，集合， 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B．的子集个数为8 C． D． 12．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．集合，或， ． 14.设全集U是实数集，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为 15．已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 四、解答题 16.已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 17.已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04讲　集合的基本运算 【人教版2019】 知识点1　并　集 1．并集的概念 2．并集的性质 (1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝A；(3)A∪∅＝∅∪A＝A；(4)如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立． 注意： (1)A∪B仍是一个集合； (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B； (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 【典题练习】 1.已知集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据venn图，求出即可. 【详解】由venn图，可知阴影部分所表示的集合是. 因为，， 故故选：D 【点睛】本题考查了集合的基本运算以及venn图，属于基础题. 2.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的并集定义，借助于数轴表示易得. 【详解】因，， 故. 故选：B. 3.（多选）已知集合，，则B不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，进而可得. 【详解】由题意，观察选项只有选项符合， 故选：ABD 4.已知集合，，则集合中元素的个数为 . 【答案】6 【分析】 计算出，再根据并集概念即可. 【详解】 ∵，， ∴， ∴ ∴集合中元素的个数为6. 故答案为6. 5.已知集合，，若，则m的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解． 【详解】由得，所以或， 解得或，所以. 知识点2　交　集 1．交集的概念 2．交集的性质 (1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A；(3)A∩∅＝∅∩A＝∅；(4)如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立． 注意： (1)A∩B仍是一个集合； (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B； (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 【典题练习】 1.已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过识别Venn图得知阴影部分表示的是集合，然后根据交集的内涵进行判断即可. 【详解】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是， 因为， 所以． 故选：A. 2.已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求集合，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 故选：A. 3.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 4.已知集合，，则的元素个数为_____________. 【答案】2 【分析】方程组的解的个数即为的元素个数. 【详解】解：由得：或，所以的元素个数为2. 【点睛】本题考查集合交集运算，属于基础题. 5.已知集合，，满足，，则集合的子集个数为__________. 【答案】2 【分析】根据交集的性质即可求解，根据子集的个数公式求解. 【详解】易知，于是集合的子集个数为. 故选：2 6.（多选）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由，得到或，求出实数a的取值范围，即可判断． 【详解】因集合，， 满足，则得或， 解得或． 结合选项，实数a的取值范围可以是或． 故选：CD． 知识点3　全集与补集 1．全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 全集通常记作U 2.补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 3．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U；(2)A∩(∁UA)＝∅；(3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A；(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 注意： (1)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 【典题练习】 1.已知集合，，则A（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集定义即可得解. 【详解】因为集合，， 所以A=. 故选：D 2.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　 ) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 解析：选A　由题意知M＝{2,4,5}，故选A. 3.（多选）设全集，，其中，则B可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用补集的运算即可得解. 【详解】由于，所以， 所以B可以是、、，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 4.设U=R，A=,A=,则 ， . 【答案】 3 4 【分析】根据补集的概念，求出A=，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】∵U=R，A=，∴A=． 又A=，∴，. 故答案为：3；4. 【点睛】本题主要考查由集合的补集求参数，熟记补集概念即可，属于基础题型. 【巩固练习】 一、单选题 1.集合M＝{1，3，5，7，9, 11}，集合N＝{3，7，11}，则（    ） A．N∈M B．M∪N＝M C．M∩N＝M D．M>N 【答案】B 【分析】根据集合间的关系，及并交运算可得结论． 【详解】∵NM，∴M∪N＝M，，， 故选：B 2.设集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】. 故选：B. 3.已知集合是菱形或矩形，是矩形，（     ） A．是邻边垂直的菱形 B．是邻边不垂直的菱形 C．是邻边都相等的矩形 D．是邻边都不相等的矩形 【答案】B 【分析】根据补集的概念得到答案. 【详解】根据已知集合的描述，知 是邻边不垂直的菱形. 故选：B 4.已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据补集的定义，由求解. 【详解】解：因为集合，且， 所以，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与互异性矛盾， 所以2， 故选：B 5.已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由求出，进而得集合，根据集合的并集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以.         故选：D. 6.已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*}，B＝{(x，y)|y＞x＋1}，则A∩B中元素的个数为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B　依题意A＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)}，其中满足y＞x＋1的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，所以A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)}，有3个元素．故选B. 8.已知均为实数集的子集，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由包含关系可确定，由并集定义可得结果. 【详解】，，. 故选：B. 9．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　因为A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，则∁U(A∪B)＝{3,5}，共有2个元素． 二、多选题 10．已知集合，集合， 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由集合A,B，求出各选项的结果，即可作出判断. 【详解】因为集合，集合，,选项A正确;，选项B错误. ,，选项C正确. 且，选项D错误. 故选：AC 11．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B．的子集个数为8 C． D． 【答案】BC 【分析】利用集合的并补运算判断C、D，并判断集合的包含关系及子集个数判断A、B. 【详解】由题设且子集有个，B对， 又，则，A、D错； 由，则，C对； 故选：BC 12．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知条件及集合的含义，求出B集合，再利用元素与集合的关系及交集与并集的定义即可求解. 【详解】由题意得，. ，选项A错误. ，选项B错误. 由集合与元素的关系得，，，选项C，D正确. 故选：CD. 三、填空题 13．集合，或， ． 【答案】或 【分析】根据并集的运算直接求解即可. 【详解】由题意： 或. 故答案为：或 14.设全集U是实数集，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为 【答案】 【分析】图中阴影部分所表示的集合为，结合补集与交集的定义求解即可． 【详解】图中阴影部分所表示的集合为． ∵，∴． 故答案为：． 15．已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合题意确定集合非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数范围即可. 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 四、解答题 16.已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 17.已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，利用交集的定义直接求解. （2）利用补集的定义，结合交集的结果求出的范围. 【详解】（1）当时，，而， 所以. （2）由（1）知，显然，由， 得，解得， 所以a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$