01讲 集合的概念 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

01讲　集合的概念 【人教版2019】 知识点(一)　元素与集合的概念 1．元素与集合的含义及符号表示 元素 一般地，把研究对象统称为元素 集合 把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集 符号表示 元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 2．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 点拨：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 2．集合中的元素必须满足的性质 确定性 一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的 互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复 无序性 集合中的元素是没有顺序的 [典题练习] 1．（多选）下列对象能构成集合的有（    ） A．接近于2025的所有正整数 B．小于的实数 C．未来10年内的房价趋势 D．点与点 2.英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 3．已知集合A中含有7和a²＋2a＋6这两个元素，且9是A中的元素，则（a-1）³的值为(　 ) A．1 B．0或－64 C．-64 D．－3 4.已知集合A中含有元素a,,1，集合B中含有元素0,a+b，a2，若A与B相等，求的值． 知识点(二)　元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 关系 概念 属于 给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A 不属于 给定一个集合A，如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A 2.常用数集及其记法 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N N*或N＋ Z Q R [典题练习] 1.（多选）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2.已知集合中的元素x满足x=，m∈Z,n∈N，则（   ） A． B． C． D． 3.（多选）已知集合M中含有元素，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 4.已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则(　 ) A．a>－4 B．a≤－2 C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2 知识点(三)　集合元素性质的应用 【典题练习】 1.已知集合A中含有两个元1和m2，若m∈A，求实数m的值． 2.已知集合A中含有三个元素，分别是a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，求实数a的值． [巩固练习] 一、单选题 1．下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系正确的是(　 ) A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M 3．集合A中的三个元素a，b，c分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．已知集合M具有性质：若a∈M，则3a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是(　 ) A．1 B．0 C．－23 D．2 5．下列说法正确的是（    ） A．N中最小的数是1 B．若，则 C．若，，则最小值是2 D．的实数解组成的集合中含有2个元素 6．已知集合A仅含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，6-a∈A，那么a的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．6 7．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．下列元素与集合的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9．由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 10．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（    ） A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x=0的解构成的集合 三、填空题 11．用符号“”或“”填空： （1）设集合B是小于的所有实数的集合，则 B， B； （2）设集合D是由满足方程的有序实数对组成的集合，则－1 D， D． 12．已知集合M有2个元素x，2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是 ． ①2∈M；②1∈M；③x≠3. 13．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为 . 14.已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则求a与b的值. 15．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01讲　集合的概念 【人教版2019】 知识点(一)　元素与集合的概念 1．元素与集合的含义及符号表示 元素 一般地，把研究对象统称为元素 集合 把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集 符号表示 元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 2．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 点拨：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 2．集合中的元素必须满足的性质 确定性 一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的 互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复 无序性 集合中的元素是没有顺序的 [典题练习] 1．（多选）下列对象能构成集合的有（    ） A．接近于2025的所有正整数 B．小于的实数 C．未来10年内的房价趋势 D．点与点 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的确定性判断各项是否能构成集合即可. 【详解】对于A，接近于2025所有正整数的标准不明确，不能构成集合． 对于B，小于的实数是确定的，能构成集合． 对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合． 对于D，点与点是两个不同的点，是确定的，能构成集合． 故选：BD 2.英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可求解. 【详解】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素． 故选：A 3．已知集合A中含有7和a²＋2a＋6这两个元素，且9是A中的元素，则（a-1）³的值为(　 ) A．1 B．0或－64 C．-64 D．－3 解析：选B　根据题意得a²＋2a＋6＝9，整理得(a＋3)(a－1)＝0，解之得a＝1或a＝－3，则（a-1）³＝0或（a-1）³＝－64. 4.已知集合A中含有元素a,,1，集合B中含有元素0,a+b，a2，若A与B相等，求的值． 【答案】 【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可. 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 知识点(二)　元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 关系 概念 属于 给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A 不属于 给定一个集合A，如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A 2.常用数集及其记法 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N N*或N＋ Z Q R [典题练习] 1.（多选）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由几个数集的含义逐个判断即可. 【详解】，，正确， 因为是无理数，所以． 故选：ABD 2.已知集合中的元素x满足x=，m∈Z,n∈N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【详解】因为集合中的元素满足x=，m∈Z,n∈N， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 3.（多选）已知集合M中含有元素，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意知M中含有元素，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 4.已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则(　 ) A．a>－4 B．a≤－2 C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2 解析：选D　由题意可知解得－4<a≤－2. 知识点(三)　集合元素性质的应用 【典题练习】 1.已知集合A中含有两个元1和m2，若m∈A，求实数m的值． [解]　由题意，可知m＝1或m2＝m， 若m＝1，则m2＝1，这与m2≠1相矛盾，故m≠1. 若m2＝m，则m＝0或m＝1(舍去)，又当m＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数m的值为0. 2.已知集合A中含有三个元素，分别是a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，求实数a的值． 解：若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中元素是1,0,1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A中元素是2,1,3，符合题意； 当a＝－2时，A中元素是0,1,1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)． 综上可知a＝0. [巩固练习] 一、单选题 1．下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系正确的是(　 ) A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M 解析：选B　本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M. 3．集合A中的三个元素a，b，c分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 4．已知集合M具有性质：若a∈M，则3a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是(　 ) A．1 B．0 C．－23 D．2 解析：选C　因为－1∈M，所以3×(－1)∈M，即－3∈M. 5．下列说法正确的是（    ） A．N中最小的数是1 B．若，则 C．若，，则最小值是2 D．的实数解组成的集合中含有2个元素 【答案】C 【解析】根据集合中元素的特点判断ABC，解一元二次方程结合集合元素的互异性判断D. 【详解】N是非负整数集，最小的非负整数是0，故A错误； 当时，，且，故B错误； 若，则a的最小值是1，又，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时， 取最小值2，故C正确； 的实数解为，故实数解组成的集合中含有1个元素，D是错误的. 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合中元素的互异性，以及元素与集合的关系，属于基础题. 6．已知集合A仅含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，6-a∈A，那么a的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．6 【答案】B 【分析】对a=2，4，6，分类讨论即可. 【详解】若a=2，则6-2=4，4∈A;若a=4，则6-4=2，2∈A;若a=6，则6-6=0，0∉A.因此a=2或a=4. 故选：B. 7．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴M含有的元素有-1和3，故只有B正确. 故选：B. 二、多选题 8．下列元素与集合的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合之间的关系，结合常用数集分析判断. 【详解】由于为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 所以，A错误；，B正确；，C错误；，D正确． 故选：BD. 9．由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 【答案】CD 【分析】利用集合的互异性即可判断实数a的范围条件，根据选项筛选即可. 【详解】由题意得,解得a≠2且a≠±1，则符合要求的只有CD. 故选：CD. 10．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（    ） A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x=0的解构成的集合 【答案】AD 【分析】根据题意分析即可. 【详解】由于A，D中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合， 而B，C中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合. 故选：AD. 三、填空题 11．用符号“”或“”填空： （1）设集合B是小于的所有实数的集合，则 B， B； （2）设集合D是由满足方程的有序实数对组成的集合，则－1 D， D． 【答案】 【分析】（1）先判断，与的大小关系，再根据元素与集合的关系求解， （2）集合D是点集，可知不在此集合中，再将代入函数解析式中验证即可. 【详解】（1）∵，∴． ∵，∴． （2）∵集合D中的元素是有序实数对，而－1不是有序实数对，∴． ∵，∴是满足方程的有序实数对， ∴． 故答案为：，，，. 12．已知集合M有2个元素x，2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是 ． ①2∈M；②1∈M；③x≠3. 【答案】② 【分析】先由－1∉M求出x≠－1，x≠1且x≠3，，然后对①、②、③分别验证即可. 【详解】依题意解得x≠－1，x≠1且x≠3， 对于①：当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0，2，故①可能正确； 对于②：当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1，1不满足互异性，故②不正确， ③显然正确． 故答案为：② 13．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为 . 【答案】0，1，2 【分析】由元素x满足∈N，即6可被3 - x整除，而x∈N可求得元素x的值 【详解】当x＝0时，＝2； 当x＝1时，＝3； 当x＝2时，＝6； 而x ≥ 3时不符合题意 故答案为：0，1，2 【点睛】本题考查了集合，结合自然数，以及整除的性质求集合中的元素 14.已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则求a与b的值. 解析：因为集合A与集合B相等，且1∈A,2∈A，所以1∈B,2∈B，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根．所以所以 15．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； 【详解】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. 学科网（北京）股份有限公司 $$