1.5 第2课时 “边角边”-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

19 PE+12AC ·PF=12AB ·CH.又因为 AB=AC, 所以PE+PF=CH. 1.4 全等三角形 知识梳理 1. 重合 2. 重合 对应顶点 对应边 对应角 3. 相 等 相等 典例演练 典例1 A 典例2 (1) 其他对应角为∠BAF 和∠DCE,∠AFB 和 ∠CED;其他对应边为AB 和CD,BF 和DE.(2) 因为 △ABF≌△CDE,∠B=30°,所以∠B=∠D=30°.因为 ∠DCF=40°,所以∠EFC=∠D+∠DCF=30°+40°= 70°.(3) 因为△ABF≌△CDE,所以 BF=DE.所以 BF-EF=DE-EF.所以BE=DF.因为BD=10, EF=2,所以BE=DF=4.所以BF=BE+EF=4+ 2=6. 预学训练 1. C 2. D 3. A 4. B 5. (1) 8 (2) 79° 6. 3 7. ④ 8. 因为△ABC≌△DEF,BC=7,所以BC=EF=7.因为 EC=4,所以CF=EF-EC=7-4=3. 9. (1) 因为AD⊥BC,所以∠CDF=90°.因为△ABD≌ △CFD,所以∠BAD=∠FCD.因为∠AFE=∠CFD,所 以∠AEF=∠CDF=90°.所以 CE⊥AB.(2) 因为 △ABD≌△CFD,所以AD=CD,BD=FD.因为BC= 7,AD=CD=5,所以BD=BC-CD=2.所以FD=2.所 以AF=AD-FD=5-2=3. 10. 20° 11. (1) EF+ AF= BE.因为△ACF≌△CBE,所以 CF= BE,AF=CE.所以EF+ AF= EF+ CE=CF= BE.(2) 因为△ACF≌△CBE,所以∠ACF=∠CBE. 因为∠BCF= ∠BCA + ∠ACF= ∠BEC+ ∠CBE, 所以∠BCA=∠BEC=120°. 1.5 三角形全等的判定 第1课时　“边边边” 知识梳理 1. 相等 边边边 SSS 2. 稳定性 典例演练 典例1 D 典例2 在△ADB 和△BCA 中,因为 AD=BC, BD=AC, AB=BA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 △ADB≌△BCA(SSS).所以∠D=∠C. 预学训练 1. C 2. B 3. 2 4. AB=CD 5. 100° 解析:在△BDA 和△BDE 中,因为 BA=BE, BD=BD, DA=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BDA≌△BDE(SSS).所以∠A=∠BED.因为 ∠A=80°,所 以∠BED=∠A=80°.因 为∠CED+ ∠BED=180°,所以∠CED=100°. 6. EF SSS 全等三角形对应角相等 内错角相等,两 直线平行 7. 在 △ABC 和 △DEB 中,因 为 AC=DB, AB=DE, BC=EB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △ABC≌△DEB.所以∠ACB=∠DBE.因为∠AFB 是 △BCF 的外角,所以∠AFB=∠ACB+∠DBE.所以 ∠AFB=2∠ACB. 8. 这种做法合理.理由:因为a=b,所以DE=FG.在 △BDE 和△CFG 中,因为 BE=CG, BD=CF, DE=FG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BDE≌ △CFG(SSS).所以∠B=∠C.所以这种做法合理. 9. 如图,连结AC.在△ADC 和△CBA 中,因为AD= CB, AC=CA,CD=AB,所以△ADC≌△CBA.所以 ∠DCA = ∠BAC.所 以 AB ∥CD.所 以 ∠BAD + ∠ADC=180°. 第9题 10. 因为△AOB≌△DOC,所以AB=DC,OA=OD, OB=OC.所以OA+OC=OD+OB,即AC=DB.在 △ABC 和△DCB 中,因为 AB=DC, BC=CB, AC=DB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ABC≌ △DCB (SSS).所 以 ∠ACB = ∠DBC.同 理 可 证, ∠CAD=∠BDA.因为∠CAD+∠BDA=∠AOB= ∠ACB+∠DBC,即2∠CAD=2∠ACB,所以∠CAD= ∠ACB.所以AD∥BC. 第2课时　“边角边” 知识梳理 夹角 边角边 SAS 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 典例演练 典例1 因为D,E 分别是AC,AB 的中点,所以AD= 1 2AC ,AE=12AB. 因为AB=AC,所以AD=AE.在 △ABD 和△ACE 中,因为 AB=AC, ∠A=∠A, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ABD≌ △ACE(SAS).所以BD=CE. 典例2 AD=GA 且AD⊥GA.理由:因为BE,CF 分别 是AC,AB 两 边 上 的 高,所 以 ∠BEC = ∠BEA = ∠AFC=∠BFC=90°.所 以∠BAC+∠ACF=90°, ∠BAC+∠ABE=90°.所以∠ABE=∠ACF.在△ABD 和△GCA 中,因 为 BD=CA, ∠ABD=∠GCA, AB=GC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△ABD≌ △GCA(SAS).所以AD=GA,∠ADB=∠GAC.因为 ∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE, 所以∠AED=∠GAD=90°.所以AD⊥GA. 预学训练 1. C 2. B 3. D 4. C 5. BC=EC 6. 30° 7. 在 △AMK 和 △BKN 中,因 为 AM=BK, ∠A=∠B, AK=BN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △AMK≌△BKN(SAS). 8. 因为∠BAC=∠DAM,∠BAC=∠BAD+∠DAC, ∠DAM=∠DAC+∠NAM,所以∠BAD=∠NAM.在 △BAD 和 △NAM 中,因 为 AB=AN, ∠BAD=∠NAM, AD=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BAD≌△NAM(SAS).所以∠B=∠ANM. 9. (1) 因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC.所以 AC=BD.在△ACE 和△BDF 中,因为 AE=BF, ∠A=∠DBF, AC=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ACE≌△BDF(SAS).(2) 由(1),得△ACE≌ △BDF,所以∠ACE=∠D.所以EC∥FD. 10. D 11. A 解析:在AC 上截取AE=AB=4,连结PE.因为 AC=9,所以CE=AC-AE=9-4=5.因为P 是∠BAC 的平分线AD 上一点,所以∠CAD=∠BAD.在△APE 和△APB 中,因 为 AE=AB, ∠EAP=∠BAP, AP=AP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△APE≌ △APB(SAS).所以PE=PB=2.因为在△CEP 中,5- 2<PC<5+2,所以3<PC<7.所以结合选项可知,PC 的长不可能为3. 12. 因为AD∥BE,所以∠A=∠B.在△ACD 和△BEC 中,因为 AC=BE, ∠A=∠B, AD=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ACD≌△BEC(SAS).所以 CD=EC.因 为 CF 平 分 ∠DCE,所 以 ∠DCF = ∠ECF.在△DCF 和△ECF 中,因为 CF=CF, ∠DCF=∠ECF, CD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△DCF≌△ECF(SAS). 第3课时　“角边角”和“角角边” 知识梳理 1. 夹边 角边角 ASA 2. 对边 角角边 AAS 典例演练 典例1 AE=BF+EF.因为AE⊥CD,BF⊥CD,所以 ∠AEC=∠BFC=90°.所以∠BCF+∠B=90°.因为 ∠ACB=90°,所以∠BCF+∠ACF=90°.所以∠ACF= ∠B.在△CAE 和△BCF 中,因为 ∠AEC=∠CFB, ∠ACE=∠B, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△CAE≌△BCF(AAS).所以CE=BF,AE=CF.因 为CF=CE+EF,所以AE=BF+EF. 典例2 CE=12BD. 理由:如图,延长CE,交BA 的延长 线于点F.因为BE 平分∠ABC,所以∠1=∠2.因为 CE⊥BD,所以∠BEC=∠BEF=90°.又因为BE=BE, 所以△BEC≌△BEF(ASA).所以CE=FE=12CF. 因 为∠BAC=90°,∠BEC=90°,所以∠CAF=90°,∠2+ ∠4=∠3+∠5=90°.因为∠4=∠5,所以∠2=∠3.又因 为AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,所以△BAD≌ △CAF(ASA).所以BD=CF.所以CE=12BD. 典例2图 预学训练 1. A 2. D 3. ① 4. ∠BAC=∠EDF 5. 2 6. 因 为 ∠EAC= ∠BAF,所 以 ∠EAC+ ∠CAF = ∠BAF+ ∠CAF,即 ∠EAF = ∠BAC.在 △ABC 和 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 69 第2课时 “边角边” 基本事实:两边及其 分别相等的两个三角形全等(简写成“ ”或“ ”). 典例1 如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E 分 别是AC,AB 的中点,求证:BD=CE. 典例1图 由AB=AC,D,E 分别是AC,AB 的中点, 得到AD=AE,再根据“SAS”判定△ABD≌ △ACE 即可. 解答: 解有所悟:抓住D,E 分别是AC,AB 的中点,推出 AD=AE 是关键,利用∠A 是△ABD 与△ACE 的公共角可以构造“SAS”的基本模型. 典例2 如图,在△ABC 中,BE,CF 分别是 AC,AB 两边上的高,在BE 上截取BD=AC, 在CF 的延长线上截取CG=AB,连结AD, AG.线段 AD 与GA 的关系如何? 请说明 理由. 典例2图 将 问 题 转 化 为 证 明 AD,AG 所 在 的 △ABD,△GCA 是全等三角形. 解答: 解有所悟:判定线段或角所在的三角形全等是证明 线段相等、角相等常用的方法,进而可以证明两条 线段互相平行或垂直等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 70 [基础过关] 1. 在如图所示的图形中,互相全等的三角形是 ( ) 第1题 A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③ 2. 如图,AC 与BD 相交于点O,OA=OD.若 要用“SAS”判定△AOB≌△DOC,则还需要 添加的条件可以是 ( ) A. AB=DC B. OB=OC C. ∠A=∠D D. ∠AOB=∠DOC 第2题 第3题 3. 如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD= CE,∠FDE=65°,则∠A的度数是 ( ) A. 45° B. 70° C. 65° D. 50° 4. 如图所示为琪琪用同种材料制成的金属框 架.已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其 中△ABC 的周长为24cm,CF=3cm,则制 成的整个金属框架所用这种材料的长度为 ( ) A. 51cm B. 48cm C. 45cm D. 54cm 第4题 第5题 5. 如图,CA=CD,∠ACD=∠BCE,请添加一 个条件: ,使得可以用 “SAS”判定△ABC≌△DEC. 第6题 6. 如图,在△ABC 中,BD 平 分∠ABC交AC 于点D,E 是BC 上 一 点,且 BE= AB,连结DE.若∠A=80°, ∠CDE=50°,则∠C的度数为 . 7. 如图,在△PAB 中,∠A=∠B,M,N,K 分 别是PA,PB,AB 上的点,且AM=BK, BN=AK.求证:△AMK≌△BKN. 第7题 8. 如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD= AM.求证:∠B=∠ANM. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 71 9. 如图,点A,B,C,D 在同一条直线上,∠A= ∠DBF,AE=BF,AB=CD.求证: (1) △ACE≌△BDF. (2) EC∥FD. 第9题 [综合提升] 10. 在△ABC 和△A'B'C'中,有下列条件: ① ∠A=∠A';② ∠B=∠B';③ ∠C= ∠C';④ AB=A'B';⑤ AC=A'C';⑥ BC= B'C'.其中,能用“SAS”判定△ABC≌ △A'B'C'的一组是 ( ) A. ①⑤⑥ B. ②④⑤ C. ①④⑥ D. ②④⑥ 答案讲解 11. 如图,P 是∠BAC 的平分线AD 上一点.若AC=9,AB=4,PB= 2,则PC 的长不可能为 ( ) 第11题 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案讲解 12. 如图,点C 在线段AB 上,AD∥ BE,AC=BE,AD=BC,CF 平分 ∠DCE.求证:△DCF≌△ECF. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备