第2章 二元一次方程组-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

5 第2章　二元一次方程组 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列方程组中,属于二元一次方程组的是 ( ) A. x+xy=5, y-6x=0 B. x+y=1, y+z=2 C. x2-y=6, x+3y=0 D. x-5y=1, x+y=3 2. 用 加 减 消 元 法 解 二 元 一 次 方 程 组 x-y=18①, 2x-3y=9② 时,下列方法中,能消元的是 ( ) A. ①×3+② B. ①×3-② C. ①×2+② D. ①×(-2)-② 3. 已知 x=1, y=-2 是关于x,y 的二元一次方程 ax+y=1的一个解,则a的值为 ( ) A. 3 B. 1 C. -1 D. -3 4. 若单项式2xm+2nyn-2m+2与x5y7是同类项, 则mn 的值是 ( ) A. 3 B. -3 C. -1 D. 1 3 5. 在等式y=ax2+bx+c中,当x=0时,y= 2;当x=-1时,y=0;当x=2时,y=12. a+b+c的值为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. (益阳中考)某学校为进一步开展劳动教育 实践活动,用1 580元购买A,B 两种劳动工 具共145件,A,B 两种劳动工具每件分别为 10元、12元.设购买A,B 两种劳动工具的 件数分别为x,y,那么下列方程组中,正确 的是 ( ) A. x+y=145, 10x+12y=1580 B. x-y=145, 10x+12y=1580 C. x+y=145, 12x+10y=1580 D. x-y=145, 12x+10y=1580 7. 若关于x,y 的方程组 4x+3y=1, kx+(k-1)y=3 的 解中x和y的值相等,则k的值为 ( ) A. 4 B. 11 C. 10 D. 12 8. 新考法 新定义题 定义新运算“⊗”:x⊗ y=ax2+by,等式右边是通常的混合运算, 如1⊗2=a+2b,其中a,b为常数.若1⊗2= 5,2⊗1=6,则2⊗3的值为 ( ) A. 7 B. 10 C. 12 D. 14 9. ★已知关于x,y 的方程组 5x+y=3, ax+5y=4 和 x-2y=5, 5x+by=1 的解相同,则a,b的值分别为 ( ) A. 14,2 B. 4,-6 C. -6,2 D. 1,2 答案讲解 10. 用如图①所示的长方形和正方形 纸板分别做成如图②所示的竖式 和横式的两种无盖纸盒.现 有 m 张正方形纸板和n 张长方形纸板,如果 做这两种纸盒各若干个,恰好将纸板用完, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 6 那么m+n的值可能是 ( ) 第10题 A. 2023B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. ★已知2x-3y=1,用含x 的代数式表示 y,则y= . 12. 若a+2b=5①,3a+4b=13②,则不用求 a,b的值就能直接求出2a+2b的值的做 法是 . 13. 淇淇在准备完成题目:解二元一次方程组 x-y=4, □x+y=8 时,发现系数“□”印刷不清楚. 妈妈说:“我看过标准答案了,x和y是一对相 反数.”原方程组中的系数“□”是 . 14. ★ 换元法 若关于x,y 的二元一次方程 组 a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 的解是 x=2 , y=-3, 则关 于 m,n 的 二 元 一 次 方 程 组 2a1(m-n)-3b1(m+n)=5c1, 2a2(m-n)-3b2(m+n)=5c2 的 解 是 . 15. ★为迎接国庆,某学校欲购买A,B,C 三种 花卉各100束装饰学校礼堂.已知购买4束 A 花卉、7束B 花卉、1束C 花卉一共要用 45元,购买3束A 花卉、5束B 花卉、1束 C 花卉一共要用35元,则学校购买这批花 卉一共要用 元. 答案讲解 16. 已知关于x,y 的二元一次方程组 3x+5y=6, 3x+ky=10, 有下列结论:① 当 k=5时,此方程组无解;② 若此方程组的 解也是方程6x+15y=16的解,则k=10; ③ 当k为整数时,此方程组一定无整数解 (x,y 不 均 为 整 数).其 中,正 确 的 是 (填序号). 三、 解答题(共52分) 17. (9分)解方程组: (1) (广西中考) x+2y=3, x-2y=1. 答案讲解 (2) 3(x+y)-4(x-y)=4, x+y 2 + x-y 6 =1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (3) ★ x+2y+z=8, 2x-y-z=-3, 3x+y-2z=-1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 7 18. (8分)如图,数学活动课上,云云和辉辉一 起讨论老师出的关于二元一次方程组的 问题: 已 知 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 3x+4y=3①, x+2y=2-3m② 的 解 满 足2x+3y= 1③,求m 的值. 第18题 (1) 按照云云的方法,解得x的值为 , y的值为 . (2) 按照辉辉的方法,求m 的值. 19. (8分)甲、乙两名同学分别解关于x,y 的 方程组 ax+by=2, cx-3y=-2. 甲同学正确解得 x=1, y=-1; 乙同学因抄错题中的系数c,错误 解得 x=2, y=-6. (1) 求a,b,c的值. (2) 写出求原方程组解的过程. 20. (8分)如图,小华从家到学校的路是由一段 平路和一段下坡路组成的,假设他始终保 持平路每分钟走60m,下坡路每分钟走 80m,上坡路每分钟走40m的速度,则他 从 家 到 学 校 需 10min,从 学 校 到 家 需 15min.问:从小华家到学校的平路和下坡 路分别有多长? 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 8 21. (9分)在手工制作课上,学生们用硬纸板制 作圆柱形茶叶筒.全班学生共有50人,其 中男生有x人,女生有y人,男生人数比女 生少2.已知每人每小时可以剪40个筒身 或120个筒底. (1) 这个班男、女生分别有多少人? (2) 原计划男生负责剪筒底,女生负责剪筒 身.如果要求一个筒身配两个筒底,那么每 小时剪出的筒身与筒底能否刚好配套? 如 果不配套,那么应该如何调整人员,才能使 每小时剪出的筒身与筒底刚好配套? 答案讲解 22. (10分)某企业用甲、乙两种货车 向某地运送物资,两次满载的运输 情况如下表: 次 序 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 2 1 10 第二次 1 2 11 (1) 甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨? (2) 该企业现有31吨物资需要再次运往该 地,准备同时租用这两种货车,每辆货车均 装满,有哪几种租车方案? (3) 在(2)的条件下,租用1辆甲种货车需租 金100元,租用1辆乙种货车需租金120元. 请选出租金最少的租车方案,并求出该方 案的租金. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 2 ∠2=90°+∠1. 20. (1) 因为∠1=∠2,∠3=∠C,∠2=∠3,所以∠1= ∠C.所以AB∥CD.(2) 因为∠2+∠4=180°,∠2=∠3, 所以∠3+∠4=180°.所以BF∥EC.所以∠BFC+∠C= 180°.(3) 因为∠BFC-30°=2∠1=2∠C,所以∠BFC= 2∠C+30°.因为∠BFC+∠C=180°,所以2∠C+30°+ ∠C=180°.所以∠C=50°.所以∠BFC=130°.因为AB∥ CD,所以∠B+∠BFC=180°.所以∠B=50°. 21. (1) 因为OA∥CB,所以∠OAB+∠ABC=180°. 因为∠C=∠OAB,所以∠C+∠ABC=180°.所以AB∥ OC.(2) 因为CB∥OA,所以∠AOC=180°-∠C=180°- 100°=80°.因 为 OE 平 分 ∠COD,所 以 ∠COE = ∠EOD.因 为 ∠DOB= ∠BOA,所 以 易 得 ∠BOE= ∠EOD + ∠DOB = 12 ∠AOC = 1 2 ×80°=40°. (3) ① ∠OBC∶∠DOB 的值不会发生变化.因为CB∥ OA,所以∠AOB=∠OBC.因为∠DOB=∠AOB,所以 ∠DOB=∠OBC.所以∠OBC∶∠DOB=1.② 在△COE 和△AOB 中,因为∠OEC=∠OBA,∠C=∠OAB,所以 ∠COE= ∠BOA.因 为 ∠COE = ∠DOE,∠DOB = ∠BOA,所以易得∠COE=14∠AOC= 1 4×80°=20°. 所 以∠OEC=180°-∠C-∠COE=180°-100°-20°=60°. 第22题 22. (1) 因 为 AB∥CD,所 以 ∠1 = ∠EGD.因 为 ∠2 + ∠EGF+∠EGD=180°,∠2= 2∠1,所以2∠1+60°+∠1= 180°.所以∠1=40°.(2) 如图,过点F 作FP∥AB.因为 CD∥AB,所以FP∥AB∥CD.所以∠AEF=∠EFP, ∠FGC=∠GFP.所 以∠AEF+∠FGC=∠EFP+ ∠GFP=∠EFG=90°.所以∠AEF+∠FGC=90°. (3) α+β=300°. 第2章　二元一次方程组 一、 1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. A 7. B 8. B 9. A 解决两个有相同解的二元一次方程组(含参数) 问题的一般步骤 当两个二元一次方程组同解时,可以利用两个已知的 二元一次方程组成新的方程组,并求出新方程组的解,然后 利用这个解得到关于参数的方程(组),进而求得参数的值. 10. C 解析:设分别做竖式和横式的两种无盖纸盒x个、 y个,则 4x+3y=n, x+2y=m. 两式相加,得m+n=5(x+y).因 为x,y都是正整数,所以m+n是5的倍数.因为2023, 2024,2025,2026这四个数中只有2025是5的倍数,所 以m+n的值可能是2025. 二、 11. 2x-1 3 用含一个未知数的代数式表示 另一个未知数的常见错误 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,就 是把要表示的未知数当未知数,把另一个未知数当已 知数,然后将方程变形.解题时常出现的错误是分不清 哪个是要表示的未知数,只要记住“表示哪个未知数, 该未知数就位于等号的左边”即可快速分清.例如本题 中“用含x的代数式表示y”,则未知数y 就在等号的 左边,将方程中含x的项和常数项移到等号的右边,然 后将未知数y的系数化为1,即可实现变形. 12. ②-① 13. 5 14. m=5, n=0 解析:因为关于x,y 的二元一次方程组 a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 的解是 x=2, y=-3, 关于m,n的二元一次方 程组可以转化为 a1· 2(m-n) 5 +b1 ·-3(m+n) 5 =c1 , a2· 2(m-n) 5 +b2 ·-3(m+n) 5 =c2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 2(m-n) 5 =2 , -3(m+n) 5 =-3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=5, n=0. 运用整体换元思想解决 二元一次方程组问题 运用整体换元思想解二元一次方程组时,应先把 两个方程组化成同一种形式,再整体换元,达到把未 知、复杂的问题转化为已知、简单的问题的目的,最后 求出新的方程组的解. 15. 1500 解析:设A 花卉x 元/束,B 花卉y 元/束, C 花卉z 元/束.由题意,得 4x+7y+z=45①, 3x+5y+z=35②. 由①- ②,得x+2y=10③.由①-③×4,得z-y=5④.由③+ ④,得x+y+z=15.故100(x+y+z)=100×15= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 1500.所以学校购买这批花卉一共要用1500元. 运用整体思想解决方程问题 整体思想在整式运算、代数式求值及解方程中的 应用比较广泛,当局部求解难以各个击破时,可以从全 局着眼,整体思考,从而获得简洁明了的解法.例如本 题中只给出了两个等量关系,最多可以列出两个三元 一次方程,无法求出各种花卉的单价.因而要转变思 路,先从整体上求出购买A,B,C 三种花卉各1束的价 格,再求出购买A,B,C 三种花卉各100束的总价. 16. ①②③ 三、 17. (1) x=2, y= 1 2. (2) x=1715 , y= 11 15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (3) x=1, y=2, z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 运用消元法解三元一次方程组的技巧 1. 确定消去哪个未知数时,要从整体考虑,一般选 择消去后可以使计算量相对较小的未知数. 2. 消去的未知数一定是同一未知数,否则就达不 到消元的目的. 18. (1) 5;-3.(2) ①+②,得4x+6y=5-3m,即 2(2x+3y)=5-3m.因为2x+3y=1,所以2×1=5- 3m,解得m=1. 19. (1) 将 x=1, y=-1 代入原方程组,得 a-b=2 , c+3=-2. 由此, 可得c=-5.因为乙同学仅因抄错了题中的系数c,错误 解得 x=2, y=-6, 所以它仍是ax+by=2的一组解.将 x=2, y=-6 代入ax+by=2,得2a-6b=2,即a-3b=1.联 立,得 a-b=2, a-3b=1, 解得 a=52 , b=12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 综上所述,a= 5 2 ,b=12 , c=-5.(2) 由(1),可知原方程组为 5 2x+ 1 2y=2① , -5x-3y=-2②. ①×6+②,得10x=10,解得x=1.将x=1代入②,解得 y=-1.所以原方程组的解为 x=1, y=-1. 20. 设 平 路 有 x m,下 坡 路 有 y m.根 据 题 意,得 x 60+ y 80=10 , x 60+ y 40=15 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=300, y=400. 所以小华家到学校的平路 和下坡路分别为300m,400m. 21. (1) 由题意,得 x+y=50, x=y-2, 解得 x=24 , y=26. 所以这个班 男生有24人,女生有26人.(2) 由题意,得男生每小时剪 筒底的数量为24×120=2880(个),女生每小时剪筒身的 数量为26×40=1040(个).因为一个筒身配两个筒底, 2880≠1040×2,所以原计划男生负责剪筒底,女生负责 剪筒身,每小时剪出的筒身与筒底不能刚好配套.设男生 向女生支援a 人.由题意,得120(24-a)=(26+a)× 40×2,解得a=4.所以男生应向女生支援4人,才能使每 小时剪出的筒身与筒底刚好配套. 22. (1) 设甲种货车每辆能装货x吨,乙种货车每辆能装 货y吨.由题意,得 2x+y=10, x+2y=11, 解得 x=3 , y=4. 所以甲种货 车每辆能装货3吨,乙种货车每辆能装货4吨.(2) 设租 用a辆甲种货车,b 辆乙种货车.由题意,得3a+4b= 31.又因为a,b 均为正整数,所以 a=9, b=1 或 a=5 , b=4 或 a=1, b=7. 所以共有3种租车方案,方案一:租用9辆甲种货 车,1辆乙种货车;方案二:租用5辆甲种货车,4辆乙种货 车;方案三:租用1辆甲种货车,7辆乙种货车.(3) 方案一 所需租金为100×9+120×1=1020(元);方案二所需租 金为100×5+120×4=980(元);方案三所需租金为 100×1+120×7=940(元).因为1020>980>940,所以 租金最少的租车方案为租用1辆甲种货车,7辆乙种货 车,该方案的租金为940元. 第3章　整式的乘除 一、 1. C 2. B 3. D 4. C 运用乘法公式时的注意点 运用乘法公式时应注意以下几点:(1) 平方差公式 和完全平方公式中的a,b可以是单项式,也可以是多 项式.(2) 弄清公式中的结构形式,是正确运用乘法公 式的关键所在.(3) 运用平方差公式计算时,关键要找 相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项 的平方;运用完全平方公式计算时,应注意展开后的结 构特征是“首平方,末平方,首末两倍中间放”,特别要 注意中间项的符号. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈