2.2 简单的轴对称图形 课件2024-2025学年 鲁教版（五四制）（2024）七年级数学上册

2.2简单的轴对称图形 ----等腰三角形 学习目标 1.通过操作和思考探索等腰三角形的轴对称性(等腰三角形是轴对称图形)及其相关性质("等边对等角"，“三线合一”) 2.初步应用等腰三角形的性质进行说理和计算； 3.渗透“一线三等角”模型，分类讨论的思想和方程思想； 复习回顾 有 的三角形叫等腰三角形。 两条边相等 相等的两条边都叫 ; 腰 另一边叫 ; 底边 两腰的夹角∠A叫 ; 顶角 腰与底边夹角叫 . 底角 你有哪些办法得到等腰三角形 在纸上画一条线段AB,对折AB,使点A,B重合,折痕与AB的交点为O. 探索线段的轴对称性 做一做 A B A(B) B 想一想 1.线段是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么？ 2.点O是线段AB 的中点吗？折痕与AB有什么位置关系？ 3.由此,你可以得出什么结论呢？ O 例1 如图,点C是线段AB垂直平分线上的任意一点,AC与BC相等吗？ 线段垂直平分线的性质 A B C o 定义 改变点C的位置,结论还成立吗？ 议一议 l 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点C在l 上．求证：CA =CB． C A B l o 线段垂直平分线的性质 【 探究活动1 】 探索线段的轴对称性 1.线段是 图形, 的直线是它的一条对称轴. 2. 于一条线段,并且 这条线段的直线, 叫做这条线段的 （简称 ）. 结论 轴对称 垂直并且平分线段 垂直 平分 垂直平分线 中垂线 A O B 线段垂直平分线的性质 结论 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． C A B l o 几何语言： ∵CO⊥AB，AO=BO， ∴ CA =CB． 探究一 借助你手中的等腰三角形研究以下问题： 1、等腰三角形是轴对称图形吗？如果是请找出它的对称轴. 2、等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？ 3、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？ 4、沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？ 等腰三角形是 图形 . 等腰三角形 、 、 重合（也称“ ”），它们所在的直线都是等腰三角形的 . A B C D 等腰三角形两个底角 . 你能说明理由吗？ 轴对称 顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高 三线合一 对称轴 相等 等腰三角形ABC沿对称轴对折，找出其中重合的线段和角。 A B C D 重合的线段 重合的角 AB与AC BD与CD AD与AD ∠B和∠C ∠BAD和∠CAD ∠ADB和∠ADC 等腰三角形的两个底角相等 A B C D 说明角相等的方法： 构造全等三角形 怎么构造？ 作∠BAC的平分线或BC上的中线 或BC上的高 符号语言：在△ABC中， ∵AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） 说理一 等腰三角形ABC沿对称轴对折，研究其中重合的线段和角。 A B C D 重合的线段 重合的角 AB与AC BD与CD AD与AD ∠B和∠C ∠BAD和∠CAD ∠ADB和∠ADC AD是底边上的中线 AD是顶角的平分线 AD是底边上的高 等边对等角 探究小结 等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形 对称轴有一条，是顶角平分线（或底边上的中线，底边上的高）所在直线. 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”） 等腰三角形两 个底角相等(等边对等角) 等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”） 用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C ( ） 等边对等角 等腰三角形的性质1 A B C 几何语言 几何表达式：如图，在△ABC中， ①∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ∴BD = ， ⊥ ； (等腰、顶角平分→中线、高) ②∵AB=AC，BD=CD ∴∠BAD= ， ；(等腰、中线→顶角平分、高) ③∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAD= ，BD= 。(等腰、高→顶角平分、中线) A B D C 2 1 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(简称三线合一) 已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，P是AD上任意一点．求证：∠ABP=∠ACP。 证明：∵△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线， ∴△ABP≌△ACP（SAS）， ∴∠ABP=∠ACP。 ∴AD是角平分线， ∴∠BAP=∠CAP， 在△ABP与△ACP中， AB＝AC ∠BAP＝∠CAP AP＝AP 典例精析 已知，如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ= QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。 解：∵ BP=PQ=QC=AP=AQ ∴ ∠PAQ= ∠APQ =∠AQP， ∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ 。 又∵ ∠BAP+ ∠ABP= ∠APQ， ∠C+∠CAQ =∠AQP ∴ ∠BAP= ∠CAQ =30°， ∴ ∠BAC=120°。 △APQ是等边三角形 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 1.等腰三角形的对称轴是底边上的高. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角. 3.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 4.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. （X） （X） （X） （√） 将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起，所拼成的🔺ABD是什么三角形？你能借助这给图形，找到Rt🔺ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（30°所对的直角边等于斜边的一半） 思考 1.在Rt🔺ABC中，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DE=2，求AC= . 6 2.在Rt🔺ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE= . 3cm 1.如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（　　） A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定 B 分腰为9cm和4cm两种情况讨论 巩固练习 2.下列说法错误的是（　　） A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍 A 3.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　　） A．65° 65° B．50° 80° C．65° 65°或50° 80° D．50° 50° C 4.如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，整架身，使点A恰好在重锤线上，试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？ 解：这时BC处于水平位置． ∵D是BC的中点， ∴BD=DC， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC（三线合一）． ∵重垂线与地平线垂直， ∴BC处于水平位置。 等腰三角形 两个底角相等，简称“等边对等角” 顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合 一” 轴对称图形，一条对称轴. 等边三角形 等边三角形的各角都相等，都等于60°. 等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴. 轴对称图形，三条对称轴. 课堂小结 $$