02讲 集合的表示方法 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

02讲　集合的表示方法 【人教版2019】 知识点1　列举法 列举法的定义及一般形式 定义 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法 一般形式 {a1，a2，a3，…，an} 注意： (1)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由元素a构成，a是集合{a}的一个元素． (2)列举法表示集合的注意点： ①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④元素不能遗漏． 【典题练习】 1．有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）1与表示同一个集合 （2）由1，3，5组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【分析】利用集合的性质及相关概念判断各个命题即可得解. 【详解】对于（1），1是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 2.方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 3.用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 【详解】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以． （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 知识点2 描述法 描述法的定义及一般形式 定义 设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法 一般形式 {x∈A|P(x)}，其中x是表示集合元素的一般符号，P(x)是这个集合中元素的共同特征，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}的形式 注意： 1．描述法表示集合的注意点 (1)描述法表示集合要关注竖线“|”左边元素的形式，是数，是点或有序实数组大不相同． (2)所有描述内容都要写在花括号内，如写法{x|x＝2k－1}，k∈Z，不符合要求，应写为{x|x＝2k－1，k∈Z}． 2．两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素：例如{x|P(x)}表示数集，{(x，y)|y＝P(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 【典题练习】 1.集合用描述法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素特征即可求解. 【详解】中的元素满足，所以， 故选：D 2.（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 3.用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【详解】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 知识点3　集合与方程的综合问题 1.已知集合，若中元素至多只有一个，求的取值范围. 【答案】或. 【分析】①当时满足题意；②当0时，方程为二次的，只需要. 【详解】①当时，，满足题意. ②当0时，方程至多只有一个解，则，即， 综上所述，的取值范围是或. 2.已知集合.当时，中只有一个元素，则b的值为________； 【答案】 【分析】借助根与系数的关系计算即可得； 【详解】当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； 【巩固练习】 一、单选题 1.设M为我国古代四大发明火药、指南针、印刷术、造纸术组成的集合，那么集合M等于（   ） A．{火药，造纸术} B． {指南针，印刷术} C． {火药，指南针，印刷术} D． {火药、指南针、印刷术、造纸术} 【答案】D 【分析】根据集合的概念及表示即得. 【详解】∵M为我国古代四大发明火药、指南针、印刷术、造纸术组成的集合， ∴M ={火药、指南针、印刷术、造纸术}. 故选：D. 2.如果，那么 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系判断各选项即可得结果. 【详解】因为集合与集合之间的关系不能用 符号“”，所以选项错误； 因为元素与集合之间的关系不能用 符号“”，所以选项错误； 因为，所以,由子集的定义可得正确，故选C. 【点睛】本题主要考查集合与元素、集合与集合的关系，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题. 3.下列集合中不同于另外三个集合的是（    ） A．{x|x＝-1} B．{x|x+1＝0} C．{x＝1} D．{-1} 【答案】C 【解析】由集合的表示方法可选出答案. 【详解】通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x＝-1； ∴C中的集合不同于另外3个集合． 故选：C 4.把集合用列举法表示为(　　) A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2} C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2} 【答案】D 【详解】集合.故选D. 5．在数轴上与原点的距离不小于3的点表示的数的集合是(　 ) A．{x|x≤－3或x≥3} B．{x|－3≤x≤3} C．{x|x≤－3} D．{x|x≥3} 解析：选A　由题意满足|x|≥3的集合为{x|x≤－3或x≥3}． 6.已知集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由条件用列举法表示可得结论. 【详解】因为， 所以， 故集合中元素的个数为3， 故选：D. 7.已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知集合表示奇数集，集合表示偶数集，是奇数，是偶数，然后依次对，，，进行判断即可得出结果. 【详解】根据集合可知， 集合表示奇数集，集合表示偶数集，又，所以是奇数，是偶数； 对于A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以，即A正确； 对于B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以，即B正确； 对于C，因为两个奇数的和为偶数，所以，即C正确； 对于D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，所以D错误； 故选：D 二、多选题 8.（多选）下列选项中的两个集合相等的是（    ） A．是6和10的公倍数}， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】利用两个集合相等的意义，逐项判断作答. 【详解】对于A，由于6和10的最小正公倍数为30，因此，即，A是； 对于B，由于，则，B不是； 对于C，依题意，，，即，C是； 对于D，集合是函数值的集合，为实数集，集合是函数图象上点的集合，，D不是. 故选：AC 9.（多选）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由两个集合中元素的特征，判断两个集合的关系和元素与集合的关系. 【详解】点在函数图像上，有，A选项正确； 集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误； 函数的值域为，则，，C选项正确； 集合B为点集，，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题 10.已知集合，．若，则______________. 【答案】0 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 11.已知且，则由的值构成的集合是 . 【答案】 【分析】由集合的互异性列出不等式解得答案即可. 【详解】，；或，解得. 故答案为：． 12.已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为 ； 【答案】 2（答案不唯一，另两个值为、） 【分析】由方程根的情况求出值即可； 【详解】由，得或， 由集合A只有两个元素，得： 方程有两个相等的实根，且该实根不为3， 因此，解得，此时方程的根为1或，符合题意， 所以，取； 13.集合 ，用列举法表示集合为_________________________. 【答案】 【分析】理解“且”连接的是需要同时满足，求出条件下的取值，再选出满足即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴． 14.已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为 ． 【答案】31 【分析】先根据题意得到，从而根据元素个数得到非空子集个数. 【详解】集合，，定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有非空子集的个数为 故答案为：31 四、解答题 15.对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 16.已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02讲　集合的表示方法 【人教版2019】 知识点1　列举法 列举法的定义及一般形式 定义 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法 一般形式 {a1，a2，a3，…，an} 注意： (1)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由元素a构成，a是集合{a}的一个元素． (2)列举法表示集合的注意点： ①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④元素不能遗漏． 【典题练习】 1．有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）1与表示同一个集合 （2）由1，3，5组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 2.方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 3.用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 知识点2 描述法 描述法的定义及一般形式 定义 设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法 一般形式 {x∈A|P(x)}，其中x是表示集合元素的一般符号，P(x)是这个集合中元素的共同特征，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}的形式 注意： 1．描述法表示集合的注意点 (1)描述法表示集合要关注竖线“|”左边元素的形式，是数，是点或有序实数组大不相同． (2)所有描述内容都要写在花括号内，如写法{x|x＝2k－1}，k∈Z，不符合要求，应写为{x|x＝2k－1，k∈Z}． 2．两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素：例如{x|P(x)}表示数集，{(x，y)|y＝P(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 【典题练习】 1.集合用描述法可表示为（    ） A． B． C． D． 2.（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 3.用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 知识点3　集合与方程的综合问题 1.已知集合，若中元素至多只有一个，求的取值范围. 2.已知集合.当时，中只有一个元素，则b的值为________； 【巩固练习】 一、单选题 1.设M为我国古代四大发明火药、指南针、印刷术、造纸术组成的集合，那么集合M等于（   ） A．{火药，造纸术} B． {指南针，印刷术} C． {火药，指南针，印刷术} D． {火药、指南针、印刷术、造纸术} 2.如果，那么 A． B． C． D． 3.下列集合中不同于另外三个集合的是（    ） A．{x|x＝-1} B．{x|x+1＝0} C．{x＝1} D．{-1} 4.把集合用列举法表示为(　　) A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2} C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2} 5．在数轴上与原点的距离不小于3的点表示的数的集合是(　 ) A．{x|x≤－3或x≥3} B．{x|－3≤x≤3} C．{x|x≤－3} D．{x|x≥3} 6.已知集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7.已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8.（多选）下列选项中的两个集合相等的是（    ） A．是6和10的公倍数}， B．， C．， D．， 9.（多选）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10.已知集合，．若，则______________. 11.已知且，则由的值构成的集合是 . 12.已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为 ； 13.集合 ，用列举法表示集合为_________________________. 14.已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为 ． 四、解答题 15.对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 16.已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$