专题2 与线段、角有关的计算和说理-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

30 专题二　与线段、角有关的计算和说理 有关线段、角的计算的题目往往渗透了一些数学思想,如方程思想、分类讨论思想、整体思想 等,借助数学思想并结合几何图形可以进行线段、角之间的转化.特别是一些动态问题,动点会带 来线段的相对位置、长度的变化,角的运动会带来角的相对位置和大小的变化,解决这类问题要 明确运动的方向、速度,用已知的量表示变化的量,从而解决问题. 类型一 方程思想 1. (1) 一个角的余角比这个角的1 2 少30°,求这 个角的度数. (2) 一个锐角的补角比它的余角的4倍小 30°,求这个锐角的度数. 2. ★如图,点O 在直线MN 上,过点O 引射线 OA 和OB,且∠MOA=2∠BON,∠BON 比∠AOB 大20°,求∠MOA 和∠AOB 的 度数. 第2题 3. ★如图,C,B是线段AD 上的两点,AC∶CB∶ BD=3∶1∶4,E,F 分别是AB,CD 的中 点,且EF=14,求AB,CD 的长. 第3题 答案讲解 4. 如图,把一根细绳对折成两条重合 的线段AB,A 为对折点,点P 在线 段AB 上,且AP∶BP=3∶4. (1) 若细绳的长度是126cm,求图中线段 AP 的长. (2) 从点P 处把细绳剪断后展开,细绳变成 三段,若三段中最长的一段为72cm,求原来 细绳的长. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 31 类型二 分类讨论思想 5. 已知线段AB=60,C 为直线AB 上一点, AB=54BC. (1) 求线段BC 的长. (2) E 为线段AC 上一点,AE=14AC ,F 为 线段BC 上一点,CF=2FB,求线段 EF 的长. 6. ★ 新考法 新定义题 【定义】从角的顶点出 发,在角的内部作一条射线,若该射线将该 角分得的两个角中有一个角与该角互为余 角,则称该射线为这个角的“分余线”. 【应用】(1) 如图①,∠AOB=70°,∠AOC= 50°,判断射线OC 是否为∠AOB 的“分余 线”,并说明理由. (2) 如图②,射线OC平分∠AOB,且射线OC 为∠AOB的“分余线”,求∠AOB的度数. (3) 如图③,∠AOB=160°,在∠AOB 的内 部作射线OC,OM,ON,使OM 为∠AOC 的 平分线,ON 为∠BOC 的平分线.当OC 为 ∠MON 的“分余线”时,求∠AOC 的度数. 第6题 类型三 整体思想 7. (1) 如图,点C 在线段AB 上,AC=10cm, BC=8cm,M,N 分别为AC,BC 的中点.求 线段MN 的长. (2) 若C 为线段AB 上一点,且满足AC+ BC=acm,M,N 分别为AC,BC 的中点,试 猜想MN 的长度,并说明理由. (3) 若点C 在线段AB 的延长线上,且满足 AC-BC=bcm,M,N 分别为AC,BC 的中 点,试猜想MN 的长度.请你先画出图形,再 写出猜想,并说明理由. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 32 答案讲解 8. 用一副三角尺(一把含45°角,一把 含30°角)来探究两个角之间的 关系. (1) 如图①,将两把三角尺的直角顶点C 叠 放在一起,使CD 落在∠BCE 的内部. ① 若CD 平分∠BCE,则∠DCE 的度数为 °,∠ACB 的度数为 °. ② 猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何关系, 并说明理由. (2) 如图②,将含45°角的三角尺的直角顶点 与含60°角的三角尺的60°角的顶点重合在 一起,使CD 落在∠BCE 的内部,直接写出 ∠ACB+∠DCE 的度数. (3) 根据以上探究,有同学提出,将任意两个 锐角的顶点重合,使一个角的一边落在另一 个角的内部,都有类似的结论.如图③,若 ∠AOB=α,∠COD=β(α,β都是锐角),它 们的 顶 点 O 重 合 在 一 起,则∠AOD 与 ∠BOC 的大小有何关系? 请说明理由. 第8题 类型四 动态问题 9. ★如图①,M 是线段AB 上一点,点C 在线段 AM 上,点D 在线段BM 上,C,D 两点分别 同时从点M,B 出发,分别以1cm/s,3cm/s 的速度沿直线BA 运动,运动方向如箭头 所示. (1) 若AB=10cm,2cm<AM<4cm,当点 C,D 运动了2 s时,求AC+MD 的长. (2) 若点C,D 运动时,总有MD=3AC,求 AM 与AB 之间的数量关系. (3) 如图②,若AM=14AB ,N 是直线AB 上一点,且AN-BN=MN,求MNAB 的值. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 10 1 7×8+ 1 8×9 + 1 9×10 = 1- 1 2 + 12-13 + 1 3- 1 4 + 14-15 + 15-16 + 16-17 + 1 7- 1 8 + 18-19 + 19-110 =1-110=910. 13. (1) 原式= (-2022)+ -56 + (-2022)+ -23 + (-1)+ -12 +4045=[(-2022)+ (-2022)+(-1)+4045]+ -56 + -23 + -12 =0+(-2)=-2.(2) 因为1-122= 1 2× 3 2 , 1-132= 2 3× 4 3 ,1-142= 3 4× 5 4 ,…,所以原式=12× 3 2× 2 3× 4 3× 3 4× 5 4× …×20202021× 2022 2021× 2021 2022× 2023 2022= 1 2× 2023 2022= 2023 4044. 专题二　与线段、角有关的计算和说理 1. (1) 设这个角的度数为x,则它的余角为90°-x.根据 题意,得1 2x- (90°-x)=30°,解得x=80°.所以这个角 的度数为80°.(2) 设这个锐角的度数为y.根据题意,得 180°-y=4(90°-y)-30°,解得y=50°.所以这个锐角的 度数为50°. 2. 设∠BON=x°,则∠MOA=2x°.根据题意,得x°- (180°-x°-2x°)=20°,解得x=50.所以∠MOA=2x°= 100°,∠AOB=180°-x°-2x°=30°. 利用方程思想解题 在直线相交的图形中求角的度数时,通过分析题 目中涉及的角的位置关系得出角之间的特殊的数量关 系,把待求的角用未知数表示,与之有关的角用含未知 数的式子表示,依据角之间的数量关系建立方程,把图 形中的计算问题转化为解方程问题. 3. 设AC=3x,则CB=x,BD=4x.所以AB=AC+ CB=3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x.因为E, F 分别是AB,CD 的中点,所以BE=12AB=2x ,CF= 1 2CD= 5 2x. 因为EF=14,所以EB+CF-CB=14.所 以2x+52x-x=14 ,解得x=4.所以AB=4x=16, CD=5x=20. 解关系复杂的线段或角的题目的方法 解关系复杂的线段或角的题目时,往往通过设未 知数(如本题中出现比,可以设每份为x),并根据已知 条件,用未知数表示其他量,然后根据题目中的等量关 系列方程求解. 4. (1) 因为AB=12×126=63 (cm),AP∶BP=3∶4, 所以AP=63× 33+4=27 (cm).(2) 因为AP∶BP=3∶ 4,所以设AP=3xcm,则BP=4xcm.因为A 为对折点, 所以剪断后的三段分别长6xcm,4xcm,4xcm.所以 6x=72,解得x=12.所以6x+4x+4x=14x=168,即原 来细绳的长为168cm. 5. (1) 因为 AB=60,AB= 54BC ,所以 BC=48. (2) ① 当点C在线段AB 上时(如图①),因为AB=60, BC=48,所以AC=AB-BC=12.因为AE=14AC ,所 以AE=3.所以CE=AC-AE=9.因为CF=2FB, BC=BF+CF,所以BF=16,CF=32.因为EF=EC+ CF,所以EF=41.② 当点C 在线段AB 的延长线上时 (如图②),因为AB=60,BC=48,所以AC=AB+BC= 108.因为AE=14AC ,所以AE=27.所以BE=AB- AE=33.因为CF=2FB,BC=BF+CF,所以BF=16, CF=32.因为EF=BE+BF,所以EF=49.综上所述, EF 的长为41或49. 第5题 6. (1) 射线 OC 为∠AOB 的“分余线”.理由:因为 ∠AOB=70°,∠AOC=50°,所以∠BOC=∠AOB- ∠AOC=70°-50°=20°.因为∠AOB+∠BOC=70°+ 20°=90°,所以射线OC 是∠AOB 的“分余线”.(2) 因为 射 线 OC 平 分 ∠AOB,所 以 ∠AOC = ∠BOC = 1 2∠AOB. 因为射线OC 为∠AOB 的“分余线”,所以 ∠BOC+∠AOB=90°,即12∠AOB+∠AOB=90°. 所以 ∠AOB=60°.(3) 因为OC 为∠MON 的“分余线”,所以 分两种情况讨论:① 当∠MOC+∠MON=90°时,因为 OM 为∠AOC 的平分线,ON 为∠BOC 的平分线,所以 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 ∠MOC = 12 ∠AOC ,∠NOC = 12 ∠BOC. 所 以 ∠MON=∠MOC+∠NOC=12 (∠AOC+∠BOC)= 1 2∠AOB=80°. 所以∠MOC=10°.所以∠AOC=20°. ② 当∠NOC+∠MON=90°时,由①,知∠NOC=10°, ∠BOC=20°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°.综 上所述,∠AOC的度数为20°或140°. 利用分类讨论思想求角的度数 分类讨论思想是中学数学的重要思想方法之一, 在图形问题中,如果图形中的某些元素的位置是不确 定的,那么需要根据某一位置关系进行分类讨论.如果 图形中的各元素的数量关系或对应关系是不确定的, 那么需要根据数量关系或对应关系进行分类讨论. 7. (1) 因为M,N 分别为AC,BC 的中点,AC=10cm, BC=8cm,所以CM=12AC=5cm ,CN=12BC= 4cm.所以MN=CM+CN=9cm.(2) MN=12acm. 理 由:因为M,N 分别为AC,BC的中点,所以CM=12AC , CN=12BC. 所以 MN=CM+CN=12AC+ 1 2BC= 1 2 (AC+BC)=12acm. (3) 如图所示.MN=12bcm. 理 由:因为M,N 分别为AC,BC 的中点,所以AM=MC= 1 2AC ,CN=BN= 12BC. 所以 MN=MC-CN= 1 2AC- 1 2BC= 1 2 (AC-BC)=12bcm. 第7题 8. (1) ① 45;135.② ∠ACB+∠DCE=180°.理由:因为 ∠ACD=∠BCE=90°,所以∠DCE=90°-∠BCD.所以 ∠ACB+∠DCE=∠ACD+∠BCD+(90°-∠BCD)= 90°+90°=180°.(2) 由题意,得∠BCE=90°,∠ACD= 60°,所以∠DCE=60°-∠ACE.所以∠ACB+∠DCE= ∠BCE+∠ACE+∠DCE=∠BCE+∠ACE+(60°- ∠ACE)=90°+60°=150°.(3) ∠AOD+∠BOC=α+ β.理由:因为∠AOB=α,∠COD=β,所以∠AOC=α- ∠BOC.所 以 ∠AOD = ∠COD + ∠AOC=β+α- ∠BOC.所以∠AOD+∠BOC=α+β. 9. (1) 当点C,D 运动了2 s时,CM=2cm,BD= 6cm.因为AB=10cm,所以AC+MD=AB-CM- BD=10-2-6=2(cm).(2) 因为C,D 两点的运动速度 分别为1cm/s,3cm/s,所以BD=3CM.又因为 MD= 3AC,所以BD+MD=3CM+3AC,即BM=3AM.所以 AM=14AB. (3) 如图①,当点N 在线段AB 上时,因为 AN-BN=MN,AN-AM=MN,所以BN=AM= 1 4AB. 所以MN= 1-14- 1 4 AB=12AB,即MNAB = 1 2. 如图②,当点 N 在线段AB 的延长线上时,因为 AN-BN=MN,AN-BN=AB,所以 MN=AB,即 MN AB=1. 综上所述,MN AB 的值为1 2 或1. 第9题 线段动态问题的解决方法 解决线段上的动点问题时,需要明确点的运动方 向和速度,考虑点的运动会带来哪些线段长度的变化 或对应位置的变化;对于一些图形位置不固定的问题, 要将所有情况都一一列举出来,并利用线段的和差倍 分关系进行计算. 专题三　整式的化简求值 1. (1) 原式=5m2-(3m-3m-3+4m2)=5m2-(-3+ 4m2)=5m2+3-4m2=m2+3.当m=-3时,原式= (-3)2+3=12.(2) 原式=5a2+2a-1-12+32a- 8a2=-3a2+34a-13.因为a 是最大的负整数,所以 a=-1.当a=-1时,原式=-3×(-1)2+34×(-1)- 13=-50.(3) 原式=32m- 5 2m+1+12-3m=-4m+ 13.因为m 的倒数等于它本身,所以m=±1.当m=1 时,原式=-4×1+13=-4+13=9;当m=-1时,原 式=-4×(-1)+13=4+13=17.(4) 原式=a2-4b2+ a2+4ab+4b2-2a2+3ab=7ab.当a=15 ,b=3时,原 式=7×15×3= 21 5. (5) 原式=4(x-y)2-(4x2- 3xy)=4x2-8xy+4y2-4x2+3xy=4y2-5xy.当 x=-2,y=- 1 2 时,原式=4× -12 2 -5×(-2)× -12 =4×14-5×2×12=1-5=-4.(6) 原式= 4x2-4x+1-(9x2-1)+5x2+5x=4x2-4x+1- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈