第3章 整式的乘除-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

3 1500.所以学校购买这批花卉一共要用1500元. 运用整体思想解决方程问题 整体思想在整式运算、代数式求值及解方程中的 应用比较广泛,当局部求解难以各个击破时,可以从全 局着眼,整体思考,从而获得简洁明了的解法.例如本 题中只给出了两个等量关系,最多可以列出两个三元 一次方程,无法求出各种花卉的单价.因而要转变思 路,先从整体上求出购买A,B,C 三种花卉各1束的价 格,再求出购买A,B,C 三种花卉各100束的总价. 16. ①②③ 三、 17. (1) x=2, y= 1 2. (2) x=1715 , y= 11 15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (3) x=1, y=2, z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 运用消元法解三元一次方程组的技巧 1. 确定消去哪个未知数时,要从整体考虑,一般选 择消去后可以使计算量相对较小的未知数. 2. 消去的未知数一定是同一未知数,否则就达不 到消元的目的. 18. (1) 5;-3.(2) ①+②,得4x+6y=5-3m,即 2(2x+3y)=5-3m.因为2x+3y=1,所以2×1=5- 3m,解得m=1. 19. (1) 将 x=1, y=-1 代入原方程组,得 a-b=2 , c+3=-2. 由此, 可得c=-5.因为乙同学仅因抄错了题中的系数c,错误 解得 x=2, y=-6, 所以它仍是ax+by=2的一组解.将 x=2, y=-6 代入ax+by=2,得2a-6b=2,即a-3b=1.联 立,得 a-b=2, a-3b=1, 解得 a=52 , b=12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 综上所述,a= 5 2 ,b=12 , c=-5.(2) 由(1),可知原方程组为 5 2x+ 1 2y=2① , -5x-3y=-2②. ①×6+②,得10x=10,解得x=1.将x=1代入②,解得 y=-1.所以原方程组的解为 x=1, y=-1. 20. 设 平 路 有 x m,下 坡 路 有 y m.根 据 题 意,得 x 60+ y 80=10 , x 60+ y 40=15 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=300, y=400. 所以小华家到学校的平路 和下坡路分别为300m,400m. 21. (1) 由题意,得 x+y=50, x=y-2, 解得 x=24 , y=26. 所以这个班 男生有24人,女生有26人.(2) 由题意,得男生每小时剪 筒底的数量为24×120=2880(个),女生每小时剪筒身的 数量为26×40=1040(个).因为一个筒身配两个筒底, 2880≠1040×2,所以原计划男生负责剪筒底,女生负责 剪筒身,每小时剪出的筒身与筒底不能刚好配套.设男生 向女生支援a 人.由题意,得120(24-a)=(26+a)× 40×2,解得a=4.所以男生应向女生支援4人,才能使每 小时剪出的筒身与筒底刚好配套. 22. (1) 设甲种货车每辆能装货x吨,乙种货车每辆能装 货y吨.由题意,得 2x+y=10, x+2y=11, 解得 x=3 , y=4. 所以甲种货 车每辆能装货3吨,乙种货车每辆能装货4吨.(2) 设租 用a辆甲种货车,b 辆乙种货车.由题意,得3a+4b= 31.又因为a,b 均为正整数,所以 a=9, b=1 或 a=5 , b=4 或 a=1, b=7. 所以共有3种租车方案,方案一:租用9辆甲种货 车,1辆乙种货车;方案二:租用5辆甲种货车,4辆乙种货 车;方案三:租用1辆甲种货车,7辆乙种货车.(3) 方案一 所需租金为100×9+120×1=1020(元);方案二所需租 金为100×5+120×4=980(元);方案三所需租金为 100×1+120×7=940(元).因为1020>980>940,所以 租金最少的租车方案为租用1辆甲种货车,7辆乙种货 车,该方案的租金为940元. 第3章　整式的乘除 一、 1. C 2. B 3. D 4. C 运用乘法公式时的注意点 运用乘法公式时应注意以下几点:(1) 平方差公式 和完全平方公式中的a,b可以是单项式,也可以是多 项式.(2) 弄清公式中的结构形式,是正确运用乘法公 式的关键所在.(3) 运用平方差公式计算时,关键要找 相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项 的平方;运用完全平方公式计算时,应注意展开后的结 构特征是“首平方,末平方,首末两倍中间放”,特别要 注意中间项的符号. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 5. A 6. A 7. A 8. D 9. B 10. B 解析:设正方形纸片A,B 的边长分别为a,b(a> b).由题图②中涂色部分的面积为1,可得(a-b)2=1,所 以a-b=1.由题图③中涂色部分的面积为12,可得(a+ b)2-(a2+b2)=2ab=12.所以(a+b)2=(a-b)2+ 4ab=1+2×12=25.所以a+b=5.所以题图④中涂色部 分的面积为(2a+b)2-(3a2+2b2)=a2+4ab-b2= (a+b)(a-b)+4ab=5×1+2×12=29. 运用乘法公式的常见变形解题 运用平方差公式和完全平方公式进行计算时,注 意运用它们的变形形式.完全平方公式的常见变形: ① a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;② (a+ b)2+(a-b)2=2a2+2b2;③ ab=12 [(a+b)2- (a2+b2)]=14 [(a+b)2-(a-b)2].平方差公式的常 见变形:① (a+b)(-a+b)=b2-a2;② (-a-b)· (a-b)=b2-a2;③ (a+2b-c)(a-2b+c)=a2- (2b-c)2;④ (a+b)(a-b)(a2+b2)=a4-b4. 二、 11. 0 12. 2a2-54a 13. 4 14. 654383 15. 24 解析:设小正方形的边长为a,大正方形的边长 为b.因为AB=10,两正方形的面积之和为52,所以a+ b=10,a2+b2=52,则涂色部分的面积=(a+b)2-2× 1 2a (a+b)-b2=a2+b2+2ab-a2-ab-b2=ab= (a+b)2-(a2+b2) 2 = 100-52 2 =24. 16. 3∶1 解析:由题意,得S2=4 1 2ab+ 1 2b 2 = 2ab+2b2,S1=(a+b)2-S2=a2+2ab+b2-2ab- 2b2=a2-b2.根据S1=S2 可知,a2-b2=2ab+2b2,从而 得到a2-2ab=3b2.在等号两边同时加上b2,得到(a- b)2=4b2,从而可得a-b=2b或a-b=-2b(不合题意, 舍去).所以a=3b.所以a∶b=3∶1. 三、 17. (1) -9. (2) -3b4x5. (3) x2-2x+1. 18. (1) 原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷(2b)= (4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷(2b)=(4ab+2b2)÷(2b)= 2a+b.当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3.(2) 原 式=(9a2-6a+1)-8a2+2a=(9a2-8a2)+(-6a+ 2a)+1=a2-4a+1.因为a2-4a+3=0,所以a2-4a= -3.所以原式=-3+1=-2. 19. (1) A·B+13的值不可能为负数.理由:因为A· B+13=(2t+3)(2t-3)+13=4t2-9+13=4t2+4,且 4t2≥0,所以4t2+4>0.所以A·B+13的值不可能为负 数.(2) A2-B2=(2t+3)2-(2t-3)2=24t.因为t是整 数,所以24t一定能被24整除.所以当t是整数时,A2- B2的值一定能被24整除. 20. (1) 因为(2a2b+ab2)÷(ab)=(2a+b)厘米,所以这 张长方形纸板的长为2a+b+a+a=(4a+b)厘米. (2) 因为b(2a+b)+2ab+2a(2a+b)=2ab+b2+2ab+ 4a2+2ab=(b2+4a2+6ab)平方厘米,所以这个纸盒需要 用(b2+4a2+6ab)平方厘米的红色包装纸. 21. (1) 如 图,则(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+ 10a2b3+5ab4+b5.(2) 25-5×24+10×23-10×22+ 5×2-1=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10× 22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1. 第21题 22. (1) (a+b)2-2ab;a2+b2.(2) (a+b)2-2ab=a2+ b2.(3) ① 因为(a+b)2-2ab=a2+b2,所以ab= (a+b)2-(a2+b2) 2 . 因为m+n=5,m2+n2=20,所以 mn= (m+n)2-(m2+n2) 2 = 52-20 2 = 5 2. 所以(m- n)2=m2-2mn+n2=20-2×52=20-5=15.② 设a= x-2023,b=x-2025,则a+b=2(x-2024).所以x- 2024=a+b2 . 所 以 (x -2024)2 = a+b2 2 = a2+2ab+b 4 2 .因为(a-b)2=[(x-2023)-(x- 2025)]2=22=4,(a-b)2=a2-2ab+b2,所以2ab= (a2+b2)-(a-b)2=(x-2023)2+(x-2025)2-4= 34-4=30.所 以 (x -2024)2 =a 2+2ab+b2 4 = 34+30 4 =16. 第4章　因式分解 一、 1. B 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. B 8. A 解析:由题意,得这个长方体纸盒的底面积为(b- 2a)2,侧面积为4a(b-2a),所以M=(b-2a)2-4a(b- 2a).提取公因式b-2a,即可得到M=(b-2a)(b-2a- 4a)=(b-2a)(b-6a). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 第3章　整式的乘除 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. (西藏中考)随着我国科技迅猛发展,电子制 造技术不断取得突破性成就,电子元件尺寸 越来越小,在芯片上某种电子元件大约占 0.000 000 7mm2,将0.000 000 7用科学记 数法表示应为 ( ) A. 0.7×10-7 B. 0.7×10-6 C. 7×10-7 D. 7×10-6 2. (菏泽中考)下列运算正确的是 ( ) A. a6÷a3=a2 B. a2·a3=a5 C. (2a3)2=2a6 D. (a+b)2=a2+b2 3. 若a=-3-2,b= -13 -2 ,c=(-0.3)0,则 a,b,c的大小关系是 ( ) A. a<b<c B. b<c<a C. c<b<a D. a<c<b 4. ★有下列计算:① (x+2y)(x-2y)=x2-2y2; ② (-x+y)2=x2-2xy+y2;③ (-a+b)· (a-b)=a2-b2;④ (-2a-3)(2a-3)=9- 4a2;⑤ (a-b)2=a2-b2.其中,正确的有 ( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 数学课上,老师讲了单项式乘多项式.放学 回到家后,明明拿出课堂笔记复习,发现一 道题:-3xy·(4y-2x-1)=-12xy2+ 6x2y□.其中“□”表示被墨水弄污的部分, 这个部分为 ( ) A. +3xy B. -3xy C. -1 D. +1 6. 整体思想 已知(x+2)(x-2)-2x=1,则 2x2-4x+3的值为 ( ) A. 13 B. 8 C. -3 D. 5 7. 已知4m=a,8n=b,其中m,n为正整数,则 22m+6n 等于 ( ) A. ab2 B. a+b2 C. a2b3 D. a2+b3 8. 若x+m 与x+3的乘积中不含x 的一次 项,则m 的值为 ( ) A. 0 B. 3 C. -1 D. -3 9. 如图,在边长为m+n的正方形纸片中剪去 一个边长为m 的小正方形纸片之后,剩余部 分又剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙). 若拼成的长方形的一边长为n,则与其相邻 的另一边长为 ( ) 第9题 A. m+2n B. 2m+n C. m+n D. 2(m+n) 答案讲解 10. ★如图①,有两张正方形纸片A, B.将B 放在A 的内部得到图②. 如图③,将A,B 并列摆放后,构造 出一个新的正方形.若图②和图③中涂色 部分的面积分别为1和12,现将三张正方 形纸片A 和两张正方形纸片B 按如图④所 示的方式摆放,则图④中涂色部分的面 积为 ( ) 第10题 A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. 计算:1 7 2025 ×(-7)2025+70= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 10 12. 小明在计算(8a3b-M)÷4ab时,把括号内 M 前的减号不小心看成了乘号,最后计算 的错误结果是10a4b,那么正确的结果是 . 13. 已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,则xy= . 14. 整体思想 若(m+58)2=654483,则(m+ 48)(m+68)的值为 . 答案讲解 15. 数形结合思想 小聪在学习完乘 法公式后,发现完全平方公式经过 适当变形或数形结合,可以解决很 多数学问题.两张正方形卡片按如图所示 的方式放置,点A,M,B 在同一条直线上. 若AB=10,两正方形的面积之和为52,则 涂色部分的面积是 . 第15题 第16题 16. 四张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片和 一张边长为a-b的正方形纸片按如图所 示的方式拼成一个边长为a+b的正方形, 图中空白部分的面积为S1,涂色部分的面 积为S2.若S1=S2,则a∶b= . 三、 解答题(共52分) 17. (9分)计算: (1) -14 -1 +(-2)2×20230- 13 -2 . (2) (-3bx2)3·b3÷(9b2x). (3) (陕西中考)(x-1)(x+2)-3(x-1). 18. (8分)先化简,再求值: (1) (甘肃中考)[(2a+b)2-(2a+b)(2a- b)]÷(2b),其中a=2,b=-1. (2) (西宁中考)(3a-1)2-2a(4a-1),其 中a满足a2-4a+3=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 11 答案讲解 19. (8分)已知整式A=2t+3,B= 2t-3,t为任意有理数. (1) A·B+13的值可能为负数 吗? 请判断并说明理由. (2) 请通过计算说明:当t是整数时,A2- B2的值一定能被24整除. 20. (8分)如图①,有一张长方形纸板,在它的 四角各剪去一个大小相同的正方形,然后 将四周的突出部分折起,制成一个高为 a厘米的长方体无盖纸盒(如图②),这个纸 盒的体积为(2a2b+ab2)立方厘米,底面长 方形的宽为b厘米. (1) 求这张长方形纸板的长. (2) 若在这个长方体无盖纸盒的外表面贴 上一层红色包装纸,则这个纸盒需要用多 少平方厘米的红色包装纸(不计损耗)? 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 12 答案讲解 21. (9分)新考向 数学文化 我国古 代数学的许多发现都曾位居世界 前列,“杨辉三角”就是其中一例. 如图,这个三角形的构造法则如下:两腰上 的数都是1,其余每个数均为其上方左、右 两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数) 的展开式(按a 的次数由大到小的顺序排 列)的系数规律.例如:在三角形中第三行的 三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2的展开式 中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好 对应(a+b)3的展开式中的系数…… 第21题 (1) 根据上面的规律,写出(a+b)5 的展 开式. (2) 利用上面的规律计算:25-5×24+ 10×23-10×22+5×2-1. 答案讲解 22. (10分)在数学活动课上,老师用 如图①所示的三种大小不同的正 方形与长方形,拼成了一个如图② 所示的正方形. (1) 请用两种不同的方法表示图②中涂色 部分的面积和. 方法1: ;方法2: . (2) 请直接写出(a+b)2,a2+b2,ab之间 的等量关系. (3) 根据(2)中的等量关系,解决下列问题: ① 已知m+n=5,m2+n2=20,求mn 和 (m-n)2的值. ② 已知(x-2023)2+(x-2025)2=34,求 (x-2024)2的值. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级