1.1 第1课时 三角形的有关概念及三边关系-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

16 的每个小长方形的长为(3+2k)cm,宽为3cm,所以裁去 的每个小长方形的面积为(6k+9)cm2.(2) 设长方体纸盒 的侧面积是下底面积的n倍(n为正整数),则2(3×2k+ 3×3k)=n·6k2.所以nk=5.因为k是正整数,所以n= 1,k=5或n=5,k=1,即正整数k的值为1或5. 三、 17. (1) x=2, y=1. (2) x=32. 18. 1- 1x-1 ÷ x-2x2-2x+1=x-1-1x-1 ÷ x-2(x-1)2= x-2 x-1 ·(x-1) 2 x-2 =x-1. 因为x-1≠0,x-2≠0,所以 x≠1,x≠2.当x=3时,原式=2. 19. 原式=(x+2)(x-2)(x-3)(x-7)+100=(x+ 2)(x-7)(x-2)(x-3)+100=(x2-5x-14)(x2- 5x+6)+100.设y=x2-5x,则原式=y2-8y+16= (y-4)2≥0.所以多项式(x2-4)(x2-10x+21)+ 100的值一定是非负数. 20. (1) 把 x=73 , y= 2 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代入第一个方程,得 7 3m+ 4 3=6 ,解 得m=2.把 x=-2, y=4 代入第二个方程,得-4+4n=8,解 得n=3.(2) 由(1),得方程组为 2x+2y=6①, 2x+3y=8②. 由②- ①,得y=2.把y=2代入①,得2x+4=6,解得x=1.所 以该方程组正确的解为 x=1, y=2. 21. (1) 两直线平行,内错角相等;如果两条直线都与第 三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;∠BEF; ∠CEF.(2) 过点E 向左作EF∥AB.因为AB∥CD,所以 AB∥CD∥EF.所以∠B+∠BEF=180°,∠C+∠CEF= 180°.所以∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°.所以 ∠B+∠C+∠BEC=360°.所以∠B+∠C=360°- ∠BEC.(3) 如图,过点E 向右作EG∥AB,过点F 向左作 FH∥CD.因为AB∥CD,所以EG∥AB∥FH∥CD.所以 ∠4+∠D=180°,∠B=∠1,∠2=∠3.所以∠1+∠2= ∠B+∠3.所以∠BEF=∠B+∠3,即∠3=∠BEF- ∠B.因为∠4+∠D=180°,所以∠4=180°-∠D.所以 ∠3+∠4=∠BEF-∠B+180°-∠D.所以∠EFD= ∠BEF-∠B+180°-∠D,即∠B+∠D+∠EFD- ∠BEF=180°. 第21题 22. (1) 24.(2) 16.(3) ① 根据题意,得长方形地面的长 为(2m+n)米,宽为(m+2n)米.因为长方形地面的周长 为8.4米,所以2(2m+n+m+2n)=8.4.所以m+n= 1.4.② S白色地砖=S长方形地面-5S灰色小长方形地砖=(2m+n)· (m+2n)-5mn=[2(m2+n2)](平方米).因为每块灰色 小长方形地砖的面积为0.36平方米,所以mn=0.36.因 为m+n=1.4,所以(m+n)2=m2+2mn+n2=m2+ 0.72+n2=1.96.所以m2+n2=1.24.所以所用的白色地 砖的总面积为2×1.24=2.48(平方米). 23. (1) ① 设A 型大米购进x袋,B 型大米购进y袋.由 题意,得 x+y=90, 20x+30y=2200, 解得 x=50 , y=40. 所以A 型大米 购进50袋,B 型大米购进40袋.② 设6月已售出A 型大 米m 袋,B 型大米n袋.由题意,得30m+45n=1200.化 简,得2m+3n=80.所以20m+30n=10(2m+3n)= 10×80=800.所以该超市6月已售出大米的进货款为 800元.(2) 设7月该超市购进A 型大米a袋,B 型大米 b袋,则购进C型大米 13a+23b 袋.由题意,得20a+ 30b+10 13a+23b =2200.化简,得7a+11b=660.所 以b=60-711a. 又因为a,b,13a ,2 3b 均为正整数,所以 a既是3的倍数,又是11的倍数,b是3的倍数.所以 a=33, b=39 或 a=66 , b=18. 当a=33,b=39时,13a+23b=37; 当a=66,b=18时,13a+ 2 3b=34. 所以购进A 型大米 33袋,B 型大米39袋,C 型大米37袋或购进A 型大米 66袋,B 型大米18袋,C型大米34袋. 3 预学储备 第1章　三角形的初步知识 1.1 认识三角形 第1课时　三角形的有关概念及三边关系 知识梳理 1. 首尾顺次 三条边 内角 角 △ 2. 锐角 直角 钝角 3. 大于 典例演练 典例1 C 典例2 (1) 题图中共有8个三角形,它们是△ABC, △ABF,△ABE,△ABD,△ACD,△AEF,△BDF, △BEC.(2) △BDF 的三个顶点分别为B,D,F;三条边 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 分别为BD,DF,BF.(3) 以AB 为边的三角形有△ABC, △ABF,△ABE,△ABD.(4) 以F 为顶点的三角形有 △ABF,△AEF,△BDF. 预学训练 1. B 2. C 3. C 解析:如图①,沿三角形一边上的高剪开即可得到 两个直角三角形.如图②,将一个钝角三角形沿虚线剪开 即可得到两个钝角三角形.如图③,将一个直角三角形沿 虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形.由 于剪开的边上的两个角互补,不可能都是锐角,故这两个三 角形不可能都是锐角三角形.综上所述,将一个三角形剪成 两个三角形,则这两个三角形不可能都是锐角三角形. 第3题 4. △ACE 4 5. 30 6. (1) < (2) > 7. (1) △ABC,△AEC,△ABD.(2) △ABC,△BOC, △BDC,△BEC. 8. 有两种选法.选法一:9cm,12cm,16cm;选法二: 12cm,16cm,25cm. 9. D 10. (1) 3 解析:以 AB 为一边的三角形有△ABC, △ABD,△ABE,共3个. (2) 6 解析:以C 为顶点的三角形有△ABC,△BEC, △BCD,△ACE,△ACD,△CDE,共6个. 11. 2c-2a 12. 因为10a2+4b2+4=12ab+4a,所以10a2-12ab+ 4b2-4a+4=0.所以9a2-12ab+4b2+a2-4a+4=0, 即(3a-2b)2+(a-2)2=0.所以 3a-2b=0, a-2=0, 解得 a=2, b=3. 所以3-2<c<3+2,即1<c<5.又c是奇数,所 以c=3. 13. 7个.这些三角形各边的长如下:① 8,8,2;② 7,7,4; ③ 6,6,6;④ 5,5,8;⑤ 3,7,8;⑥ 4,6,8;⑦ 5,6,7. 第2课时　三角形中的重要线段 知识梳理 1. 线段 2. 中点 3. 顶点 垂线 顶点 垂足 线段 典例演练 典例1 因为AD 是△ABC 的角平分线,所以∠BAD= ∠CAD.因 为 DM ∥AC,DN∥AB,所 以 ∠ADM = ∠DAN,∠ADN=∠DAM.所以∠ADM=∠ADN.所 以DA 平分∠MDN. 典例2 设BD=CD=x,AB=y,则BC=BD+CD= 2x.所以AC=2BC=4x.因为边BC 上的中线AD 把 △ABC的周长分成60和40这两部分,AC>AB,所以 AC+CD=60,AB+BD=40,即 4x+x=60, x+y=40, 解得 x=12, y=28. 所以AB=28,AC=4×12=48,BC=2×12= 24.当AB=28,BC=24,AC=48时,符合三角形的三边 关系,能组成三角形.所以AC=48,AB=28. 典例3 (1) 由题意,得S△ABC= 1 2AC ·BC=12AB · CD.所以CD=AC ·BC AB =4.8cm. (2) 因为S△ABC= 1 2AC ·BC=12×6×8=24 (cm2),且AE 是BC 边上的 中线,所以S△ABE= 1 2S△ABC=12cm 2. 预学训练 1. D 2. B 3. D 4. 9 5. 105° 6. 6 7. CD 是△ABC 的角平分线.理由:因为BE 是△ABC 的角 平 分 线,所 以∠DBE=∠EBC.因 为∠DEB= ∠DBE,所以∠DEB=∠EBC.所 以 DE∥BC.所 以 ∠EDC=∠DCB.因为∠EDC=∠ECD,所以∠ECD = ∠DCB.所以CD 是△ABC的角平分线. 8. (1) 12. 解析:因为AE 是△ABC 的边BC 的中线, 所以BE=CE.所以S△ACE=S△ABE=6.所以S△ABC=12. (2) 因为AD 是△ABC 的高,所以∠ADC=90°.因为 ∠C=70°,所以∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°.因为 ∠C=70°,∠BAC=60°,所以∠ABC=180°-∠C- ∠BAC=180°-70°-60°=50°.因为BF 是△ABC 的角 平分线,所以∠CBF=12∠ABC=25°. 所以∠AFB= ∠CBF+∠C=25°+70°=95°. 9. C 10. 因为CF⊥BE,所以S△BCE= 1 2BE ·CF=12×9× 8=36.因为 AD 是△ABC 的中线,所以 BD=CD. 所以S△CDE= 1 2S△BCE= 1 2×36=18. 因为E 是AD 的中 点,所以S△ACE=S△CDE=18. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 第1章　三角形的初步知识 1.1　认识三角形 第1课时 三角形的有关概念及三边关系 1. 三角形:由不在同一直线上的三条线段 相接所组成的图形叫作三角形.这 三条线段就是三角形的 .由相邻两 边组成的角,称为三角形的 ,简称三 角形的 .三角形用符号“ ” 表示. 2. 三角形的分类:三个内角都是锐角的三角形 是 三角形;有一个内角是直角的三 角形是 三角形;有一个内角是钝角 的三角形是 三角形. 3. 三角形的三边关系:三角形的任意两边之和 第三边. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 在下列长度的三条线段中,不能组成三 角形的是 ( ) A. 2cm,3cm,4cm B. 3cm,6cm,6cm C. 2cm,2cm,6cm D. 5cm,6cm,7cm 根据三角形的三边关系,先找出各选项中 的最长边,再与较短两边长的和进行比较即可. 解答: 解有所悟:判断已知的三条线段能否组成三角形, 有两种方法:(1) 若选最长边为第三边,则需判断其 余两边之和是否大于第三边;(2) 若选最短边为第 三边,则需判断其余两边之差是否小于第三边. 典例2 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边BC, AC 上的点,连结BE,AD 交于点F. (1) 图中共有多少个三角形? 请把它们表示 出来. (2) 写出△BDF 的三个顶点及三条边. (3) 以AB 为边的三角形有哪些? (4) 以F 为顶点的三角形有哪些? 典例2图 (1) 数图中三角形的个数时,要做到不重 复、不遗漏.(2) 三角形的每个顶点都可用一个 字母表示,如A;每条边需用两个字母表示,如 AB.(3) 以AB 为边的三角形有4个.(4) 以F 为顶点的三角形有3个. 解答: 解有所悟:数三角形个数的方法:(1) 按组成三角形 的图形个数去数;(2) 固定一个顶点,变换另外两个 顶点去数;(3) 固定一条边,按一定的顺序去数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 53 [基础过关] 1. 用三根木棒拼成如下图形,其中符合三角形 定义的是 ( ) A. B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长分别为3cm,6cm, 则该三角形第三条边的长可以是 ( ) A. 2cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm 3. 将一个三角形剪成两个三角形,则这两个三 角形不可能 ( ) A. 都是直角三角形 B. 都是钝角三角形 C. 都是锐角三角形 D. 是一个直角三角形和一个钝角三角形 4. 如图,∠ACD=90°,则图中的锐角三角形是 ,钝角三角形共有 个. 第4题 第6题 5. 已知三角形两条边的长分别为12cm 和 6cm,第三条边与其中一条边的长相等,则 这个三角形的周长为 cm. 6. (教材P8课内练习第3题变式)如图,在 △ABC 中,D 是BC 边上的一点,且AD= AC,请在下面的横线上填入“>”或“<”. (1) AB AC+BD. (2) 2AC CD. 7. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是AC,AB 边 上的点,BD 与CE 相交于点O. (1) 写出所有以∠A 为内角的三角形. (2) 写出所有以BC 为边的三角形. 第7题 答案讲解 8. (教材P9作业题第5题变式)有四 根长度分别为9cm,12cm,16cm, 25cm的木条,从中选三根搭一个 三角形,有哪几种选法? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 54 [综合提升] 9. 如图,在△ABC 中,∠ACB 是钝角.若点C 在射线BD 上向右移动,则下列说法中,正确 的是 ( ) A. △ABC 先变成直角三角形,再变成锐角 三角形,而不会再变成钝角三角形 B. △ABC 变成锐角三角形,而不会再变成 钝角三角形 C. △ABC 先变成直角三角形,再变成锐角 三角形,然后变成钝角三角形 D. △ABC 先变成直角三角形,再变成锐角 三角形,接着变成直角三角形,然后变成 钝角三角形 第9题 第10题 10. 在如图所示的网格图中,有A,B,C,D,E 五个点. (1) 以AB 为一边,可以画出 个三 角形. (2) 以C 为顶点可以画出 个三 角形. 11. 若a,b,c是△ABC 的三边,则化简|a- b-c|-|b+a-c|的结果为 . 12. 已知a,b是△ABC 的两条边的长,且满足 10a2+4b2+4=12ab+4a.若该三角形的 第三边的长c是奇数,求c的值. 答案讲解 13. 三边长都是整数,且周长为18的 三角形有几个? 请分别写出这些 三角形各边的长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级