第四章 基本平面图形讲义2024-2025学年北师大版数学七年级上册

初中数学【综能】--七年级【秋季】 第8讲 线段的概念与计算 一、直线、射线、线段的比较 名称 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线 都是直的线 射线 只能向一方延伸 1 直线 可向两方无限延伸 无 二、点、直线、射线和线段的表示 一个点可以用一个大写字母表示，如点A 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB 三、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 四、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 （5）线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法 五、线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 M A B ∵M是线段AB的中点 AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM） 六、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 【例题1】 ①如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：    （1）当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； （2）当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有____________条？ （3）根据上述信息解决下面的问题： ①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？ 【答案】(1)3，6，10(2)线段总共有条 (3)①该校七年级的辩论赛共要进行190场；②需要设置132种车票 【分析】（1）根据线段的定义进行求解即可； （2）根据（1）中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条； （3）①根据（2）中的结论，进行求解即可；②根据（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）．答案：3，6，10 （2）当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）； 因为（条）， 所以（条）．答：线段总共有条． （3）①当时，（场）．答：该校七年级的辩论赛共要进行190场． ②当线段上（除两端点，）有10个点时， ∴，，∴车票有（种）．答：需要设置132种车票． 【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段． ②观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37， 【分析】（1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有1+2=3个交点； 4条直线相交最多有1+2+3=6个交点； 5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点； 7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点， 8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点，… n条直线相交最多有个交点； （2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分； 2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分； 3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分； 4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分； 5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分； 6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分； 7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分； 8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；… n条直线最多把平面分成 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． ③如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸七边形有 条对角线，凸边形有 条对角线． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律，根据已有多边形对角线的条数，归纳出规律成为解题的关键． 先确定一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线， 则一个n边形共有（，且n为整数）条对角线．故答案为：． 【练习1】 ①问题提出：某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛? 【构建模型】 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 条线段，所以该校共要安排 场比赛； （2）根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛； 【类比迁移】 （3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成 个角； 【实际应用】 （4）已知站与站之间有个车站，那么往返于站与站之间的客车，应安排（    ）种车票。 A．10 B．6 C．12 D．8 【答案】(1)10，10 (2)15 (3)15 (4)12 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （1）根据图①线段数量进行作答． （2）根据图②线段数量进行作答． （3）根据每条射线与其他各射线都可有个角，每条射线都数两次，当时即可计算出角的个数． （4）根据题意，代入求解即可． 【详解】（1）由图①可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． 故答案为：10，10； （2）由图②可知，图中实际共有条线段，所以该校一共要安排15场比赛． 故答案为：15； （3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成个角， 故答案为：15． （4）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中，得 ∴要准备车票的种数为20种 ②观察图形，并回答下列问题： （1）【观察思考】图中共有______条线段； （2）【模型构建】若线段上有n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段． （3）【拓展应用】请你用上述模型构建来解决以下问题： ①请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； ②十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10 (2) (3)①共握手105次；②共送了210张 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，直线、射线、线段： （1）以A为端点的线段有四条；以B为端点的且与前面不重复的线段有三条；以C为端点的且与前面不重复的线段有两条；以D为端点的且与前面不重复的线段有一条，相加即可求解； （2）画出图形找到规律即可； （3）①由，代入数值即可求出结果；②15人参加聚会，每个人都送给其他人一张名片，所有同学共送了张名片，依此即可解决问题． 【详解】（1）解：以A为端点的线段有四条； 以B为端点的且与前面不重复的线段有三条； 以C为端点的且与前面不重复的线段有两条； 以D为端点的且与前面不重复的线段有一条． 则（条）． 故答案为：10； （2）解：如图， 线段上有3个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有4个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有5个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有6个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有7个点（包括A，B两点）则线段数为：； ⋯ 线段上有n个点（包括A，B两点）则线段数为：； 故答案为：； （3）解：①由上面结论可知（次）． 答：共握了105次； ②（张）． 答：共送了210张． 【例题2】 ①如图，，C为的中点．点D在线段上，且，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点的定义求出、的长，根据题意求出，结合图形计算即可． 【详解】解：cm，为的中点， ， ∵， cm， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是两点间的距离的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想． ②如图，点A、B在线段上，点M、N分别是线段、的中点，，若，则线段的长为__________． 【答案】的长为． 【分析】由于EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，那么线段MN可以用x表示，而MN=6cm，由此即可得到关于x的方程，解方程即可求出线段EF的长度． 【详解】解：设 ∵， ∴，， 而M、N分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查了两点间的距离．利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． ③如图，点在线段上，是的中点，是的中点，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了求两点之间的距离，解题的关键是能根据题意得出方程．设，求出，，求出，，根据得出方程，求出即可． 【详解】解：设，则，， 线段、的中点分别是、， ，， ， ， 解得：， ． 故选：D． 【练习2】 ①如图，若延长到点，使，点为的中点，，则线段的长度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差定义、线段的中点等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 设，则，利用中点的定义构建方程即可解决问题． 【详解】解：设，则． ∵D为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度是． 故选：B． ②如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 先根据题意设可设，，，即可表示，再根据中点的定义表示出，进而表示出，再结合的长列出方程，求出解，最后根据得出答案． 【详解】解：由B，C两点把线段分成三部分，可设，，， 所以． 因为M是的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． ③如图，AD=BD，E是BC的中点，BE=AC=2cm，则线段DB的长为_______． 【答案】4 【分析】根据BE=AC=2cm可以求得AC长，进而得出AB、BC的长，即可求得DB的长． 【详解】解：∵BE=AC=2(cm)， ∴AC=5BE=10(cm)， ∵E是BC的中点， ∴BC=2BE=2×2=4(cm)， ∴AB=AC-BC=10-4=6(cm)， ∵AD=DB， ∴AD+DB=AD+2AD=6(cm)， ∴AD=2cm， ∴DB=4cm， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查的是线段的和差倍分计算和线段中点的概念，找出线段间的数量关系是解决此类问题的关键． 【练习3】 ①如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． ②已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点． （1）点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度； （2）若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)线段CD的长度为2； (2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可； （2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系． 【详解】（1）解：如图1， ∵点C是线段AB的中点，AB=6， ∴BC=AB=3， ∵BD=BC， ∴BD=1， ∴CD=BC-BD=2； （2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下： 当点D在线段AB上，如图2， 设AD=2x，则BD=3x， ∴AB=AD+BD=5x， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=AB=， ∴CD=AC-AD=x， ∵AE=2BE， ∴AE=AB=x， CE=AE-AC=x， ∴=，即5CD=3CE； 当点D在BA延长线上时，如图3， 设AD=2a，则BD=3a， ∴AB=BD-AD=a， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=AB=， ∴CD=AC+AD=a， ∵AE=2BE， ∴AE=AB=a， CE=AE-AC=a， ∴=，即CD=15CE． 综上，5CD=3CE或CD=15CE． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．解第2问注意分类讨论． 【练习3】 ①已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点，分类讨论，即点在B点左边或者右边，两种情况，用线段的和差进行解答即可，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【详解】解：如图，当点在B点左边时， 点 M是线段的中点， ， ， ， 厘米， 厘米； 如图，当点在B点右边时， 利用上述原理可得 厘米， 厘米， 综上所述，或厘米， 故答案为：或． ②已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． ③已知线段，C为直线上一点，且，M，N分别是、的中点，则等于（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离．解答此题时，充分利用了两点间的中点的定义．分当点在上时，当点在的延长线上时两种情况讨论即可． 【详解】解：如图，当点在上时， 又，分别是、的中点， ，， ， ． 当点在的延长线上时， 又，分别是、的中点， ，， ， ． 故选：D． 【例题4】 ①（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则； ②若，则； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 【答案】（1）①6；② 6；（2） 【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键． （1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答； （2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴； ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． ②如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． （1）如果，，，则的长为___________； （2）如果，，则的长为___________； （3）如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ③已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． （1）如图①，点B在线段上，，求的长； （2）如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 【答案】(1) (2)3或10 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据中点的定义，推出，即可得解； （2）根据中点的定义和线段的和差关系求出的长，分点在点P的右侧，点C在点A，P之间，点C在点A的左侧，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以． 因为， 所以． （2）由题意，得，， 所以， 所以． 当点C在点P的右侧时，，即，解得； 当点C在点A，P之间时，，不符合题意； 当点C在点A的左侧时，，即，解得， 所以． 综上所述，CP的长为3或10． 【练习4】 ①如图，已知线段，，若点M，N分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的定义可求得线段、的长度，再利用线段的和差可求得答案． 【详解】解：、分别是线段、的中点，，， ，，．故选：C． 【点睛】本题考查了两点间的距离、线段的中点，掌握中点把线段分成两条相等的两条线段是解题的关键． ②如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（    ） A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm 【答案】A 【分析】根据线段中点的性质直接可得出BM的长，计算出BD，根据线段中点的性质推出BN=DN=BD，进而结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵点M是AB的中点， ∴BM=AM=AB=×6=3（cm）， ∵BC=10cm,CD=8cm, ∴BD=BC+CD=10+8=18（cm）， ∵点N是BD的中点， ∴BN=DN=BD=×18=9（cm）， ∴MN=MB+BN=3+9=12（cm）． 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度． ③已知：如图，点C在线段上，，，点M、N分别是、的中点，则的长是________． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的计算，找出线段之间的数量关系是解题关键．由线段中点可得，，即可求出的长． 【详解】解：点是的中点，，， 点是的中点，，，． ④已知B、C两点把线段分成三部分（B在C点左侧），M是线段的中点，N为中点，．则求 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了求线段的长度，解决本题的关键是根据比例求出相关线段长．设，，，，根据，得到，求得，，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】解：如下图： 、C两点把线段分成三部分， 设，，，， 是线段的中点，N为中点， ，， ，，， ，， ，故答案为：10． 【例题5】如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点有关的线段和差的计算，线段之间的数量关系，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②；由中点的意义可得，代入可判断③；由，得，代入可得故可判断④ 【详解】解： ， ， ， ， ，即，故①正确； ， ， 、分别是线段、的中点， ， ，故②正确； 、分别是线段、的中点， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ，故④正确， ∴正确的有①②③④． 故选：D． 【练习5】 ①如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了两点间的距离，中点的定义，用几何式子正确表示相关线段，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案． 【详解】解： 是的三等分点，， ，， ， ， ， ∴， 故①正确； ∵，， ， 是线段的中点， ， ∴ ， ， 故②错误； ， ， ， ， ， ∴； 故③错误； ，， ， ， ， ∴ 故④正确； 综上，正确的有①④， 故答案为：①④． ②如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①；                 ②若，则； ③；         ④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答． 【详解】解：∵E，F分别是线段的中点．， ∴， ∴， 故①不符合题意； ∵， ∴，即， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故④不符合题意； 故选：B． 随堂小测 【变式1-2】（23-24七年级上·广东中山·期末）植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这其中用到的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段只有一个中点 D．两条直线相交，只有一个交点 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这其中用到的数学道理是两点确定一条直线，故B正确． 故选：B． 【变式1-3】（23-24七年级上·山东济南·期末）下列可用“两点确定一条直线”来解释的现象有 （填写所有正确结论的序号） ①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ④打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线，两点之间线段最短是解答本题的关键． 根据直线的性质分析即可． 【详解】①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释； ②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”来解释； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来解释； ④打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，可用线动成面来解释； 故符合题意有只有①③． 故答案为：①③． 【变式3-1】（23-24六年级下·山东烟台·期中）在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 【答案】射线 【分析】本题主要考查射线的定义，根据直线，射线和线段的区别即可得出答案． 【详解】手电筒可近似看成一个点，所以手电筒发射出来的光线相当于一个从一个端点出发的一条射线， 故答案为：射线． 【例5】（24-25七年级上·全国·单元测试）过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的数量问题，根据题意已知条件找到对应的规律，将所求点代入即可； 【详解】解：过2个点可以画：； 过3个点可以画：； 过n个点可以画：； 则过10个点可以画； 故选：C． 【变式6-1】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点，4条直线两两相交，最多有 个交点，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是相交线，得到在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点是解题的关键． 【详解】解：解：三条直线两两相交交点数， 四条直线两两相交交点数， 五条直线两两相交交点数， 由此推出n条直线两两相交交点数． ∴10条直线两两相交，最多有， 故答案为：，． 1、如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】根据中点的定义求出，，再由，可得出答案． 【详解】，是线段的中点，， ， 又为的中点，， ， ． 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用． 2、如图，是的中点，是的中点，下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的中点，是的中点，得到，，结合线段的和与差，计算判断选择即可． 【详解】∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 故A正确； ∴， 故B、D正确； ∴， 故C错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的中点即把线段分成相等的两条线段的已知线段的一点，线段的和差倍分，熟练掌握基本概念及其数量关系是解题的关键． 3、已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（    ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： ∵，M是AC的中点，N是BC的中点， ∴； ∵，M是AC的中点，N是BC的中点， ∴．故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解此题的关键． 4、如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（　　） A．不确定 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】由D为中点，E为中点得到，，进一步即可得到的长度． 【详解】解：∵D为中点，E为中点， ∴，， ∴． 故选：C 【点睛】此题考查了线段中点的相关计算，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 5、如图，点为线段上一点，为中点，为中点，为中点，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】设，则，故，，根据列出方程计算即可． 【详解】∵为中点，为中点，为中点，， ∴，，， ∴， 设，则， 故，， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的中点，一元一次方程，熟练掌握定义，灵活用一元一次方程是解题的关键． （B组） 3、如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，则BE的长为_____________。 【答案】6或8 【分析】点B为CD的中点，根据中点的定义，得到CD=2BD，由BD=2便可求得CD=4，然后再根据AC=AD-CD，便可求出AC=5；由于E在直线AD上位置不明定，可分E在线段DA的延长线和线段AD上两种情况求解． 【详解】解：∵点B为CD的中点，BD=2， ∴ CD=2BD=4， ∵ AD=9， ∴ AC=AD−CD=9−4=5； ① 若E在线段DA的延长线，如图1， ∵ EA=1，AD=9， ∴ ED=EA+AD=1+9=10， ∵ BD=2， ∴ BE=ED−BD=10−2=8， ② 若E线段AD上,如图2， EA=1，AD=9， ∴ ED=AD−EA=9−1=8， ∵BD=2， ∴ BE=ED−BD=8−2=6， 综上所述，BE的长为8或6． 【点睛】本题考查了求线段长度，依据点在直线上的位置分类讨论是解题关键． 2、如图，点是线段上任意一点（不与端点重合），点是的中点，点是的中点，点是的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义得到，，，然后根据线段之间的和差倍分关系逐个求解即可． 【详解】解：∵M是中点， ∴， ∵P是中点， ∴， ∵点Q是中点， ∴， 对于①：，故①正确； 对于②：， ，故②正确； 对于③：， 而， 故③错误； 对于④：， ，故④正确； 故对3个， 故选C． 【点睛】此题考查线段之间的和差倍分问题，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 【例3】（2024七年级·全国·竞赛）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的定义及线段的和差计算是解答本题的关键．先求出，再由线段中点的定义，可得，，由此即可求得的长． 【详解】，， ， 是的中点，是线段的中点， ，， ． 故选C． 【变式6-3】（2024七年级·全国·竞赛）已知直线上有10个点，直线上有9个点，且，现将上的每一个点与上的每一个点相连得到若干线段，则这些线段的交点（不包含两条直线上已知的19个点）个数最多有（    ）． A．90个 B．1620个 C．3240个 D．4005个 【答案】B 【分析】此题关键是把复杂问题简单化，把问题转化成求在直线与中有多少个满足条件的四边形就可以了． 在、上分别取点M、N和点P、Q，连接，根据题意会发现：对于直线上的任意两点M、N与直线上的任意两点P、Q都可以构成一个四边形，而这个四边形的两条对角线的交点恰好是我们要计数的点，故只需要求出在直线与中有多少个满足条件的四边形就可以了． 【详解】 解：如图所示，对于直线上的任意两点M、N与直线上的任意两点P、Q都可以构成一个四边形，而这个四边形的两条对角线的交点是我们要计数的点，故只需要求出在直线与中有多少个满足条件的四边形就可以． 可以用乘法原理分2步计算： 第1步，确定线段，有（种） 第2步，确定线段，有（种） 根据乘法原理，共可产生个四边形 而已知没有三条线段相交于直线与外的一点，那么这些线段一共有1620个交点． 故答案为：B． 4、（1）如图，已知线段，点C是线段上一点，点M、N分别是线段，的中点． ①若，则线段的长度是_________； ②若，，求线段的长度(结果用含a、b的代数式表示)； （2）在（1）中，把点C是线段上一点改为：点C是直线上一点，，．其它条件不变，则线段的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示） 【答案】（1）①4，②，（2）或或 【分析】（1）①根据线段中点的定义可得，即可求解；②，即可求解； （2）根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段上时，当点C在点A的左边时，当点C在点B的右边时． 【详解】（1）解：①∵点M、N分别是线段，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：4； ②∵点M、N分别是线段，的中点，， ∴， ∴； （2）当点C在线段上时， 由（1）可得：； 当点C在A左边时， ， ∵点M、N分别是线段，的中点，， ∴， ∴； 当点C在点B右边时， ∵点M、N分别是线段，的中点，， ∴， ∴； 综上：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分类讨论的思想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学【综能】--七年级【秋季】 第11讲 角度中动态问题 一、角度关系、角平分线与多结论问题； 二、角度中新定义角度模型； 三、动态问题中的定值探索与证明； 四、探索动态过程中角度间的关系； 五、根据运动结果求解运动时间； 【例题1】如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．    ①；②； ③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ①，故①正确； ②， 即，故②正确； ③， 即，故③正确； ④由①得，故④错误； 综上，①②③正确，共3个；故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系． 【练习1】如图，在内部，且，是的平分线，，则下列结论： ①；②；③；． 其中正确结论有 （写序号）．    【答案】①②④ 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴；故④正确； 故答案为：①②④． 【例题2】综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”． （1）若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________． （2）如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）． 【答案】(1)或(2)或或或 【分析】（1）根据“3等分线”的定义分和两种情况求解即可； （2）分为的“3等分线”和为的“3等分线”两种情况求解即可． （1）根据“3等分线”的定义可得，或 ∵ ∴或 故答案为： 或 （2）①当OA在的内部时，如图， 根据“3等分线”的定义可得， 或 ②当OB在的内部时，如图， 根据“3等分线”的定义可得， 或 此时，或 综上，的度数为或或或． 方法或规律点拨 本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键． 【练习2】【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】 （1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数； ②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，， 所以． 所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为， 所以， 所以，， 所以，， 所以． ②不变．理由如下： 因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以 ； 【例题3】如图1，点为直线上一点，过点作射线． （1）若使，将直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．在图中， °； （2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，平分，求的度数； （3）将上述直角三角板按图3的位置放置，在的内部，说明的值固定不变． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算；找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系是解题的关键． （1）根据题意可求出，，推得，即可求解； （2）结合（1）中信息可求得，根据角平分线的定义即可求解； （3）结合题意看求得，结合（1）中信息杰克求解． 【小问1详解】 解：∵点为直线上一点，过点作射线， 且，， ∴，， ∵在射线上， ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由（1）可得，， ∴， 即的度数是． 【练习3】如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． （1）如图1，若，则______°，______°，______°； （2）如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    【答案】(1)、、；(2)是定值，理由见解析 【详解】（1）解：∵和互补， ， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴，， 故答案为：、、； （2）是定值， 理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【例题4】如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． （1）如图，当，重合时，求的度数； （2）当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． （3）当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3)当时， ；当时，；当时， 【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案； (2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案； (3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分， 、， ； （2）解：的值为定值， 理由如下：如图： 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 ，，点C、D在直线的右侧， 射线平分，射线平分， ，， ， 的值为定值； （3）解：当时，如图2：由(2)知，； 当时，如图3所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 当时，如图4所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【练习4】已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转形成． （1）如图1，若，比较和的大小，并说明理由； （2）作射线，射线为的平分线，设． ①如图2，当，若射线恰好平分，求的度数； ②当时，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析；(2)①，②． 【分析】（1）结合题意，进行角的加减计算求出、的度数即可； （2）①由角平分线的定义得，，依据可求得，从而求出； ②如图1，当，结合角平分线的定义求得，，即；如图2，当，结合角平分线的定义求得，，即；综上所述，． 【详解】（1）解：和的大小相等．理由如下： 由题意可得：射线、射线和射线在射线同侧， ∵，，∴， 又∵，∴，∴； （2）①∵射线恰好平分，∴，∴， ∵射线为的平分线，∴，∴， ∵，∴，∴，∴ ②如图1，当， ∵， ∵，射线为的平分线，∴， ∴，∴； 如图2，当， ∵， ∵，射线为的平分线，∴， ∴，∴； 综上所述，． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的角的计算；掌握角平分线的性质是解题的关键． 【例题5】综合探究： 【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方． 【问题解决】： （1）如图1，若，则______； （2）若恰好平分，求和的度数； 【拓展延伸】： （3）将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值． 【答案】（1）30；（2）（3），秒或秒，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的和差倍分运算，掌握角的和差和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据角的和差求解； （2）根据角的平分线的意义及角度和差求解； （3）分类讨论，根据角的和差列方程求解． 【详解】解：（1），， ， ． 故答案为30． （2）， ， OE恰好平分， ， ． （3）情况一： ， ， ， ； 情况二：， ， ， ， ． 综上所述，秒或秒时，． 【练习5】已知直线过点O，，是的平分线． （1）操作发现：①如图 1，若，则 °． ②如图1，若，则 °． ③如图1，若，则 ． （用含α的代数式表示） （2）操作探究：将图 1 中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由． （3）如图3，已知，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后， 【答案】(1)①；②；③ (2)成立；理由见详解 (3)或 【分析】（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出，利用角的差可得结论； （2）由，可得，则，根据平分，可得；所以． （3）设t秒后，可得或，即可解得或； 【详解】（1）∵， ∴， ∵OE平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ③， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ∴． 故答案为． （2）成立，理由如下： 设， ∴， ∵平分， ∴； ∴． ∴③中所求出的结论还成立． （3）设t秒后， 根据题意得：可得或， 解得或， 经检验，或均符合题意， 答：运动或秒后，； 【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），解决本题的关键是由图形得到角度之间的关系． 随堂小测 1、时间为14点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数是_________度． 【答案】##105度 【解析】 【分析】此题考查了钟面角的有关知识，得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格是解决问题的关键．据此求解即可． 【详解】解：∵14点30分时，分针与时针夹着3.5个格， ∴所成角的度数是 故答案为：． 2、如图，将两块直角三角板的直角顶点重合，若∠AOD=128°，则∠BOC=_________． 【答案】52°##52度 【解析】 【分析】根据题意得到∠AOB=∠COD=90°，再计算∠BOD=∠AOD-90°=38°，然后根据∠BOC=∠COD-∠BOD进行计算即可． 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°， 而∠AOD=128°， ∴∠BOD=∠AOD-90°=38°， ∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-38°=52°． 故答案为：52°． 【点睛】本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键． 3、如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件可求得的度数，然后将代入计算即可求得答案． 【详解】解：平分，平分，，， ， ，，，故选：A． 【点睛】本题考查角的计算及角平分线的定义，结合已知条件求得是解题的关键． 4、 已知：如图，，是的平分线，是的平分线，那么等于______． 【答案】##78度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 5、将一副三角尺按如下列各图所示的不同位置摆放，其中与一定互余的摆放方式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义逐个判断即可；熟练掌握余角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故不合题意； B、，故不合题意； C、，与互余，故符合题意； D、，互为补角，故不合题意． 故选：C． 6、如图，为直线，为射线，且OC平分，平分．则的度数是_______． 【答案 【分析】根据角平分线的概念结合整体方法求解即可． 【详解】∵OC平分，平分 ∴． 【点睛】此题考查角的和差计算，角平分线的有关计算，解题的关键是正确分析题目中角之间的数量关系． 7、如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．    【答案】 【分析】由角平分线性质推理得，，，据此规律可解答． 【详解】解：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：．故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 8、如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺的三个角是．三角尺的三个角是． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算．正确的识图，找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据，， ，计算即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：，， 即， ， 9、如图，与互为补角，与互为余角，且， （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质以及，可得，从而得到，即可求解； （2）根据，可得，再由平分，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了余角的性质，有关角平分线的计算，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 10、如图，已知，是的平分线，在内． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算及几何图中的角度计算． （1）根据角平分线的定义求出，再根据题意求出，然后根据角的和差即可得出答案； （2）先根据角平分线的定义求出，再根据利用角的和差求出，然后再根据角的和差即可得出答案． 【小问1详解】 解：，是的平分线， ； 【小问2详解】 ，是的平分线， ． 课后作业 1、【多选题】已知，是的三等分线，，是的三等分线，则结论正确的有（ ） A. B. C. 是的角平分线 D. 若，则和互余 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据，是的三等分线，，是的三等分线得到，，即可得到答案； 【详解】解：∵，是的三等分线，，是的三等分线， ∴，， ∴是的角平分线，， 不能判断与的大小关系，，故B不正确； 若， 因为， 所以，故D不正确； 故选：AC． 2、如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． （1）如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； （2）如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 3、如图，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）当时，三角板绕点以每秒6沿逆时针方向旋转秒（），请探究和之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）时，；时， 【解析】 【分析】本题考查相交线，涉及到角平分线的性质、垂直的性质等，灵活运用所学知识是关键． （1）根据直角和交平分线的性质求解即可； （2）根据直角和交平分线的性质求解即可； （3）分两种情况时，进行讨论即可． 【小问1详解】 解： ， ， 平分， ， 是直角， ， ； 【小问2详解】 解：平分， ． ， ． ． ． ∴； 【小问3详解】 解：①时，由题意得， 平分， ， ， ； ②时， 由题意得， 平分， ， ， ． 综上所述，时，； 时，． 4、钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为（本题中的角均指小于的角）． （1）求开始几分钟后分针第一次追上时针； （2）若在至之间，在内，在内，，． ①当在内时，求和之间的数量关系； ②从开始几分钟后，． 【答案】（1）从开始分钟后分针第一次追上时针． （2）①．②从开始分钟后，． 【解析】 【分析】（1）本题考查一元一次方程的实际运用、角的运算和追及问题，根据时钟的特点，算出时针每分钟转，分针每分钟转，以及的度数，设从开始分钟后分针第一次追上时针，再利用分针转过的角度时针转过的角度，列式求解即可． （2）①本题考查角的运算，设运动时间为，表示出，，，再结合，，将和联系起来，即可解题． ②本题考查一元一次方程的实际运用和角的运算，设从开始分钟后，．根据分针没有追上时针和分针超过时针两种情况分类讨论，利用分别表示出，，再结合与即可解题． 【小问1详解】 解：，，即时针每分钟转， 又，即分针每分钟转， 由图知，时，分针和时针间夹角为， 设从开始分钟后分针第一次追上时针， 则有：，解得， 答：从开始分钟后分针第一次追上时针． 【小问2详解】 ①解：当在内部时，如图所示： 设运动时间为，则，，其中， ， ，， ，， ，即有， ， 整理得． ②设从开始分钟后，． 下面分类讨论， 第一种：分针没有追上时针时，如图所示： 由①同理可得：，， ， ，， ， ， ， 整理得， ， 有，解得， ，所以舍去该值． 第一种：分针超过时针时，如图所示： 有， 则 ， 有，解得， ，符合题意，有， 综上所述，从开始分钟后，． 5、如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，． （1）若，请说明射线是的角平分线； （2）射线在直线上方，平分，： ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由．    【答案】(1)见解析(2)①或；②存在；时，为定值 【分析】（1）先求出，根据，求出，求出，得出，即可证明结论； （2）①分两种情况：当在左侧时，当在左侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据，，得出一定在内部，得出，，表示出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴射线是的角平分线． （2）解：设度，则度，， ①当在左侧时，如图所示：则，       ∵平分，∴， ∵，∴，解得：，∴； 当在左侧时，如图所示：  ，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，解得：，∴； 综上分析可知，或； ②存在；∵，，∴一定在内部，如图所示： ∵，， 又∵平分，∴， ∵，， ∴， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学【综能】--七年级【秋季】 第8讲 线段的概念与计算 一、直线、射线、线段的比较 名称 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线 都是直的线 射线 只能向一方延伸 1 直线 可向两方无限延伸 无 二、点、直线、射线和线段的表示 一个点可以用一个大写字母表示，如点A 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB 三、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 四、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 （5）线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法 五、线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 M A B ∵M是线段AB的中点 AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM） 六、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 【例题1】 ①如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：    （1）当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； 当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； 当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条； （2）当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有____________条？ （3）根据上述信息解决下面的问题： ①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（要考虑车票的起点站与终点站之分）？ ②观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． （3）如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸七边形有 条对角线，凸边形有 条对角线． 【练习1】 ①某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛，该校一共要安排________场比赛；若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排________场比赛； ②从同一个顶点引出6条射线，共可以组成________个角； ③已知站与站之间有个车站，那么往返于站与站之间的客车，应安排（    ）种车票； A．10 B．6 C．12 D．8 ④十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了________次手； ⑤观察图形，图中共有________条线段； ⑥十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了________张。 【例题2】 ①如图，，C为的中点．点D在线段上，且，则的长度是（    ） A． B． C． D． ②如图，点在线段上，是的中点，是的中点，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【练习2】 ①如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，则线段的长为______． ②如图，AD=BD，E是BC的中点，BE=AC=2cm，则线段DB的长为_______． 【例题3】如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【练习3】 ①已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 ②已知线段，C为直线上一点，且，M，N分别是、的中点，则等于（    ） A． B．或 C．或 D． 【例题4】 ①已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． （1）如图①，点B在线段上，，求的长； （2）如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． ②如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． （1）如果，，，则的长为___________； （2）如果，，则的长为___________； （3）如果，，求的长，并说明理由． 【练习4】 ①如图，已知线段，，若点M，N分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． ②已知：如图，点C在线段上，，，点M、N分别是、的中点，则的长是________． ③已知B、C两点把线段分成三部分（B在C点左侧），M是线段的中点，N为中点，．则求 cm． 【例题5】如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【练习5】 ①如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有 ． ②如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①；                 ②若，则； ③；         ④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 随堂小测 1、植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这其中用到的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段只有一个中点 D．两条直线相交，只有一个交点 2、下列可用“两点确定一条直线”来解释的现象有 （填写所有正确结论的序号） ①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ④打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面． 3、在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 4、过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 5、一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点，4条直线两两相交，最多有 个交点，10条直线两两相交，最多有 个交点． 6、如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点．若，，则的长为 ． 7、如图，是的中点，是的中点，下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 8、已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（    ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm 9、如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（　　） A．不确定 B．2.5 C．3 D．3.5 10、如图，点为线段上一点，为中点，为中点，为中点，若，则的长为 ．    课后作业 1、已知C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，则BE的长为_____________。 2、如图，点是线段上任意一点（不与端点重合），点是的中点，点是的中点，点是的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 4、已知直线上有10个点，直线上有9个点，且，现将上的每一个点与上的每一个点相连得到若干线段，则这些线段的交点（不包含两条直线上已知的19个点）个数最多有（    ）． A．90个 B．1620个 C．3240个 D．4005个 5、（1）如图，已知线段，点C是线段上一点，点M、N分别是线段，的中点． ①若，则线段的长度是_________； ②若，，求线段的长度(结果用含a、b的代数式表示)； （2）在（1）中，把点C是线段上一点改为：点C是直线上一点，，．其它条件不变，则线段的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学【综能】--七年级【秋季】 第9讲 线段动态问题 一、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，这时我们常用的技巧为：（1）找比例，设份数；（2）设未知数列方程；（3）用好双中点模型的关系； 二、如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 三、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 【例题1】 ①如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．    （1）若AB=10cm，求线段MN的长； （2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长； （3）请探究PN与AC的数量关系。 ②如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为AN的中点，Q为AM的中点，则BC：PQ等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【练习1】 ①如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段的中点，M、N分别是线段的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． ②如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【例题2】 ①在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． ②如图，设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），若M，N分别是，的三等分点，即，，则的长是________；若M，N分别是，的n等分点，即，，则的长是________；（用含有a的式子表示）． 【练习2】 ①已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． ②如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧． （1）DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长； （2）在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长； （3）若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求的值． 【例题3】线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ． 【练习3】 ①已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    ②已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 【例题4】如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【练习4】如图，射线上有三点、、，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动. （1）若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇? （2）当时，点运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点的运动速度; （3）当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值. 【例题5】已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP． （1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　； （2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由； （3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），线段AP、CQ、PQ有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【练习5】已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点． （1）如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)； （2）如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系； （3）当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系． 随堂小测 1、把一根木条钉牢在墙上，至少需要2颗钉子，这是因为 ． 2、下列说法中正确的是（　　） A．画一条2厘米长的射线 B．画一条2厘米长的直线 C．画一条3厘米长的线段 D．在线段、射线、直线中，直线最长 3、如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，且线段，则线段______。 4、如图，点C在线段AB上，D是线段CB的中点，若AC＝5，AD＝8，则线段AB的长为_________． 5、已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 6、如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（    ） A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒 7、如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（　　） A．不确定 B．2.5 C．3 D．3.5 8、已知线段，线段，且在同一条直线上，点B在A、C之间，此时的中点M、N之间的距离为（　　） A． B． C． D． 9、如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）． （1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值． （2）若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长． 10、线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． （1）如图1，当AC＝4时，求DE的长． （2）如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 课后作业 1、若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点…，按这样操作下去，线段的长度为（     ） A． B． C． D． 2、如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．    3、如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． （1）若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； （2）若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． （3）若，是数轴上的一点，且，求的值． 4、【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． （1）【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． （2）【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 5、材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 【初步感知】 （1）如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； （2）如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 【拓展运用】 （3）已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学【综能】--七年级【秋季】 第10讲 角度的概念与计算 一、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。 二、角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 三、用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165° 四、角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 1°=60’，1’=60” 五、角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 六、角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 七、余角和补角 ①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 【例题1】如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） （1）探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； （2）应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【练习1】如图，在锐角内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条射线，可得6个锐角；画3条射线，可得10个锐角…照此规律，画10条射线，可得锐角 个．    【例题2】 ①小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为________度． ②同一天中，从到，分针转了几度？时针转了几度？ 【练习2】 ①时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（　　） A． B． C． D． ②刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， （1）时分针和时针的夹角为多少度？ （2）经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 【例题3】 ①如图，，平分，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. ②如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 【练习3】 ①如图，，射线，分别平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ②如图，为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例题4】如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（     ） A． B． C． D． ②已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； 【练习4】 ①如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则，则________，________． ②如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． （1）如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由； （2）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由． 【例题5】 ①如图，平分，OE平分，则的度数为_______． ②如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC． （1）若∠AOB=100°，则∠MON的度数为________． （2）若∠AOB=ɑ，直接写出∠MON的度数=　 　（结果用含α的代数式表示）． 【练习5】 ①已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度，∠BOE=________度。 ②已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． ③如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． （1）如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； （2）如图1，若，β，分别是的角平分线，求的度数； （3）如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 随堂小测 1、如图，直线，交于点．射线平分，若，则等于（ ） A． B． C． D． 2、如图，直线，CD相交于点O，OA平分，，则（ ） A． B． C． D． 3、如图，则图中共有 个角． 4、钟表在9：10时，时针与分针所成的钝角为（    ） A． B． C． D． 5、计算：_______． 6、用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出的角的度数是（　　） A． B． C． D． 7、如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为(    )    A．20° B．30° C．40° D．50° 8、含的直角三角板如图所示放置（即直角的顶点O在直线上），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9、如图，∠AOB＝84°，∠BOC＝44°．OD平分∠AOC，则∠COD＝_____． 10、如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和． （1）求的度数； （2）如果．①求的度数；②若，直接写出的度数． 课后作业 1、以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，则∠AOC= ． 2、如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 ． 3、已知是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，与在直线的同侧． ①若∠，则的度数为______________； ②若，求的度数． （2）如图2，与在直线的异侧，直接写出和之间的数量关系，不必说明理由． 4、（1）①如图1所示，点O是直线上一点，平分，平分，则______º； ②如图2所示，射线在内部，且，平分，平分，则______º； （2）如图3所示，射线在内部，平分，平分．根据（1）的结果，请写出你发现的结论并说明理由； （3）若，射线在的外部，平分，平分，求的度数．（均指小于平角的角） 5、点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得． （1）如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°； （2）如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系； （3）过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学【综能】--七年级【秋季】 第9讲 线段动态问题 一、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 二、如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 三、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 【例题1】 ①如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．    （1）若AB=10cm，求线段MN的长； （2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长； （3）请探究PN与AC的数量关系。 【答案】(1)MN＝5cm (2)PN＝cm 【分析】（1）根据线段中点的性质可得MC＝AC，CN＝BC．再根据MN＝MC+CN＝AC+BC＝（AC+BC）代入计算即可得出答案； （2）先根据题意可计算出AP的长度，由线段中点的性质可得AB＝2AP，CB＝AB﹣AC，CN＝CB，再根据PN＝CN﹣CP代入计算即可得出答案． (1) 解：∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴MC＝AC，CN＝BC， ∴MN＝MC＋CN＝AC＋BC＝（AC＋BC）＝AB＝×10＝5（cm）. (2) 解：∵AC＝3，CP＝1， ∴AP＝AC＋CP＝4，   ∵点P是线段AB的中点， ∴AB＝2AP＝8，CB＝AB－AC＝5， ∵点N是线段CB的中点， ∴CN＝CB＝（cm），    ∴PN＝CN－CP＝－1＝（cm）． 【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键． ②如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为AN的中点，Q为AM的中点，则BC：PQ等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，可知BC=AC-AB=2AN-2AM=2MN，PQ=AP-AQ=AN-AM=（AN-AM）=MN，即可得出答案． 【详解】解：∵M、N分别是AB、AC的中点， ∴AC=2AN，AB=2AM， ∴BC=AC-AB=2AN-2AM=2MN， ∵P、Q分别为AN，AM的中点， ∴， ∴PQ=AP-AQ=AN-AM=（AN-AM）=MN， ∴BC：PQ=4 故选C． 【点睛】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 【练习1】 ①如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段的中点，M、N分别是线段的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离，关键是由线段中点定义得到，即可求出的值为． 由线段中点定义得到，由，即可得到，由线段中点定义得到，因此，即可求出的值为． 【详解】解：∵分别是线段的中点， ， ， ， ， ∵分别是线段的中点， ， ， ， ， 的值为， 故选：B． ②如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由和推出，由M为的中点可得出的长，进而可得的长度，由 N为的中点可得出的长度，进而即可求出的值．根据各线段之间的关系求出的长度是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 【例题2】 ①在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． ②如图，设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），若M，N分别是，的三等分点，即，，则的长是________；若M，N分别是，的n等分点，即，，则的长是________；（用含有a的式子表示）． 【答案】（1）6；（2）①；② 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． （1）由中点的定义可得，然后根据求解即可； （2）①由，可得，然后根据求解即可；②仿照（2）的过程求解即可． 【详解】解：（1），分别是，的中点 （2）① ； ② ． 【练习2】 ①已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴． ②如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧． （1）DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长； （2）在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长； （3）若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求的值． 【答案】(1)CE=2.5；(2)EF的长为0.5或5.5；(3)． 【分析】（1）根据AC=20，BC=AC可得BC的长度，再根据线段的中点可得答案； （2）分两种情况：当点F在点E的右侧或当点F在点E的左侧，再根据线段的中点计算即可； （3）根据DE的位置分情况计算即可． （1）解：∵AB=20，BC=AC，∴BC=5，AC=15，∵E为BC中点，∴CE=2.5； （2）解：当点F在点E的右侧，如图，EF=CF-CE=3-2.5=0.5， 当点F在点E的左侧，如图，EF=CF+CE=3+2.5=5.5， 综上：EF的长为0.5或5.5； （3）解：∵BC=AC，AB=2DE，满足关系式4BE=3（AD+CE），设CE=x，BC=5，AC=15，DE=10， ①当DE在线段AC上时，如图，则AD=15-x-10=5-x，BE=5+x， ∵4BE=3（AD+CE），即4（5+x）=3（5-x+x），解得x=-1.25，不合题意，舍去； ②当点C在DE之间时，如图，∴AD=15+x-10=5+x，BE=5-x， ∵4BE=3（AD+CE），即4（5-x）=3（5+x+x），解得x=0.5， ∴CD=10-0.5=9.5，∴； ③线段CB在线段DE上时，如图， 则AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），解得x=-17.5，不合题意，舍去； ④当D在CB之间时，如图， AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），解得x=-17.5，不合题意，舍去； ⑤当D在B的右边时，如图， AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），解得x=-17.5，不合题意，舍去． 综上，． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键，注意分情况计算． 【例题3】线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ． 【答案】 【分析】先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：因为线段，是的中点，所以； 因为是的中点，所以； 因为是的中点，所以；， 所以，所以，答案为：． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 【练习3】 ①已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∴，∴， ∴，……依次类推， ，∴，故答案为：4． ②已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段中点的定义，找规律，根据线段中点的定义分别求解线段，线段 的值，线段的值，通过找规律即可求出线段的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵、分别为线段、的中点，，∴， ∵分别为线段的中点，∴， ∵分别为线段的中点，∴，， ∴，故答案为：． 【例题4】如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7 【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且， ∴点表示的数为， 点P表示的数为， 故答案为：-6，； （2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得， ， 解得， ∴点运动7秒时追上点； （3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键． 【练习4】如图，射线上有三点、、，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动. （1）若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇? （2）当时，点运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点的运动速度; （3）当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值. 【答案】（1）45s;（2）或 ;(3)2 【详解】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇， 则t+2t=90+30+15， 解得t=45， 所以经过45秒时间P、Q两点相遇． （2）①当P在线段AB上时， ∵AB=90，PA=2PB， ∴PA=60，PB=30， ∴OP=OA+AP＝30+60＝90， ∴点P、Q的运动时间为90秒， ∵AB=90，OA＝30， ∴OB＝120， ∴BQ=OB=60， ∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75， ∴点Q是速度为cm/秒； ②点P在线段AB延长线上时， ∵AB=90，PA=2PB， ∴BP=90,AP=180, ∴OP=OA+AP=30+180=210, ∴点P、Q的运动时间为210秒， ∵AB=90，OA＝30， ∴OB＝120， ∴BQ=OB=60， ∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75， ∴点Q是速度为cm/秒； （3）如图所示： ∵E、F分别是OP、AB的中点， ∴OE=OP=t， ∴OF=OA+AB=30+45=75， ∴. 【例题5】已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP． （1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　； （2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由； （3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），线段AP、CQ、PQ有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】（1）4；（2）PQ是一个常数，即是常数m；（3）2PQ﹣2AP=CQ，见解析． 【分析】（1）根据已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答； （2）由题意根据已知条件AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP进行分析即可； （3）根据题意，画出图形，求得2AP﹣2PQ+CQ＝0，即可得出2PQ﹣2AP=CQ． 【详解】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵点C恰好在线段AB中点，∴AC＝BC＝AB， ∵AB＝6，∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；故答案为：4； （2）①点C在线段AB上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP=AC+BC＝×（AC+BC）＝AB=m； ②点C在线段BA的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m； ③点C在线段AB的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数）∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m； 故PQ是一个常数，即是常数m； （3）如图： ∵CQ＝2AQ， ∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0， ∴2PQ﹣2AP=CQ． 【点睛】本题主要考查线段上两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． 【练习5】已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点． （1）如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)； （2）如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系； （3）当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意表示出和的长度，然后即可求出； （2）根据题意表示出和的长度，再表示出和的长度，即可发现和之间的数量关系； （3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出和，即可发现，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，， ∴． （2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，， 因为，所以， 因为，所以． （3）如图①， 当点M在点B的左侧时，， 所以； 如图②，当点M在点B的右侧时，， 所以． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键． 随堂小测 1、把一根木条钉牢在墙上，至少需要2颗钉子，这是因为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．根据两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：把一根木条钉牢在墙上，至少需要2颗钉子，这是因为经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 2、下列说法中正确的是（　　） A．画一条2厘米长的射线 B．画一条2厘米长的直线 C．画一条3厘米长的线段 D．在线段、射线、直线中，直线最长 【答案】C 【分析】直线是向两端无线延长；射线是过一点朝着一个方向无线延长；直线上两点和它们之间的部分叫做线段，依据直线、射线、线段的概念，即可得出结论． 【详解】解：A．因为射线的长度无法度量，画一条2厘米长的射线说法错误，故本选项错误； B．因为直线的长度无法度量，画一条2厘米长的直线说法错误，故本选项错误； C．线段是直线上两点间的部分，可以度量，画一条3厘米长的线段说法正确，故本选项正确； D．因为直线、射线无法度量，因此在线段、射线、直线中，直线最长说法错误故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的概念，明确直线、射线、线段的区别是解决问题的关键． 3、如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，且线段，则线段______。 【答案】5 【分析】根据图形得出AD-BC=AB+CD即可求解． 【详解】解：∵AB+CD=5， ∴AD-BC=AB+CD=5． 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查线段的和差，结合图形求解是解题关键． 4、如图，点C在线段AB上，D是线段CB的中点，若AC＝5，AD＝8，则线段AB的长为_________． 【答案】11 【分析】先根据线段的和差关系求得CD，再根据中点的定义求得BD，再根据线段的和差关系求得AB； 【详解】解：∵， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查两点间的距离，中点的定义，熟练掌握两点间的距离是解题的关键． 5、已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 【答案】C 【详解】当N在射线BA上时，，不合题意 当N在射线AB上时，，此时 当N在线段AB上时， 由图可知 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 6、如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（    ） A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒 【答案】C 【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解． 【详解】解：由已知当PB=AB时，PB=，设点P运动时间为t秒，则AP=2t 当点P在B点左侧时2t+=8 解得t=，当点P在B点左侧时2t-=8 解得t= 所以t=或t=．故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程． 7、如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（　　） A．不确定 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】由D为中点，E为中点得到，，进一步可得到的长度． 【详解】解：∵D为中点，E为中点，∴，， ∴．故选：C 【点睛】此题考查了线段中点的相关计算，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 8、已知线段，线段，且在同一条直线上，点B在A、C之间，此时的中点M、N之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由中点的定义，分别求出和的长度，然后即可求出的长度． 【详解】解：根据题意，如图： ∵点M、N分别为是的中点，，， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义进行计算． 9、如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）． （1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值． （2）若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长． 【答案】（1）2 cm；（2）2.5cm． 【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案； （2）根据题意可知BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，依此即可求出AM的长． 【详解】解：（1）当点C，D运动了2s时，CM＝2 cm，BD＝6 cm， ∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm， ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2 cm； （2）∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3 cm/s， ∴BD＝3CM． 又∵MD＝3AC， ∴BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM， ∴AMAB＝2.5cm． 【点睛】本题考查关于线段的计算等知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答． 10、线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． （1）如图1，当AC＝4时，求DE的长． （2）如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 课后作业 1、若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点…，按这样操作下去，线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，和两点之间的距离，找出题目中的规律，即可得到结论． 【详解】由题意可知：如图 写出线段的长， ，是的中点得， ，是的中点得， ，是的中点得，…… 根据线段的长，找出规律， ∵， ， ， ， ， ……， ∴线段（为正整数） ∴线段 故选：A. 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键. 2、如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．    【答案】或或33 【分析】分点为的中点，点为的中点，为的中点，三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵，∴， ①当点为的中点时，，解得：； ②当点为的中点时，，解得：； ③当为的中点时，，解得：； 综上：或或；故答案为：或或33 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，与线段中点有关的计算．解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想，正确的列出方程． 3、如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． （1）若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； （2）若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． （3）若，是数轴上的一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)当时点是线段的中点 (3)或1 【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求； （2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解； （3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵点表示，点表示7， ∴， ∴ ∴． （2）解：∵点，分别表示，6， 所以，，，，， 当是的中点时，即， ∴当时点是线段的中点． （3）解：①当点在线段上时，如图 ∵， 又∵ ∴， 又∵ ∴，即 ②当点在线段的延长线上时，如图 ∵，又∵ ∴，即 综上所述或1． 【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系． 4、【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． （1）【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． （2）【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 【答案】(1)， (2)①；②1或8 【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案； （2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）①设运动时间为，则，， 根据“点值”的定义得：，， 的值是个定值， 的值是个定值， ； ②当点从点向点方向运动时， ， ， ； 当点从点向点方向运动时， ， ， ， 的值为1或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键． 5、材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 【初步感知】 （1）如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； （2）如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 【拓展运用】 （3）已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)，(2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【分析】（1）根据材料阅读，即可求解；（2）根据材料阅读，可表示和，即可求解；（3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵，∴，故答案为：， （2）解：∵，∴，∵∴， ∴，∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵∴， ∵∴，∴， ∵，∴，         解得：； 当点Q到达点A返回时，此时，∴ ∵，∴，∵∴   ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学【综能】--七年级【秋季】 第10讲 角度的概念与计算 一、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。 二、角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 三、用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165° 四、角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 1°=60’，1’=60” 五、角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 六、角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 七、余角和补角 ①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 【例题1】如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） （1）探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； （2）应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③(2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ，∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ，∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线， ，∴得到个角； （2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 【练习1】如图，在锐角内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条射线，可得6个锐角；画3条射线，可得10个锐角…照此规律，画10条射线，可得锐角 个．    【答案】66 【分析】此题考查角的概念，解题关键在于掌握从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是，难度适中．根据题意，从基本图形出发，看每一次所得锐角个数比上一次增加多少个锐角，寻找一般规律即可得出答案． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角； 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角； 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角；… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是： ， ∴画10条不同射线，可得锐角（个）．故答案为：66． 【例题2】 ①小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为________度． 【答案】22.5 【分析】根据分针与时针每分钟转动的度数，得出2点时的夹角，然后根据15分钟内它们所转动的角度，可得答案． 【详解】解：对于分针，每分钟转动360÷60=6° 对于时针，每分钟转动6÷12=0.5° 在2点整，分针落后时针×360=60° 而再过15分钟，分针追上（6-0.5）×15=82.5° 即两针夹角为：82.5-60=22.5° 故答案为：22.5． 【点睛】本题考查了钟面角，理解时针与分针转动角度的意义所在，时钟的时针跟分针都会同时转动是解题关键． ②同一天中，从到，分针转了几度？时针转了几度？ 【答案】分针转了210度，时针转了17.5度 【分析】根据分针每分钟转，时针每分钟转，即可求解． 【详解】解：同一天中，从到，所经过的时间为35分钟， ，， 分针转了210度，时针转了17.5度． 【点睛】本题考查钟面角，解题的关键是掌握“时钟上分针每分钟转，时针每分钟转”． 【练习2】 ①时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．确定时针与分针相距的份数是解题关键． 【详解】解：6点10分时时针与分针相距份， 在6点10分时，时针和分针所成角度是， 故选：． ②刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， （1）时分针和时针的夹角为多少度？ （2）经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 【答案】(1)时分针和时针的夹角为75度； (2)经过分钟，时针与分针第一次相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解； （2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解． 【详解】（1）解：时针每分钟转， 时分针和时针的夹角为：， （2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇， 则：， 解得：， 答：经过分钟，时针与分针第一次相遇． 【例题3】 ①【变式练习2】如图，，平分，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，平分，得到，进而得到，再根据平分，得到，即可得到的度数． 【详解】解： 平分，， ， ， ， 平分， ， ， 故选：D． ②如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 【答案】132 【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设，，根据，得，再根据角平分线的定义得，由平角的定义得，即，将代入可得，进而可求出，然后再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：132． 【练习3】 ①如图，，射线，分别平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差倍分，设未知数，列出一元一次方程，是解题的关键．首先设设，则，，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵射线、分别平分，， ∴，， 又∵， ∴，解得：， ∴． 故选：B． ②如图，为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及角平分线性质、角度和差倍分关系、解方程等知识，由角平分线定义及题中条件，设，，则，数形结合，根据角度之间的关系列方程求解即可得到答案． 【详解】解： 是的平分线， ， ， ， 设，，则， ，则， 由①②得，即， 故选：B． 【例题4】如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． ②已知点为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； 【答案】(1)40°(2)45° 【分析】（1）先求出∠MOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BOM的度数即可求出∠AOM的度数； （2）先根据角平分线的定义结合已知求出∠MOC=3∠CON，由此得到4∠CON=90°，即可求出∠BON=45°，据此即可得到答案． （1）解：，， ， 平分， ， ； （2） ，平分， ， ， ， ． 方法或规律点拨 本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，三角板中角度的计算，熟知角平分线的定义是解题的关键． 【练习3】 ①如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则，则________，________． 【答案】     25°，     65° 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠AOC+∠DOB=180°，进而可得出∠COD的度数，再由∠BOC=∠DOB-∠COD即可得出结论． 【详解】解：∵△AOC△BOD是一副直角三角板， ∴∠AOC+∠DOB=180°， ∴∠AOB+∠COD=∠DOB+∠AOD+∠COD=∠DOB+∠AOC=90°+90°=180°， ∵∠AOB=155°， ∴∠COD=180°-∠AOB=180°-155°=25°，∠BOC=∠DOB-∠COD=90°-25°=65°． 故答案为：25°；65°． 【点睛】本题考查的是角的计算，熟知直角三角板的特点是解答此题的关键． ②将一副直角三角板ABC和DEF如图放置（其中∠A=60，∠F=45），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为 . 【答案】15 【详解】 由图形可知：∠ACB=30，∠DEF=45 ∵ED∥BC，∴∠DEC=∠ACB=30 ∴∠CEF=∠DEF－∠DEC =45－30=15. ③如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． （1）如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由； （2）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由． 【答案】(1)CB是∠ECD的角平分线；理由见详解； (2)∠ACE=∠DCE；理由见详解； 【分析】（1）根据∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，可知∠ECB=∠ACB=45°，进而可知∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，则∠ECB=∠DCB，由此可证CB是∠ECD的角平分线； （2）由∠ACB=∠DCE=90°，可知∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，则∠ACE=∠DCB． （1） 解：猜想CB是∠ECD的角平分线，理由如下： ∵∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线， ∴∠ECB=∠ACB=45°， ∴∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°， ∴∠ECB=∠DCB， ∴CB是∠ECD的角平分线； （2） 猜想：∠ACE=∠DCE，理由如下： ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACE＋∠ECB=90°， ∠DCB＋∠ECB=90°， ∴∠ACE=∠DCB． 【点睛】本题考查角平分线的判定，角度的转换，能够根据题意分析出角的变换过程是解决本题的关键． 【变式练习4】如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC． （1）若∠AOB=100°，则∠MON的度数为________． （2）若∠AOB=ɑ，直接写出∠MON的度数=　 　（结果用含α的代数式表示）． 【答案】(1)50° (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据，即可计算； （2）根据（1）中的结论直接得到答案； （3）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据角的和差计算． （1） 解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =50°； （2） ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =； 故答案为：； 【点睛】本题考查角的和差计算，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和理解角的和差运算是解题的关键． 【变式练习1】如图，平分，OE平分，则的度数为_______． 【答案】30°##30度 【分析】根据角平分线的定义可知：，可求得，由此即可求得． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∵OE平分， ∴， 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义，利用定义进行求角度是解题的关键． 例3．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度，∠BOE=________度。 【答案】 【分析】设，，根据是的平分线，是的平分线，得到，，由可得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：设，，∴， ∵是的平分线，是的平分线，， ∴，， ∵，∴，解得：， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线定义和角的有关计算的应用，运用了方程的思想．根据题意并结合图形建立等量关系式是解题的关键． 【变式4-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线和角三等分线的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．为的三等分线，设，则或2x，再由平分，设，则，则或，由此求解即可． 【详解】解：∵为的三等分线，设，则或2x， ∵平分，设，则， 则或， ∵平分， ∴或， ∴或x， ∵， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 【变式7-3】（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． （1）如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； （2）如图1，若，β，分别是的角平分线，求的度数； （3）如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 随堂小测 1、如图，直线，交于点．射线平分，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知条件先计算∠COE=∠BOE=35°，再根据平角得出∠AOE=∠AOC+∠COE即可 【详解】 解：∵∠BOC=70°，OE平分∠BOC， ∴∠COE=∠BOE=35°，∠AOC=110° ∴∠AOE=∠AOC+∠COE=35°+110°=145° 故选：D 【点睛】 本题考查角平分线的定义，角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是关系 2、如图，直线，CD相交于点O，OA平分，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据邻补角互补即可求出∠EOD，根据角平分线定义求出∠AOC，再根据对顶角相等求出∠BOD即可. 【详解】 解：∵∠EOC+∠EOD=180°，∠EOC：∠EOD=2：3， ∴∠EOC=×180°=72°，∠EOD=108°， ∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC=∠EOC=36°， ∴∠BOD=∠AOC=36°； 故选B. 【点睛】 本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算. 3、如图，则图中共有 个角． 【答案】 【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个． 【详解】解：∵图中有两条射线， ∴图中角的数量为个， 故答案为：． 4、钟表在9：10时，时针与分针所成的钝角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由钟面角的定义可求出∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOB=30°，由钟面上时针、分针在转动过程中所成角度的变化关系可求出∠AOC=25°，进而求出答案． 【详解】解：如图， 由钟面角的定义可知， ∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOB=360°×=30°， ∠AOC=30°×（1-）=25°， ∴∠AOB=30°×4+25° =145°， 故选：C． 【点睛】本题考查钟面角，掌握钟面角的定义以及钟面上时针、分针在转动过程中所处角度的变化关系是正确解答的关键． 5、计算：_______． 【答案】 【分析】先计算乘法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角度制的四则运算，熟练掌握角度制是解题的关键． 6、用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出的角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角板的内角的度数分别为45°、90°、30°、60°，再利用角的和差关系一一分析即可得出结论． 【详解】解：三角板的内角的度数分别为45°、90°、30°、60°， 选项A：因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故A项不符合题意； 选项B：因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故B项不符合题意； 选项C：因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故C项不符合题意； 选项D：因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出，故D项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查对角的认识与角的计算的理解和掌握能力．明确三角板内角的度数（一组：、、；一组：、、）是解本题的关键． 7、如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为(    )    A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 【分析】先根据直角三角板的性质得出，进而可得出的度数． 【详解】解：，是一副直角三角板， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是角的计算，余角，解题的关键是熟知直角三角板的特点． 8、含的直角三角板如图所示放置（即直角的顶点O在直线上），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角板中的角度计算和余角的性质，熟练掌握等角或同角的余角相等，是解题的关键． 9、如图，∠AOB＝84°，∠BOC＝44°．OD平分∠AOC，则∠COD＝_____． 【答案】64°##64度 【分析】由图可知∠AOC＝∠AOB+∠BOC，根据已知可求出∠AOC，再根据角平分线的性质可求出∠COD． 【详解】解：∵∠AOB＝84°，∠BOC＝44°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝84°+44°＝128°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC＝×128°＝64°． 故答案为：64°． 【点睛】本题考查了角的计算和角平分线的定义．掌握角平分线的定义的运用，能求出各个角的度数是解此题的关键． 10、如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和． （1）求的度数； （2）如果．①求的度数；②若，直接写出的度数． 【答案】(1)；(2)①；②或． 【分析】（1）由角平分线定义可知，，再根据和可得结果；（2）①利用角之间的和差关系求解即可；②分当在上方时，当在下方时，利用角之间的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和，∴，， 则， ∵，∴； （2）①∵，，∴， 由（1）可知，，则， ∴， ②由①可知，，∵平分，∴， 当在上方时，； 当在下方时，；综上，为或． 【点睛】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角之间的和差关系． 课后作业 1、以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，则∠AOC= ． 【答案】15°或135°． 【分析】分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可． 【详解】分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x， ∠BOC=4x， ∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=27°， ∴5x+4x=27， 解得：x=3， ∴∠AOC=15°； ②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x， ∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，又∠AOB=27°， ∴5x=27+4x， 解得：x=27 ∴∠AOC=135°， 故答案为15°或135°． 【点睛】考查了角的计算．属于基础题，关键是分两种情况进行讨论． 2、如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 ． 【答案】40 【分析】设，，根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：设，， ∵是的平分线，∴，∴， ∵是的平分线，∴， ∵，∴， ∴，∴，即的大小等于，故答案为：40． 【点睛】本题考查角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，解题关键是找出图中各角之间的和差关系． 3、已知是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，与在直线的同侧． ①若∠，则的度数为______________； ②若，求的度数． （2）如图2，与在直线的异侧，直接写出和之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）①，②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①由为直角，，可求得度数，再由平分，以及和为邻补角即可求出； ②同①可得结论； （2）设，可以求出，再由角平分线以及邻补角可求出，得出和的关系． 【小问1详解】 ①∵为直角， ∴． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ②∵为直角， ∴． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 【小问2详解】 设， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角度的计算，主要涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角． 4、（1）①如图1所示，点O是直线上一点，平分，平分，则______º； ②如图2所示，射线在内部，且，平分，平分，则______º； （2）如图3所示，射线在内部，平分，平分．根据（1）的结果，请写出你发现的结论并说明理由； （3）若，射线在的外部，平分，平分，求的度数．（均指小于平角的角） 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，掌握角平分线的定义是解答的关键． （1）①利用角平分线的定义和平角定义求解即可；②利用角平分线的定义求解即可； （2）利用角平分线的定义求解即可； （3）画出图形，利用角平分线的定义和周角定义求解即可． 【详解】解：（1）①∵点O是直线上一点， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵射线在内部，且， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2），理由为： ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 5、点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得． （1）如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°； （2）如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系； （3）过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数． 【答案】(1)45 (2) (3)为或 【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可． （2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可． （3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可． 【详解】（1）平分，平分， ， （2） 平分， ， 根据图形有：， ， ， ， ， （3）当H在K左侧时 平分 平分 当K在H左侧时 平分 平分 综上所述：为或 【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学【综能】--七年级【秋季】 第11讲 角度中动态问题 一、角度关系、角平分线与多结论问题； 二、角度中新定义角度模型； 三、动态问题中的定值探索与证明； 四、探索动态过程中角度间的关系； 五、根据运动结果求解运动时间； 【例题1】如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．   ①；②； ③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【练习1】如图，在内部，且，是的平分线，，则下列结论： ①；②；③；． 其中正确结论有 （写序号）．    【例题2】综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”． （1）若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________． （2）如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）． 【练习2】【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】 （1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数； ②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【例题3】如图1，点为直线上一点，过点作射线． （1）若使，将直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．在图中， °； （2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，平分，求的度数； （3）将上述直角三角板按图3的位置放置，在的内部，说明的值固定不变． 【练习3】如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． （1）如图1，若，则______°，______°，______°； （2）如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    【例题4】如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． （1）如图，当，重合时，求的度数； （2）当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． （3）当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 【练习4】已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转形成． （1）如图1，若，比较和的大小，并说明理由； （2）作射线，射线为的平分线，设． ①如图2，当，若射线恰好平分，求的度数； ②当时，请探究与之间的数量关系． 【例题5】综合探究： 【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方． 【问题解决】： （1）如图1，若，则______； （2）若恰好平分，求和的度数； 【拓展延伸】： （3）将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值． 【练习5】已知直线过点O，，是的平分线． （1）操作发现：①如图 1，若，则 °． ②如图1，若，则 °． ③如图1，若，则 ． （用含α的代数式表示） （2）操作探究：将图 1 中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由． （3）如图3，已知，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后， 随堂小测 1、时间为14点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数是_________度． 2、如图，将两块直角三角板的直角顶点重合，若∠AOD=128°，则∠BOC=_________． 3、如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4、 已知：如图，，是的平分线，是的平分线，那么等于______． 5、将一副三角尺按如下列各图所示的不同位置摆放，其中与一定互余的摆放方式是（ ） A. B. C. D. 6、如图，为直线，为射线，且OC平分，平分．则的度数是_______． 7、如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ． 8、如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺的三个角是．三角尺的三个角是． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 9、如图，与互为补角，与互为余角，且， （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 10、如图，已知，是的平分线，在内． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 课后作业 1、【多选题】已知，是的三等分线，，是的三等分线，则结论正确的有（ ） A. B. C. 是的角平分线 D. 若，则和互余 2、如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． （1）如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； （2）如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 3、如图，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）当时，三角板绕点以每秒6沿逆时针方向旋转秒（），请探究和之间的数量关系． 4、钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格．如图，设在时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为（本题中的角均指小于的角）． （1）求开始几分钟后分针第一次追上时针； （2）若在至之间，在内，在内，，． ①当在内时，求和之间的数量关系； ②从开始几分钟后，． 5、如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，． （1）若，请说明射线是的角平分线； （2）射线在直线上方，平分，： ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$