专题1 实数的运算技巧-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

9 毒液可使用10天.(3) 9.6L=9600mL.设需要300mL 的空瓶m 个,500mL的空瓶n 个.由题意,得300m+ 500n+20(m+n)=9600.化简,得m=30-138n. 因为m, n均为正整数,所以 m=17, n=8 或 m=4 , n=16. 因为要使分装时 总损耗最小,即20(m+n)最小,所以 m=4, n=16. 所以分装时 需要300mL的空瓶4个,500mL的空瓶16个. 23. (1) 如图①,过点G 作GR∥AB.因为AB∥CD,所以 AB∥CD ∥GR.所 以 ∠BEG = ∠EGR,∠DFG = ∠FGR.所 以∠BEG+∠DFG=∠EGR+∠FGR= ∠EGF.因为∠BEG=30°,∠EGF=75°,所以∠DFG= 45°.(2) 因为FN 平分∠CFG,EM 平分∠AEN,所以可 设∠CFN=∠GFN=β,∠AEM=∠NEM=α.如图②, 过点G 作GP∥CD,过点 N 作NQ∥AB.又因为AB∥ CD,所以NQ∥AB∥CD∥GP.所以∠QNF=∠CFN=β, ∠QNE=∠AEN=2α,∠PGE=∠AEM=α,∠PGF= ∠DFG=180°-2β.所以∠FNE=∠QNF-∠QNE= β-2α,∠FGE=∠PGE+∠PGF=α+180°-2β.又因为 ∠FNE+12∠FGE=54° ,所以β-2α+ 1 2 (α+180°- 2β)=54°,解 得 α=24°.所 以 ∠AEN =2α=48°. (3) ∠EGF=2∠EHF.理由:因为FK 平分∠CFG,EL 平分∠AEG,所以可设∠CFK=∠GFK=n,∠AEL= ∠LEG=m.如图③,过点H 作 HI∥CD,过点G 作GJ∥ AB.因为 AB∥CD,所以 GJ∥AB∥CD∥HI.所以 ∠JGE=∠AEG=2m,∠JGF=∠CFG=2n,∠IHK= ∠CFK=n,∠IHL = ∠AEL =m.所 以 ∠EGF = ∠JGE-∠JGF=2m-2n=2(m-n),∠EHF= ∠IHL-∠IHK=m-n.所以∠EGF=2∠EHF. 第23题 2 整合提优 专题一　实数的运算技巧 1. C 2. (1) 3 (2) 1 (3) -2 (4) -36 3. (1) 原式=-1+(-4-16)÷(-5)=-1+(-20)÷ (-5)=-1+4=3.(2) 原式=5+53-2×5= 20 3- 10=-103. (3) 原式=-9+116- 5 16=-9 1 4. 4. A 5. B 6. C 7. A 8. (1) 交换律和结合律 (2) 分配律 9. (1) -521 (2) 7 (3) -8 700 (4) -6 (5) 458 (6) -5115 (7) -1 (8) -24 (9) 59 (10) 1 10. (1) 原式=-5-56-9- 2 3+17+ 3 4-3- 1 2= (-5-9+17-3)+ -56- 2 3+ 3 4- 1 2 =0-54= -54. (2) 原式=-3.14×(35+46.6+18.4)=-3.14× 100=-314.(3) 原式=-14+15-3-6×(1.05+ 3.95)=1-3-30=-32.(4) 原式=-9-2+21+12÷ 6 12- 4 12- 3 12 =10+12÷ -112 =-134.(5) 原式= -47 ×(3.59+2.41-6)= -47 ×(6-6)= -47 ×0=0.(6) 原式=5×401× 3021599+1599× 89 1599+401× 89 1599= 401 1599× (5×302+89)+89= 401 1599× (1510+89)+89= 4011599×1599+89=401+ 89=490. 11. 因为 23-34+16-512 ÷124= 23-34+16- 5 12 ×24=23×24-34×24+16×24-512×24=-8,所 以1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 =-18. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用分配律进行简便计算,此时结 果与原式的结果互为倒数. 12. 原式= 11×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ 1 4×5+ 1 5×6+ 1 6×7+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 1 7×8+ 1 8×9 + 1 9×10 = 1- 1 2 + 12-13 + 1 3- 1 4 + 14-15 + 15-16 + 16-17 + 1 7- 1 8 + 18-19 + 19-110 =1-110=910. 13. (1) 原式= (-2022)+ -56 + (-2022)+ -23 + (-1)+ -12 +4045=[(-2022)+ (-2022)+(-1)+4045]+ -56 + -23 + -12 =0+(-2)=-2.(2) 因为1-122= 1 2× 3 2 , 1-132= 2 3× 4 3 ,1-142= 3 4× 5 4 ,…,所以原式=12× 3 2× 2 3× 4 3× 3 4× 5 4× …×20202021× 2022 2021× 2021 2022× 2023 2022= 1 2× 2023 2022= 2023 4044. 专题二　与线段、角有关的计算和说理 1. (1) 设这个角的度数为x,则它的余角为90°-x.根据 题意,得1 2x- (90°-x)=30°,解得x=80°.所以这个角 的度数为80°.(2) 设这个锐角的度数为y.根据题意,得 180°-y=4(90°-y)-30°,解得y=50°.所以这个锐角的 度数为50°. 2. 设∠BON=x°,则∠MOA=2x°.根据题意,得x°- (180°-x°-2x°)=20°,解得x=50.所以∠MOA=2x°= 100°,∠AOB=180°-x°-2x°=30°. 利用方程思想解题 在直线相交的图形中求角的度数时,通过分析题 目中涉及的角的位置关系得出角之间的特殊的数量关 系,把待求的角用未知数表示,与之有关的角用含未知 数的式子表示,依据角之间的数量关系建立方程,把图 形中的计算问题转化为解方程问题. 3. 设AC=3x,则CB=x,BD=4x.所以AB=AC+ CB=3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x.因为E, F 分别是AB,CD 的中点,所以BE=12AB=2x ,CF= 1 2CD= 5 2x. 因为EF=14,所以EB+CF-CB=14.所 以2x+52x-x=14 ,解得x=4.所以AB=4x=16, CD=5x=20. 解关系复杂的线段或角的题目的方法 解关系复杂的线段或角的题目时,往往通过设未 知数(如本题中出现比,可以设每份为x),并根据已知 条件,用未知数表示其他量,然后根据题目中的等量关 系列方程求解. 4. (1) 因为AB=12×126=63 (cm),AP∶BP=3∶4, 所以AP=63× 33+4=27 (cm).(2) 因为AP∶BP=3∶ 4,所以设AP=3xcm,则BP=4xcm.因为A 为对折点, 所以剪断后的三段分别长6xcm,4xcm,4xcm.所以 6x=72,解得x=12.所以6x+4x+4x=14x=168,即原 来细绳的长为168cm. 5. (1) 因为 AB=60,AB= 54BC ,所以 BC=48. (2) ① 当点C在线段AB 上时(如图①),因为AB=60, BC=48,所以AC=AB-BC=12.因为AE=14AC ,所 以AE=3.所以CE=AC-AE=9.因为CF=2FB, BC=BF+CF,所以BF=16,CF=32.因为EF=EC+ CF,所以EF=41.② 当点C 在线段AB 的延长线上时 (如图②),因为AB=60,BC=48,所以AC=AB+BC= 108.因为AE=14AC ,所以AE=27.所以BE=AB- AE=33.因为CF=2FB,BC=BF+CF,所以BF=16, CF=32.因为EF=BE+BF,所以EF=49.综上所述, EF 的长为41或49. 第5题 6. (1) 射线 OC 为∠AOB 的“分余线”.理由:因为 ∠AOB=70°,∠AOC=50°,所以∠BOC=∠AOB- ∠AOC=70°-50°=20°.因为∠AOB+∠BOC=70°+ 20°=90°,所以射线OC 是∠AOB 的“分余线”.(2) 因为 射 线 OC 平 分 ∠AOB,所 以 ∠AOC = ∠BOC = 1 2∠AOB. 因为射线OC 为∠AOB 的“分余线”,所以 ∠BOC+∠AOB=90°,即12∠AOB+∠AOB=90°. 所以 ∠AOB=60°.(3) 因为OC 为∠MON 的“分余线”,所以 分两种情况讨论:① 当∠MOC+∠MON=90°时,因为 OM 为∠AOC 的平分线,ON 为∠BOC 的平分线,所以 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 27 专题一　实数的运算技巧 实数的运算主要是实数的加、减、乘、除、乘方以及开方运算.实数运算就是根据实数的运算 律和运算法则进行数的运算.在运算过程中依据算理对题中的数进行恰当的分组或组合,并合理 运用运算律是解题的关键.运算过程中要注意加减法之间、乘除法之间、小数和分数之间的相互 转化,从而减少运算量,提高运算速度与正确率. 类型一 直接计算 1. (营口中考)有下列四个算式:① (-5)+ (+3)=-8;② -(-2)3=6;③ +56 + -16 =23;④ -3÷ -13 =9.其中,正确 的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 计算: (1) (包头中考)38+(-1)2024= . (2) 4-1- 116+168 0= . (3) (陕西中考)25-(-7)0+(-2)×3= . (4) -32-0.75÷13× [4-(-2)3]= . 3. 计算: (1) -12025+ 25× (-10)-42 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ÷(-5). (2) 3125+ 259+ 3-8× 42+32. (3) -32+1÷4×14- -1 1 4 × (-0.5)2. 类型二 利用运算律简化运算 4. 计算(-8)×3÷(-2)2的结果为 ( ) A. -6 B. 6 C. -12 D. 12 5. 用简便方法计算47× -18 +81×18+26× (-0.125),其结果是 ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 28 6. 下列算式中,运用分配律带来简便的是 ( ) A. 60÷ 13- 1 4+ 1 12 B. 1 3- 1 4+ 1 12 ÷60 C. 1 3- 1 4+ 1 12 ÷160 D. 1 3- 1 4+ 1 12 ×160 7. 计算 -12 +14+ -25 + +310 时,下列所 运用的运算律恰当的是 ( ) A. -12 +14􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -25 + +310 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B. 1 4+ - 2 5 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -12 + +310 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C. -12 + 14+ -25 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + +310 D. 1 4+ + 3 10 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -12 + -25 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 8. 指出下列变形中用到的运算律. (1) (-2)+9+(-3)+2=[(-2)+2]+ 9+(-3),根据的是加法的 . (2) (-3)×(-8+2-3)=(-3)×(-8)- 3×2+3×3,根据的运算律是 . 9. 计算: (1) 1 6+ - 2 7 + -56 + +57 = . (2) -2.5+(-3.26)+5.5+(+7.26)= . (3) (-25)×(-87)×(-4)= . (4) -67 ×(-15)× -76 ×25= . (5) -92223× (-46)= . (6) -651315÷13= . (7) -81÷16÷ -214 ÷ -214 = . (8) -16+ 3 4- 1 12 ×(-48)= . (9) 11.8×334- (-11.8)×1.7-11.8× 3 4-11.8× (-0.3)= . (10) 28 5÷ (-2)× -514 = . 10. 计算: (1) -556-9 2 3+17 3 4-3 1 2. (2) -3.14×35+6.28×(-23.3)-15.7× 3.68. (3) 7 9- 5 6+ 3 18 ÷ -118 -6×1.05- 3.95×6. (4) -32-7× 27-3 +12÷ 12-13-14 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 29 (5) 3.59× -47 +2.41× -47 -6× -47 . (6) 5×401×3021599+ (1599+401)× 891599. 类型三 构造符合运算律的模型简化运算 (一) 倒数法 答案讲解 11. ★计算:1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 . (二) 拆项法与裂项法 答案讲解 12. 计算:1 2+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ 1 30+ 1 42+ 1 56+ 1 72+ 1 90. 13. 阅读下面的计算方法: -556+ -9 2 3 +1712+ -312 = (-5)+ -56 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + (-9)+ -23 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + 17+12 + (-3)+ -12 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 =[(-5)+ (-9)+17+(-3)]+ -56 + -23 +12+􀭠􀭡 􀪁 􀪁 -12 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 =0+ -112 =-112. (1) 计 算:-202256 + -202223 + -112 +4045. (2) 已知1-122= 1 2× 3 2 ,1-132= 2 3× 4 3 , 1- 142 = 3 4 × 5 4 ,….计 算:1-122 × 1-132 ×…×1- 120212 ×1- 120222 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优