1.5 第3课时 “角边角”和“角角边”-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

72 第3课时 “角边角”和“角角边” 1. 基本事实:两个角及其 分别相等的 两个三角形全等(简写成“ ”或 “ ”). 2. 两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等(简写成“ ” 或“ ”). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,∠ACB=90°,AC=BC,CD 是经 过点C 的一条直线,过点A,B 分别作AE⊥ CD,BF⊥CD,垂足为E,F.猜想AE,BF,EF 之间的数量关系,并予以证明. 典例1图 根据BF⊥CD,可得∠BCF+∠B=90°, 进而可得∠ACF=∠B,再利用“AAS”证得 △CAE≌△BCF,即可得出结论. 解答: 解有所悟:证明不在同一条直线上的三条线段的和 差问题时,可以将其中的两条线段等量代换后和第 三条线段在同一条直线上. 典例2 如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB= AC,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,CE⊥ BD,交BD 的延长线于点E.试猜想CE 与BD 之间的数量关系,并说明理由. 典例2图 分别量出CE 与BD 的长度,猜想它们之 间的数量关系.由垂直可推得一些角相等,从而 为证明三角形全等创造条件.延长CE,交BA 的延长线于点F.由AB=AC,构造以AB,AC 为边的全等三角形,由∠ABE=∠CBE,构造 以∠ABE,∠CBE 为内角的全等三角形. 解答: 解有所悟:当图中没有出现全等三角形时,往往要 结合条件添加辅助线来构造. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 73 [基础过关] 1. 如图,∠ABC=∠BAD,添加下列条件后,仍 不能判定△ABC≌△BAD 的是 ( ) 第1题 A. AC=BD B. BC=AD C. ∠C=∠D D. ∠CAB=∠DBA 2. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足 分别为D,E,AD,CE 交于点 H.若EH= EB=4,S△AEH=12,则CH 的长为 ( ) A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 第2题 第3题 3. (教材P36做一做变式)小明打碎了一块三 角形玻璃,如图,现在他要去玻璃店配一块 完全一样的玻璃.如果他带了两片碎玻璃, 其中一片是②,那么另一片是 . 答案讲解 4. 如图,BC∥EF,点C,A,D,F 四点 在同一直线上,AF=DC,要想直接 用“ASA”证明△ABC≌△DEF,添 加的条件是 . 第4题 5. 如图,AC 与BF 相交于点E,AB∥CF,E 为 BF 的中点.若CF=6,AD=4,则BD= . 第5题 6. 如 图,AB =AE,∠C= ∠F,∠EAC= ∠BAF.求证:AC=AF. 第6题 7. 如图,CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B, E,AE,BC 相交于点F,连结DF.若AB= BC=8,CF=2,求图中涂色部分的面积. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 74 8. 某同学用10块高度都是5cm的相同长方体 小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙 之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺 ABD(∠ABD=90°,BD=BA),点B 在CE 上,点A 和点D 分别与木墙的顶端重合. (1) 求证:△ACB≌△BED. (2) 求两堵木墙之间的距离. 第8题 [综合提升] 答案讲解 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BD 为 AC边上的高,BE 平分∠ABD,点F 在BD 上,连结EF 并延长交BC 于 点G,若BG=EG,∠A=2∠DEF,给出下 列结论:① ∠DEF=∠CBD;② ∠ABE+ ∠CBD=45°; ③ EG⊥BC; ④ BF=CE. 其中,正确的有 ( ) 第9题 A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 答案讲解 10. 如图,M 是线段AB 上一点,ED 是过点M 的一条线段,连结AE, BD,过点B 作BF∥AE,交ED 于 点F,且EM=FM. (1) 求证:AE=BF. (2) C 是线段ED 上一点,连结 AC.若 ∠AEC=90°,∠CAE=∠DBF,CD=4,求 EM 的长. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 20 典例演练 典例1 因为D,E 分别是AC,AB 的中点,所以AD= 1 2AC ,AE=12AB. 因为AB=AC,所以AD=AE.在 △ABD 和△ACE 中,因为 AB=AC, ∠A=∠A, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ABD≌ △ACE(SAS).所以BD=CE. 典例2 AD=GA 且AD⊥GA.理由:因为BE,CF 分别 是AC,AB 两 边 上 的 高,所 以 ∠BEC = ∠BEA = ∠AFC=∠BFC=90°.所 以∠BAC+∠ACF=90°, ∠BAC+∠ABE=90°.所以∠ABE=∠ACF.在△ABD 和△GCA 中,因 为 BD=CA, ∠ABD=∠GCA, AB=GC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△ABD≌ △GCA(SAS).所以AD=GA,∠ADB=∠GAC.因为 ∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE, 所以∠AED=∠GAD=90°.所以AD⊥GA. 预学训练 1. C 2. B 3. D 4. C 5. BC=EC 6. 30° 7. 在 △AMK 和 △BKN 中,因 为 AM=BK, ∠A=∠B, AK=BN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △AMK≌△BKN(SAS). 8. 因为∠BAC=∠DAM,∠BAC=∠BAD+∠DAC, ∠DAM=∠DAC+∠NAM,所以∠BAD=∠NAM.在 △BAD 和 △NAM 中,因 为 AB=AN, ∠BAD=∠NAM, AD=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BAD≌△NAM(SAS).所以∠B=∠ANM. 9. (1) 因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC.所以 AC=BD.在△ACE 和△BDF 中,因为 AE=BF, ∠A=∠DBF, AC=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ACE≌△BDF(SAS).(2) 由(1),得△ACE≌ △BDF,所以∠ACE=∠D.所以EC∥FD. 10. D 11. A 解析:在AC 上截取AE=AB=4,连结PE.因为 AC=9,所以CE=AC-AE=9-4=5.因为P 是∠BAC 的平分线AD 上一点,所以∠CAD=∠BAD.在△APE 和△APB 中,因 为 AE=AB, ∠EAP=∠BAP, AP=AP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△APE≌ △APB(SAS).所以PE=PB=2.因为在△CEP 中,5- 2<PC<5+2,所以3<PC<7.所以结合选项可知,PC 的长不可能为3. 12. 因为AD∥BE,所以∠A=∠B.在△ACD 和△BEC 中,因为 AC=BE, ∠A=∠B, AD=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ACD≌△BEC(SAS).所以 CD=EC.因 为 CF 平 分 ∠DCE,所 以 ∠DCF = ∠ECF.在△DCF 和△ECF 中,因为 CF=CF, ∠DCF=∠ECF, CD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△DCF≌△ECF(SAS). 第3课时　“角边角”和“角角边” 知识梳理 1. 夹边 角边角 ASA 2. 对边 角角边 AAS 典例演练 典例1 AE=BF+EF.因为AE⊥CD,BF⊥CD,所以 ∠AEC=∠BFC=90°.所以∠BCF+∠B=90°.因为 ∠ACB=90°,所以∠BCF+∠ACF=90°.所以∠ACF= ∠B.在△CAE 和△BCF 中,因为 ∠AEC=∠CFB, ∠ACE=∠B, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△CAE≌△BCF(AAS).所以CE=BF,AE=CF.因 为CF=CE+EF,所以AE=BF+EF. 典例2 CE=12BD. 理由:如图,延长CE,交BA 的延长 线于点F.因为BE 平分∠ABC,所以∠1=∠2.因为 CE⊥BD,所以∠BEC=∠BEF=90°.又因为BE=BE, 所以△BEC≌△BEF(ASA).所以CE=FE=12CF. 因 为∠BAC=90°,∠BEC=90°,所以∠CAF=90°,∠2+ ∠4=∠3+∠5=90°.因为∠4=∠5,所以∠2=∠3.又因 为AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,所以△BAD≌ △CAF(ASA).所以BD=CF.所以CE=12BD. 典例2图 预学训练 1. A 2. D 3. ① 4. ∠BAC=∠EDF 5. 2 6. 因 为 ∠EAC= ∠BAF,所 以 ∠EAC+ ∠CAF = ∠BAF+ ∠CAF,即 ∠EAF = ∠BAC.在 △ABC 和 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 △AEF 中,因 为 ∠C=∠F, ∠BAC=∠EAF, AB=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △ABC ≌ △AEF.所以AC=AF. 7. 因为CB⊥AD,AE⊥CD,所以∠ABF=∠CBD=90°, ∠FEC=90°.所以∠A+∠AFB=90°,∠C+∠EFC= 90°.又因为∠AFB=∠EFC,所以∠A=∠C.在△ABF 和 △CBD 中,因 为 ∠ABF=∠CBD, AB=CB, ∠A=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △ABF ≌ △CBD.所以BF=BD.因为BF=BC-CF=8-2=6,所 以BD=6.所以题图中涂色部分的面积=12 ·CF·BD= 1 2×2×6=6. 8. (1) 由题意,得AB=BD,∠ABD=90°,AC⊥CE, DE⊥CE,所以∠BED=∠ACB=90°.所以∠BDE+ ∠DBE=90°,∠DBE+∠ABC=90°.所以∠BDE= ∠ABC. 在 △ACB 和 △BED 中, 因 为 ∠ABC=∠BDE, ∠ACB=∠BED, AB=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ACB≌△BED(AAS).(2) 由 题意,得AC=5×3=15(cm),DE=7×5=35(cm).因为 △ACB≌△BED,所以BC=DE=35cm,AC=BE= 15cm.所以CE=BE+BC=15+35=50(cm).所以两堵 木墙之间的距离为50cm. 9. B 解析:如图,取BC 的中点H,连结AH.因为H 为 BC 的中点,所以BH=CH.在△ABH 和△ACH 中,因 为 AB=AC, AH=AH, BH=CH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △ABH ≌ △ACH (SSS).所 以 ∠BAH = ∠CAH,∠BHA = ∠CHA =90°.所 以 ∠BAC=2∠CAH.因为BD⊥AC,所以∠CBD+∠C= ∠CAH + ∠C =90°.所 以 ∠CAH = ∠CBD.所 以 ∠BAC=2∠CBD.因 为 ∠BAC =2∠DEF,所 以 ∠DEF=∠CBD.故①正确.因为BE 平分∠ABD,所以 ∠ABE= 12 ∠ABD. 因 为∠CBD= 12 ∠BAC ,所 以 ∠ABE+∠CBD=12 (∠ABD+∠BAC).因为∠BDC= ∠ABD+∠BAC=90°,所以∠ABE+∠CBD=12× 90°=45°.故②正确.因为∠FBG=∠CEG,∠BFG= ∠EFD,所以∠FGB=∠EDF=90°.所以EG⊥BC.故③ 正确.因为 EG⊥BC,所以∠BGF=∠EGC=90°.在 △BFG 和 △ECG 中,因 为 ∠BGF=∠EGC, BG=EG, ∠FBG=∠CEG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △BFG≌△ECG(ASA).所以BF=EC.故④正确.综上 所述,正确的结论有4个. 第9题 10. (1) 因为BF∥AE,所以∠EAM=∠FBM.在△AME 和△BMF 中,因为 ∠EAM=∠FBM, ∠AME=∠BMF, EM=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△AME≌ △BMF(AAS).所以 AE=BF.(2) 因 为△AME≌ △BMF,所以AE=BF,EM=FM,∠AEM=∠BFM= 90°.所以∠AEC=∠BFD=90°.在△AEC 和△BFD 中, 因为 ∠AEC=∠BFD, AE=BF, ∠CAE=∠DBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△AEC≌△BFD(ASA).所 以EC=FD.所以EC-CF=FD-CF,即EF=CD= 4.因为EM=FM,所以EM=12EF=2. 1.6 线段垂直平分线的性质 知识梳理 1. 平分 中垂线 2. 线段两端 典例演练 典例1 C 典例2 因为△AGE 的周长为15,所以GA+EA+EG= 15.因为D,F 分别为△ABC 的边AB,AC 的中点,DE⊥ AB,FG⊥AC,所以EA=EB,GA=GC.所以GC+EB+ EG=GA+EA+EG=15,即BC+2EG=15.因为BC= 10,所以2EG=5.所以EG=2.5. 预学训练 1. B 2. B 3. 5 4. 15 5. 4cm 6. 如图,分别作线段AB,BC 的垂直平分线,相交于点 P,则点P 即为所求. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈