福建省厦门市第九中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年福建省厦门九中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（共10小题，共40分） 1．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A． B．33 C． D．2 3．（4分）下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，6，8 D．6，8，10 4．（4分）某校5名同学在歌唱比赛中的成绩（单位：分）分别为86，90，95，90，88，这组数据的中位数是（　　） A．86 B．88 C．90 D．95 5．（4分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D．2.5 7．（4分）如图，在△ABC中，DE是中位线，点F在DE上，∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝13，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2.5 C．3 D．4 8．（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝146 B．50（1+x）+50（1+x）2＝146 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝146 D．50（1+x）+50（1+2x）＝146 9．（4分）阅读图中信息，其中说法正确的是（　　） A．琳琳对 B．梅梅对 C．琳琳与梅梅都对 D．琳琳与梅梅都不对 10．（4分）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 二、填空题（共6小题，第11题（1）1分，（2）1分，（3）2分，其余每空4分，共24分） 11．（4分）化简：（1） 　 　 ；（2） 　 　 ；（3） 　 　 ． 12．（4分）一组数据：5，5，5，5，5，那么这组数据的方差是　 　 ． 13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，若∠C＝150°，则∠BAE＝ 　 　 ． 14．（4分）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为 　 　 ． 15．（4分）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变子我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，AC＞BC），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离S1，S2（km）与飞行时间t（min）之间的函数关系如图2所示，若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站A离驿站B的距离是　 　 ． 16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°，②△AEG的周长为，③BE2+DG2＝EG2；④当时，G是线段AD的中点，其中正确的结论是 　 　 ． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（10分）（1）计算：． （2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 18．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE＝AD． 19．（8分）先化简，再求值：，其中a1． 20．（8分）如图，一次函数y＝kx+3的图象经过点M（﹣2，1）． （1）求这个一次函数的表达式． （2）在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 21．（10分）为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分 信息一： 初中组A队伍的各项成绩如表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 信息二： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中和高中组备20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 8.15 8 a 2.23 高中组 8.4 b 10 2.44 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，搭建项目成绩更稳定的是　 　 （填“初中组”或“高中组”）； （2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照3：1：4：2的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； （3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 22．（8分）如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB）． （1）尺规作图：作以AC为对角线，且点E、F分别在BC、AD上的菱形AECF；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求菱形AECF的面积． 23．（10分）随着电子商务的蓬勃发展，物流行业竞争日益激烈．某市有两家物流公司A和B，为了吸引客户，各自推出了不同的运费方案．物流A公司采用“基础运费+超程单价”的收费模式，而物流B公司则推出“分段优惠”政策．以下是两家公司的具体收费标准和两次运输记录： 物流A公司的收费标准：基础运费覆盖0﹣300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费． 运输记录如下：运输货物甲：货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元 运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元 物流B公司的收费标准：0﹣500公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收3.2元． 问题：（1）根据物流A公司的两次运输记录，求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费），请列方程（组）解答． （2）某客户需要运送一批货物，运输距离为d公里．请根据两家公司的收费标准，分析该客户选择哪家物流公司更合算，并给出具体的决策依据． 24．（12分）已知▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝AC． （1）如图1，AB⊥AC，过点C作CF⊥BD于点F，连接AF，过点A作AE⊥AF交BD于点E，求证：OE＝CF+OF． （2）如图2，若∠BAC＝60°，AB＝12，点P是直线BD上的一个动点，∠PAP′＝60°且AP＝AP′，连接DP′，当AP′+DP′的值最小时，求AP的长． 25．（12分）如图，已知A（a，0），B（m+6，m+2），C（m，m+2），AB∥OC，直线y＝﹣x+n经过A，C两点，另有一条直线l：y＝kx+t． （1）判断四边形OABC的形状，并证明． （2）当t＝3，且l⊥AC时，直线l与直线AC的交点坐标为　 　 ； （3）当时． ①若直线l与四边形OABC相交，则t的取值范围是　 　 ；若直线l平分四边形OABC的面积，则t＝　 　 ； ②若直线l与直线AC交于点D，DE⊥x轴，垂足为E，DF⊥y轴，垂足为F，记，当﹣9≤t＜9时，求w的取值范围． 2024-2025学年福建省厦门九中八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C D C C B A A 一、选择题（共10小题，共40分） 1．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴x﹣1≥0， ∴x≥1， 故选：A． 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A． B．33 C． D．2 【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（4分）下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，6，8 D．6，8，10 【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、32+42≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、42+62≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、62+82＝102，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（4分）某校5名同学在歌唱比赛中的成绩（单位：分）分别为86，90，95，90，88，这组数据的中位数是（　　） A．86 B．88 C．90 D．95 【解答】解：将5名同学的成绩重新排列为：86、88、90、90、95， 所以这组数据的中位数为90， 故选：C． 5．（4分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在y＝﹣2x﹣1中， ∵﹣2＜0，﹣1＜0， ∴此函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 6．（4分）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D．2.5 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAB＝90°， ∴OB， ∴这个点表示的示数是， 故选：C． 7．（4分）如图，在△ABC中，DE是中位线，点F在DE上，∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝13，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2.5 C．3 D．4 【解答】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴DEBC＝6.5， 在Rt△AFB中，D是AB的中点， ∴DFAB＝3.5， ∴EF＝DE﹣DF＝3， 故选：C． 8．（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝146 B．50（1+x）+50（1+x）2＝146 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝146 D．50（1+x）+50（1+2x）＝146 【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50（1+x）+50（1+x）2＝146． 故选：B． 9．（4分）阅读图中信息，其中说法正确的是（　　） A．琳琳对 B．梅梅对 C．琳琳与梅梅都对 D．琳琳与梅梅都不对 【解答】解：根据题意得y﹣2＝k（x+1）+b， ∴y﹣2＝kx+k+b， ∵y＝kx+b， ∴﹣2＝k， 解得k＝﹣2． ∵b可以是任意数， ∴琳琳对， 故选：A． 10．（4分）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N， ∵∠EBM+∠CBM＝90°，∠ABC+∠CBM＝90°， ∴∠EBM＝∠ABC， 在△BME与△BAC中， ， ∴△BEM≌△BCA（AAS）， ∴BM＝AB＝b，EM＝AC＝a， 同理可证△CND≌△CAB， ∴EM＝AC＝a，ND＝AB＝b， 在△EFM中，FM2+EM2＝EF2，即（2b）2+a2＝34， 在△HND中，HN2+ND2＝HD2，即（2a）2+b2＝16， ∴a，b，c． ∴S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD ＝c2+b2+a2+2ab＝28． 故选：A． 二、填空题（共6小题，第11题（1）1分，（2）1分，（3）2分，其余每空4分，共24分） 11．（4分）化简：（1） 　3　 ；（2） 　1　 ；（3） 　　 ． （2）根据二次根式的性质进行计算即可； （3）先判断的大小，再估算的大小，最后根据绝对值的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：3； （2）， 故答案为：1； （3）∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12．（4分）一组数据：5，5，5，5，5，那么这组数据的方差是　0　 ． 【解答】解：∵数据：5，5，5，5，5没有波动， ∴这组数据的方差为0， 故答案为：0． 13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，若∠C＝150°，则∠BAE＝ 　60°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠C＝150°， ∴∠B＝30°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°． 故答案为：60°． 14．（4分）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为 　x＞1　 ． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点是（1，0）， ∴关于x的不等式ax+b＜0的解集为x＞1． 故答案为：x＞1． 15．（4分）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变子我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，AC＞BC），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离S1，S2（km）与飞行时间t（min）之间的函数关系如图2所示，若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站A离驿站B的距离是　35km　 ． 【解答】解：根据图中信息，得到A到C的距离为20千米，甲2小时行了12千米，乙2小时行了9千米． 甲从A到C用的时间：20（小时）， 乙从B到C的距离：3×5＝15（千米）， 所以驿站A离驿站B的距离是：20+15＝35（千米）． 故答案为：35km． 16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°，②△AEG的周长为，③BE2+DG2＝EG2；④当时，G是线段AD的中点，其中正确的结论是 　①④　 ． 【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH． ∵BE＝BH，∠EBH＝90°， ∴EHBE， ∵AFBE， ∴AF＝EH， ∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH， ∴AE＝HC， ∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB， ∵∠ECH+∠CEB＝90°， ∴∠AEF+∠CEB＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确， 如图2中，延长AD到N，使得DN＝BE，则△CBE≌△CDN（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCN， ∴∠ECN＝∠BCD＝90°， ∴∠ECG＝∠GCN＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CN， ∴△GCE≌△GCN（SAS）， ∴EG＝GN， ∵GN＝DG+DN，DN＝BE， ∴EG＝BE+DG，故③错误， ∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AN＝AD+DN+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误， 当BEa时，设DG＝x，则EG＝xa， 在Rt△AEG中，则有（xa）2＝（a﹣x）2+（a）2， 解得x， ∴AG＝GD，故④正确， 故答案为：①④． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（10分）（1）计算：． （2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 【解答】解：（1）原式＝（9﹣2）﹣（6+3） ＝7﹣6﹣3 ＝1﹣3； （2）x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， ∴x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1． 18．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE＝AD． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∴∠BCO＝∠AEO， ∵O是AB的中点， ∴AO＝BO， 又∵∠AOE＝∠BOC， ∴△ADE≌△BOC（AAS）， ∴AE＝BC， ∴AE＝AD． 19．（8分）先化简，再求值：，其中a1． 【解答】解：原式 ． 当时， 原式． 20．（8分）如图，一次函数y＝kx+3的图象经过点M（﹣2，1）． （1）求这个一次函数的表达式． （2）在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 【解答】解：（1）由题意，∵一次函数y＝kx+3的图象经过点M（﹣2，1）， ∴﹣2k+3＝1． ∴k＝1． ∴一次函数的表达式为y＝x+3． （2）由题意，结合（1）y＝x+3， ∴图象与x轴交点为（﹣3，0），与y轴交点为（0，3）． ∴作图如下． 21．（10分）为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分 信息一： 初中组A队伍的各项成绩如表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 信息二： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中和高中组备20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 8.15 8 a 2.23 高中组 8.4 b 10 2.44 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　10　 ，b＝　9　 ，搭建项目成绩更稳定的是　初中组　 （填“初中组”或“高中组”）； （2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照3：1：4：2的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； （3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 【解答】解：（1）初中组9分人数为20﹣（4+3+5+6）＝2（人）， 所以初中组的众数a＝10，高中组的中位数b＝9， 因为初中组的方差比高中组小，所以搭建项目成绩更稳定的是初中组； 故答案为：10，9，初中组； （2）A队的平均成绩为7（分）， 答：A队的平均成绩为7分； （3）60×（15%+40%）＝33（支）， 答：估计本次比赛高中组约有33支队伍在搭建项目中获得优秀． 22．（8分）如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB）． （1）尺规作图：作以AC为对角线，且点E、F分别在BC、AD上的菱形AECF；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求菱形AECF的面积． 【解答】解：（1）①分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N， ②过点M，N作直线交BC于点E，交AD于点F，交AC于点O， ③连接AE，CF，则四边形AECF是菱形，如图所示： 理由如下： 由作图可知：EF是线段AC的垂直平分线， ∴AE＝CE，AF＝CF，OA＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△OAF和△OCE中， ， ∴△OAF≌△OCE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴AE＝CE＝AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； （2）在矩形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝AD＝4， 设菱形AECF的边长为a， ∴AE＝CE＝a， ∴BE＝BC﹣CE＝4﹣a， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2， ∴a2＝22+（4﹣a）2， 解得：a， ∴CE＝a， ∴菱形AECF的面积为：CE•AB5． 23．（10分）随着电子商务的蓬勃发展，物流行业竞争日益激烈．某市有两家物流公司A和B，为了吸引客户，各自推出了不同的运费方案．物流A公司采用“基础运费+超程单价”的收费模式，而物流B公司则推出“分段优惠”政策．以下是两家公司的具体收费标准和两次运输记录： 物流A公司的收费标准：基础运费覆盖0﹣300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费． 运输记录如下：运输货物甲：货物从厦门运往宁德，距离340公里，总运费900元 运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离420公里，总运费1140元 物流B公司的收费标准：0﹣500公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收3.2元． 问题：（1）根据物流A公司的两次运输记录，求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费），请列方程（组）解答． （2）某客户需要运送一批货物，运输距离为d公里．请根据两家公司的收费标准，分析该客户选择哪家物流公司更合算，并给出具体的决策依据． 【解答】解：（1）设该物流A公司的基础运费是x元，超程单价是y元/公里， 根据题意得：， 解得：． 答：该物流A公司的基础运费是780元，超程单价是3元/公里； （2）当0＜d≤300时，选择物流A公司的费用为780元，选择物流B公司的费用为1200元， ∵780＜1200， ∴当0＜d≤300时，选择物流A公司更合算； 当300＜d≤500时，选择物流A公司的费用为780+3（d﹣300）＝（3d﹣120）元，选择物流B公司的费用为1200元， 若3d﹣120＜1200，则d＜440， ∴当300＜d＜440时，选择物流A公司更合算； 若3d﹣120＝1200，则d＝440， ∴当d＝440时，选择物流A，B两公司费用相同； 若3d﹣120＞1200，则d＞440， ∴当440＜d≤500时，选择物流B公司更合算； 当d＞500时，选择物流A公司的费用为780+3（d﹣300）＝（3d﹣120）元，选择物流B公司的费用为1200+3.2（d﹣500）＝（3.2d﹣400）元， 若3d﹣120＞3.2d﹣400，则d＜1400， ∴当500＜d＜1400时，选择物流B公司更合算； 若3d﹣120＝3.2d﹣400，则d＝1400， ∴当d＝1400时，选择物流A，B两公司费用相同； 若3d﹣120＜3.2d﹣400，则d＞1400， ∴当d＞1400时，选择物流A公司更合算． 答：当0＜d＜440或d＞1400时，选择物流A公司更合算；当d＝440或d＝1400时，选择物流A，B两公司费用相同；当400＜d＜1400时，选择物流B公司更合算． 24．（12分）已知▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝AC． （1）如图1，AB⊥AC，过点C作CF⊥BD于点F，连接AF，过点A作AE⊥AF交BD于点E，求证：OE＝CF+OF． （2）如图2，若∠BAC＝60°，AB＝12，点P是直线BD上的一个动点，∠PAP′＝60°且AP＝AP′，连接DP′，当AP′+DP′的值最小时，求AP的长． 【解答】（1）证明：在DF上取点G，使得FG＝FC，连接CG，如图： ∵CF⊥BD， ∴△CFG为等腰直角三角形， ∴∠CGF＝45°， ∵∠BAC＝90°，AE⊥AF， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵∠AOC＝∠COF， ∴∠ABO＝∠OCF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠AEF＝45°＝∠CGF， ∴AE∥CG， ∴∠EAO＝∠OCG， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC， 在△AOE和△COG中， ， ∴△AOE≌△COG（ASA）， ∴OE＝OG＝OF+FG＝OF+FC； （2）解：连接CP′，BP′，如图： ∵∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴△ACD也为等边三角形，OA＝OC， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°，BD是∠ADC的平分线， ∴∠ADP＝30°， ∵∠P′AP＝60°， ∴∠CAP′＝∠DAP， 在△ACP′和△ADP中， ， ∴△ACP′≌△ADP（SAS）， ∴∠ACP′＝∠ADP＝30°， ∴P′在△ACB的角平分线上， ∵△ABC是等边三角形， ∴CP′垂直平分AB， ∴AP′＝BP′， ∴当P′在BD上时，AP′+DP′的值最小， ∵AC⊥BD，PP′在BD上，AP＝AP′， ∴∠OAP＝30°， ∵OAAC＝6， ∴APOA＝4． 25．（12分）如图，已知A（a，0），B（m+6，m+2），C（m，m+2），AB∥OC，直线y＝﹣x+n经过A，C两点，另有一条直线l：y＝kx+t． （1）判断四边形OABC的形状，并证明． （2）当t＝3，且l⊥AC时，直线l与直线AC的交点坐标为　（，）　 ； （3）当时． ①若直线l与四边形OABC相交，则t的取值范围是　﹣3≤t≤3　 ；若直线l平分四边形OABC的面积，则t＝　0　 ； ②若直线l与直线AC交于点D，DE⊥x轴，垂足为E，DF⊥y轴，垂足为F，记，当﹣9≤t＜9时，求w的取值范围． 【解答】解：（1）∵B（m+6，m+2），C（m，m+2）， ∴BC∥x轴， ∵AB∥OC， ∴四边形OABC是平行四边形； （2）当t＝3时，y＝kt+3， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA＝BC＝6， ∴A（6，0）， ∵直线y＝﹣x+n经过A点， ∴﹣6+b＝0， 解得b＝6， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6， ∵直线y＝﹣x+6经过C点， ∴﹣m+6＝m+2， 解得m＝2， ∴B（8，4），C（2，4）， ∵l⊥AC， ∴k＝1， ∴y＝x+3， 当x+3＝﹣x+6时，解得x， ∴直线l与直线AC的交点坐标为（，）， 故答案为：（，）； （3）①当k时，yx+t， 当直线l经过点A时，3+t＝0，解得t＝﹣3， 当直线l经过点C时，1+t＝4，解得t＝3， ∴﹣3≤t≤3时，直线l与四边形OABC相交； ∵直线l平分四边形OABC的面积， ∴直线l经过点B， ∴4+t＝4， ∴t＝0； 故答案为：﹣3≤t≤3；0； ②当x+t＝﹣x+6时，解得x＝4t， ∴D（4t，2t）， ∵DE⊥x轴，DF⊥y轴， ∴E（4t，0），F（0，2t）， ∴wDF﹣DE|4t|﹣|2t|， 当6≤t＜9时，wt+4，则﹣7＜w≤﹣6； 当﹣3≤t＜6时，w＝﹣t，则﹣6＜w≤3； 当﹣9≤t＜﹣3时，w＝4t，则1≤w≤3； ∴﹣7＜w≤3． 学科网（北京）股份有限公司 $$