第五章二元一次方程全章考点训练 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第五章二元一次方程全章考点训练 刷中考 考点1 二元一次方程 1[2023 江苏无锡中考]下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解是 ( ) 2.[2024 黑龙江龙东地区中考]国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 考点2二元一次方程组 3[2024江苏宿迁中考]若关于x，y的二元一次方程组 的解是 则关于x，y的方程组 的解是 . 4.解方程组： (1)[2024广西中考] (2)[2024江苏苏州中考] 考点3 二元一次方程组的实际应用 5新考向传统文化[2024江苏盐城中考]中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5 尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5 尺，问绳索、竿子各有多长?该问题中 的竿子 长为 尺. 6.[2024 安徽中考]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地.采用新技术种植 A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元) A 4 8 B 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60 万元.问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷? 考点4 二元一次方程组与一次函数 7[2024内蒙古呼伦贝尔中考]点 P(x,y)在直线 上，坐标(x，y)是二元一次方程5x-6y=33的解,则点 P 的位置在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 1.以方程组 的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2(新考向传统文化[2025 吉林白城期末]中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(两是我国古代一种货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ( ) 3[2025 河北唐山调研]如图，两个天平都平衡(相同形状的物体质量相等)，则与1个球质量相等的正方体的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4 已知关于 x，y的方程组 和 有相同的解，则 的算术平方根是 ( ) A.0 C. D.2 5[2025 山东青岛调研]一次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点 P(2，m)，与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则下列结论： ①一元一次方程 kx+5=m的解为x=2;②k= ③方程组 的解为 ④四边形AODP 的面积为 ，其中正确的是 () A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 6若关于x，y的二元一次方程组 的解也是2x+y=10的解,则k的值为 . 7[2024湖南长沙质检]一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数字交换位置，所得的新两位数比原两位数的 多15,则这个两位数是 . 8[2024青海西宁质检]如图，某电视背景墙由 10块形状、大小完全相同的长方形墙砖砌成(厚度忽略不计)，则这个电视背景墙的面积是 m². 9已知二元一次方程组 的解为 则图中三角形ABC 的面积为 . 10.甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物(三种都要采购)，多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5 元/株、15 元/株、25 元/株，乙采购的多肉数量是甲的10倍，茉莉花数量是甲的6倍，绣球数量是甲的8倍，丙采购的多肉数量是甲的3倍，茉莉花数量是甲的7倍，绣球数量和甲相同，三家花店采购共花费金额2510元，丙比甲多用420元，则三家花店采购多肉共花费 元. 三、解答题(共50分) 11解方程组： 12.[2024 浙江杭州期末]已知关于x，y的方程组 (m,n是常数). (1)当n=1时，方程组可化为 ①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解； ②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值. (2)无论m取何值,方程x-2y+ mx=-5 总有一个公共解，你能求出这个公共解吗? (3)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值. 13[2025 广西防城港期末]【综合与实践】某校组织老师和学生外出参加社会实践活动，让同学们运用所学知识策划租车方案：原计划租用45 座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，求参加此次活动的总人数和原计划租用45座客车的数量. 【合作探究】 小聪：“我们可以用二元一次方程组解决这个问题，设外出参加社会实践活动的总人数为x人，原计划租用45座客车的数量为y辆，用含有y的式子表示x，得方程x= .” 小明：“若租用同样数量的60座客车，说明60座客车也是租用y辆，根据多出一辆车，且其余客车恰好坐满，可得坐满的客车数量比y少1，可以表示为 辆，由于每辆车可乘坐60人，所以乘客的总数量为 人，这个数量恰好与参加活动的总人数x相等，也可得一个方程.” 【问题解决】 (1)请按顺序写出小聪和小明分析的结论： , , ; (2)根据上面的合作探究，列出方程组并求出它的解； (3)已知45 座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300 元.若租用同一种车，要使每个参加活动的人都有座位，怎样租车更合算? 14[2025 黑龙江哈尔滨质检]如图,A(m,0),B(0,n),且 m,n 满足二元一次方程组 (1)求A,B两点的坐标; (2)点 P(t,0)是线段OA 上一点,连接BP,当△ABP 的面积为 时，求t的值； (3)在(2)的条件下,过点A 作直线l∥y轴,在直线l上有一点M，直线 BM 交x轴正半轴于点K，在射线BO上是否存在一点 N，使△BPN≌△PMK?若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. 刷中考 1. D 【解析】当 时， 则 是二元A一次方程 的解，不合题意当 时， 则 是二元B一次方程 的解，不合题意当 时， 则 是C二元一次方程 的解，不合题意当 时， 则 不是D二元一次方程 的解，符合题意 2. B 【解析】设购买笔记本x本，碳素笔y支.根据题意得 所以 树z棵. 由题意，得 解得 答：甲组植树25棵，乙组植树10棵，丙组植树15 棵. 6.【解】设每只牛的价钱为x，每只羊的价钱为y，每只猪的价钱为z. 由题意，得 解得 答：每只牛的价钱为1 200，每只羊的价钱为500,每只猪的价钱为300. 刷易错 7.【解】不正确.正确的解题过程如下： ①+②,得2a+2c=6,即a+c=3.④ ③-①×2,得2a-c=0.⑤ 联立④⑤，得方程组 解这个二元一次方程组，得 把 代入①,得b=-2.所以原方程组的解为 - 刷提升 【解】(1)212是“方加数”.理由: 因为 11 .与91的个位数字相同，十位数字之和等于10， 所以212是“方加数”. (2) 设p的十位数字是m，个位数字是n，则q的 1. C 【解析】 )把①代入②,得y-2y=3,解得y=-3.把y=-3 代入①,得x=-6,所以此方程组的解为 所以点(x，y)的坐标为(-6，-3)，所以该点在第三象限.故选C. 2. D 【解析】根据 题 意 可 列 方 程 组 为 故选 D. 3. C 【解析】设1个球、1个圆锥、1个正方体的质量分别为x，y，z，则 所以 所以x=2z，即与1个球质量相等的正方体的个数为2.故选 C. 4. C 【解析】由题意可知，方程组 和 有 相 同 的 解，在方 程 组 中,①+②得7x=-14,即x=-2. 将x=-2代入①得y=-3,所以方程组 的解为 在方程组 中，③×3得 3ax+3by=-3,⑤ ④-⑤得 by=21.把y=-3代入得b=-7.将x=-2,y=-3,b=-7代入③得a=11,所以a+b=4,所以 所以 的算术平方根是 故选 C. 5. D 【解析】因为直线 与直线 2x+k交于点P(2,m),所以一元一次方程 kx+5=m的解为x=2,2k+5=4+k,故①正确;解2k+5=4+k,得k=-1,故②错误;所以 ,把P(2,m)代入 得-2+5=m,所以m=3,所以P(2,3),所以方程组 的解为 故③正确；因为 所以A(0.5), 所以 连接OP，则 故④正确.综上，正确的是①③④，故选 D. 又因为x，y均为正整数，所以 或 或 或 所以共有4种购买方案.故选 B. … 【解析】把 代入 得 因 为 所 以 即 ①②①+②,得(a+c)x=5(a+c).因为方程组 有解,所以a+c≠0,所以x=5.把x=5代入①,得5a+2y=5a-2,解得y=-1,所以方程组 的解为 故答案为 4.【解】(1){x+z=y=3,①①①+②,得2x=4,解得x=2.①-②,得4y=2,解得 所以方程组的解为 ②①-②,得4y=4,解得y=1.将y=1代入①得2x+1=7,解得x=3,所以方程组的解是 5.15 【解析】设绳索长x 尺，竿子长y尺.根据题意得 解得 故答案为 15. 6.【解】设A 种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是γ公顷. 根据题意得 解得 答：A种农作物的种植面积是3 公顷，B种农作物的种植面积是4公顷. 7. D【解析】解方程组 左点 所以点 所以点 P 在第四象限.故选 D. 取值只能是4.当 时， 所以 ，所以三家花店采购多肉共花费420元.故答案为420. 11.【解】 得 ,解得x=2. 把 代入①，得 所以原方程组的解是 (2)将①代入②,得x+y+x+y=6,即x+y=3.④ 得 ,解得x=3. 将 代入④，得 将 代入 ①,得 .所以原方程组的解为 12.【解】(1)①当 时， 当 时,x=1,所以. 的所有非负整数解为 或 ②由题意可得 D)①-②,得 将y=1代入②，得x=1，所以方程组的解为 将 代入x-2y+ mx=-5中,得1-2+m=-5,解得m=-4. (2)x-2y+ mx=-5变形为(m+1)x-2y=-5,因为无论m取何值，方程总有一个公共解，所以当x=0时， 所以 是方程的公共解. (3)当n =3 时,原方 程 组 可 化 为 ②×2,得 2x-4y+2mx=②-10,③①+③,得5x+2mx=-5,整理得(5+2m)x=-5.因为方程组有整数解，且m是整数,所以5+2m=±1或±5.当5+2m=1时,m=-2，此时方程组的解为 当 5+2m=-1时,m=-3,此时方程组的解为 (不符合题意,舍去);当5+2m=5 6.2 【解析】方程组 ①+②得2x+y=5k.又因为2x+y=10,所以5k=10,所以k=2.故答案为2. 7.63 【解析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.由题意得解得 所以这个两位数为63.故答案为63. 8.3.6 【解析】设一块长方形墙砖的长为 xm，宽为 ym.依题意得 解得 所以电视背景墙的面积为 2×1.2×1.5=3.6(m²).故答案为3.6. 9.24 【解析】因为二元一次方程组 的解为 所以函数y= kx+4与函数y=-3x+b的图象的交点为(2,6).代入y= kx+4,得6=2k+4,解得k=1;代入y=-3x+b,得6=-6+b,解得b=12,所以两函数表达式为y=x+4与y=-3x+12,所以易得B(-4,0),C(4,0),所以BC=8,所以三角形ABC 的面积为 故答案为24. 10.420 【解析】设甲花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物x株，y株，z株，则乙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物 10x株，6y株，8z株，丙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物3x株，7y株，z株.由题意得5(x+10x+3x)+15(y+6y+7y)+25(z+8z+z)= 2 510,5×3x+15×7y+25z-(5x+15y+25z)= 420,所以 由②得x=42-9y.③因为x,y都是正整数,所以y的取值可能是1，2，3，4.把③代入①并整理得 因为z是正整数，所以y的时， ，此时方程组的解为 当 时， ，此时方程组的解为 (不符合题意，舍去). 综上所述，m=-2或 13.【解】(1)依题意可得: 60(y-1). 故答案为: 60(y-1). (2)依题意可列方程组为 解得 所以参加此次活动的总人数为240人，原计划租用45座客车的数量为5辆. (3)若租用45座客车，则 即需租6辆才能使每个参加活动的人都有座位，则租车费用为( (元); 若租用60座客车，则需租 (辆),即可使每个参加活动的人都有座位，则租车费用为 (元).因为 1 320，所以租用4辆60 座客车更合算. 14. 【解】(1)解方程组 可得 所以A(4,0),B(0,3). (2)由题可知( 则 解得t=1. (3)存在.因为 所以 PM,BN=PK. 因为A(4,0),B(0,3),P(1,0),所以OB=3,OA=4,OP=1,所以PA=OA-OP=3=OB. 由题意得,△BOP 与△PAM 均为直角 三角形. 在Rt△BOP与Rt△PAM中, 所以Rt△BOP≌Rt△PAM,所以AM=OP=1,所以点M的坐标为(4,1)或(4,-1). 设直线BM 的表达式为y= kx+b(k≠0),则 或 解 得 或所以 或y=-x+3,所以易得K点的坐标为(6,0)或(3,0), 所以PK=5或PK=2. 当PK=5时,BN=5,所以N(0,-2); 当PK=2时,BN=2,所以N(0,1). 综上,Ⅳ的坐标为(0,-2)或(0,1). 学科网（北京）股份有限公司 $$