第04讲 线段垂直平分线与角平分线（知识清单+5大题型+好题必刷）满分全攻略备课系列（讲义）-2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

第04讲 线段垂直平分线与角平分线（知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 线段垂直平分线的判定 题型三 角平分线的性质定理 题型四 角平分线的判定定理 题型五 角平分线性质的实际应用 知识清单 知识点1．线段垂直平分线的性质 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 2.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 3.三角形三条边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 【例1】如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（    ）    A．5 B．7 C．8 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 先根据垂直平分线的性质，证明，再根据周长，进行等量代换即可． 【详解】解：是的边的垂直平分线， ， ，的周长， ， 故选：C． 知识点2．角平分线的性质 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 【例2】如图，是的角平分线，，垂足为E，，则长是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出长和三角形的面积． 【详解】解：过作于，如图：    是的角平分线，， ， ， 的面积为8， 的面积为， ， ， ， 故选：D． 题型方法 【题型一】线段垂直平分线的性质 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式可推出的周长，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长， 故选：C． 【举一反三】 1．如图，等腰的底边的长为6，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】连接，，先求出，是线段的垂直平分线，求出，的长为的最小值，即可求出周长最小值． 【详解】如图，连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得． ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长．    故选：C． 【点睛】此题考查了将军饮马问题，解题的关键是做辅助线确定． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，线段的垂直平分线相交于点O．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，则． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵线段的垂直平分线相交于点O， ∴， ∴． 【题型二】线段垂直平分线的判定 【例2】到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 【举一反三】 1．已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．    【答案】见解析 【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证． 【详解】解：证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE=AC，DE=DC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，且AD平分CE， 即直线AD是线段CE的垂直平分线．    【点睛】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC． 2．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC， 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 【答案】证明见解析 【详解】此题考查三角形中垂直平分线 证明：∵AD是高， ∴  AD⊥BC, 又 BD=DE ∴ AD所在的直线是线段BE的垂直平分线 ∴AB=AE 于是  AB+BD=AE+DE 又 AB+BD=DC ∴ DC=AE+DE  即  DE+EC=AE+DE ∴ EC=AE ∴ 点E在线段AC的垂直平分线上 点评：垂直平分线上的点到线段两段的距离相等． 3．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线是线段的垂直平分线，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据垂直平分线的判定即可得出证明； 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线． 【题型三】角平分线的性质定理 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【举一反三】 1．（八年级上·江苏南京·期中）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，的面积为9， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，平分，交于点， ，垂足为．若，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，由此可解． 【详解】解：，， ， ， ， 又平分， ， ， 故答案为：3． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）请仅用一把有刻度的直尺完成下列图形．（不写画法，保留画图痕迹．如果画图过程中用到有关数据，请先标注适当字母，然后再把数据标注在图形右侧虚线框内，否则不得分．） (1)如图1，已知是等边三角形，求作点P，使点P到三边距离相等； (2)如图2，已知是一般三角形，求作点Q，使点Q到三边距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、等边三角形的性质、三线合一 【分析】本题主要考查了作图﹣复杂作图，掌握角平分线的性质及等边三角形的性质是解题的关键． （1）用有刻度的直尺分别取的中点E，的中点D，连接交于P，则P即为所求； （2）用有刻度的直尺在上取，在取的中点G，同理取，的中点H，连接交于Q，则Q即为所求． 【详解】（1）解：量得，在上取点E，使，在上取点D，使，连接交于P，则点P即为所求；如图1， （2）解：量得，在上取点F，使，连接，量得，在上取点G，使，量得，在上取点M，使，连接，量得，在上取点H，使， 连接交于Q，如图2，则点Q即为所求．       【题型四】角平分线的判定定理 【例4】如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 【答案】C 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键． 根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵点P到，的距离相等， ∴点P在的平分线上， 又点P在上， ∴P点是与的平分线的交点， 故选：C． 【举一反三】 1．如图，P是内一点，点P到三边，，的距离，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的判定定理、三角形内角和定理的应用 【分析】先根据角平分线的判定得出，是，的角平分线，进而得出，，求出，进而得出，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】∵点P到三边，，的距离， ∴，是，的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解题的关键． 2．如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系．首先过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证，利用可证和，根据全等三角形对应边相等可证、，从而找到、、之间的数量关系． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分，、， ， 又平分， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可证， ， ， 故答案为： ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P是中一点，于A，于B，连接，．    (1)求证：平分． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的判定定理、等边对等角 【分析】本题考查了角平分线的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及等边对等角 （1）根据，得出，即可求证； （2）先求出，再利用三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于A，于B， ∴平分（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）； （2）解：∵，于A，于B，， ∴， ∵， ∴． 【题型五】角平分线性质的实际应用 【例5】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作于点E，推出． 【详解】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 【举一反三】 1．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 2.民族要复兴，乡村必振兴．某高新区围湖外有三条公路经过三个村庄，如图所示．现要新建一个加油站到三条公路的距离相等，这样的加油站的位置有（    ）处．    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质定理，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，分别作三角形的内角平分线与外角平分线可得答案． 【详解】如图所示，作的内角平分线与外角平分线，交点分别为，    根据角平分线的性质定理，可知到三条直线的距离相等， 所以符合条件的位置共有4个， 故选A． 3．如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【答案】见解析，分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、角平分线性质的实际应用、作已知线段的垂直平分线 【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以发射塔在线段AB的垂直平分线上，再利用尺规作线段AB的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以发射塔在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案. 【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置． 【点睛】本题考查的是利用尺规作角的平分线，作线段的垂直平分线，理解题意，再确定作图目的是解题的关键. 好题必刷 一、单选题 1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 2．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，得到，即，求出，即可得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长等于， ， ，即， ， 故选：B． 3．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故选：C． 4．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 5．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（　　） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，即可得． 【详解】解：∵在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 6．如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式可推出的周长，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长， 故选：C． 7．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 8．已知：如图，为三角形纸片内部一点，连接，沿把纸片剪成三个三角形：，再使在一条直线上，若顶点（相同点用进行区分）都在直线上，且，则点为的（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的判定定理等知识点，掌握平行线上的两点距离相等成为解题的关键． 根据平行的性质可得点、到直线的距离相等，即点到的距离相等，然后根据角平分线的判定定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴点、到直线的距离相等，即点到的距离相等， ∴点O为三条角平分线的交点． 故选B． 9．如图，等腰的底边的长为6，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接，，先求出，是线段的垂直平分线，求出，的长为的最小值，即可求出周长最小值． 【详解】如图，连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得． ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长．    故选：C． 【点睛】此题考查了将军饮马问题，解题的关键是做辅助线确定． 10．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 二、填空题 11．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 12．如图，已知P是平分线上一点，，，垂足分别是E、F，如果，那么 ．    【答案】3 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线上任意一点到角的两边距离相等即可求解． 【详解】解：∵P是平分线上一点，，， ， 故答案为：． 13．如图，的面积是12，，的平分线交于点D，M，N分别是线段，上的动点，则的最小值是 ．    【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质，点到直线的距离垂线最短，过作，过作，根据角平分线性质得到，结合垂线段最小过作即可得到最小距离点即可得到答案； 【详解】解：过作，过作， ∵是的平分线，，， ∴， ，   ∴， ∴当三点共线时最小， 过作，即可得到， ∵的面积是，， ∴， 故答案为：3． 14．如图，在中，厘米，BP，CP分别是和的角平分线，且，，则的周长为 ． 【答案】15 cm 【分析】根据平行线的性质可得△DBP和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【详解】解：∵BP，CP分别是和的角平分线， ∴∠ABP=∠DBP，∠ACP=∠DCP， ∵，， ∴∠ABP=∠DPB，∠ACP=∠EPC， ∴∠DBP=∠DPB，∠ECP=∠EPC, ∴△DBP和△EPC为等腰三角形， ∴BD=PD，EC=EP， ∴△PDE的周长=PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=15cm． 即△PDE的周长为15cm． 故答案为：15cm 【点睛】平行线、角平分线和等腰三角形，三个性质知道两个可推出第三个，注意相互关系是解题的关键． 15．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 16．如图，菱形的周长为，的垂直平分线经过点，则对角线的长是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，连接，根据是的垂直平分线得，，再根据勾股定理求得，最后根据菱形的面积不变得出，将数值代入上式即可求出的长． 【详解】解：菱形的周长为， ， 连接， 是的垂直平分线， ，， ， 菱形的面积不变， ， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 17．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且，S△ADG＝12，S△AED＝9，则△DEF的面积为 ． 【答案】1.5 【详解】解：如图，过点作于 是的角平分线， 在和中 ，设面积为 同理 即 解得：． 故答案为：． 三、解答题 18．如图，．求证：平分．    【答案】见解析 【分析】过点作于点，于点，于点，利用角平分线的性质定理得到，再推出平分． 【详解】证明：如图，过点作于点，于点，于点．   ， ． ， 又， 平分． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，添加恰当的辅助线是解此题的关键． 19．如图，已知，，，请说明平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的判定以及性质，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，进而可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，即可得到平分． 【详解】解：， ， 又， ， ； ， 又， ， 平分． 20．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等． 【答案】见解析 【分析】首先由PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分线，可得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得D到PE的距离与D到PF的距离相等． 【详解】证明：∵PE∥AB，PF∥AC， ∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD， ∵△ABC中，AD是它的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠EPD=∠DPF， 即PD平分∠EPF， ∴D到PE的距离与D到PF的距离相等． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用． 21．本学期，我们学习了利用尺规作线段的垂直平分线以及作角的平分线． (1)如图1，甲、乙、丙三人分别用不同的方法作线段的垂直平分线，其中作法正确的是________；（写出所有正确的结果） (2)借助无刻度的直尺和圆规，用2种不同的方法，在图2中作的平分线． 【答案】(1)甲，乙，丙 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）由甲和丙的作图痕迹可知，所作均为线段的垂直平分线；将图乙中两处弧线交点分别记为，，设直线交于点，连接，，，，证明，进而可证明，则可得，，根据，可知，即直线为线段的垂直平分线，从而可得答案； （2）方法一：利用尺规作图作出射线即可；方法二：以为圆心，适当长为半径作弧交交的两边于点，，作，，交于点，作射线即可． 【详解】（1）解：由甲和丙的作图痕迹可知，所作均为线段的垂直平分线， 故甲、丙符合题意； 如图乙，将两处弧线交点分别记为，，设直线交于点，连接，，，， 可得，， ， ， ． ， ， ，， ， ， 直线为线段的垂直平分线， 故乙符合题意． 综上所述，作法正确的是甲、乙、丙． 故答案为：甲，乙，丙； （2）解：如图2中，射线，即为所求． 22．如图，中，平分，且平分，于点E，于F．求证：．    【答案】证明过程见解析 【分析】由角平分线的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，再根据全等直角三角形的判定与性质即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接、， ∵平分，，， ∴， ∵且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．    【点睛】本题考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等直角三角形的判定与性质是解题的关键． 23．如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．    (1)求证：平分； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于，    ∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 24．如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于．    (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分的定义，和三角形外角定理即可求解， （2）作辅助线，根据角平分线的性质与判定，即可求解， （3）由可得，同理，，即可通过等量代换，求出的长， 本题考查了，三角形外角定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，解题的关键是：熟练应用角平分线的性质，作出辅助线． 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：， （2）解：如图2，过点作的延长线于，于，   ，平分，平分， ，， ， 平分， （3）解：如图2，由（2）知：， 在和中，， ， ， 同理得：，， 的周长， ， ， ，即：， 故答案为：． 25．问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明； 变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？ ②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】问题情境：相等，理由见解析；变式拓展：①，见解析；②，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质； 问题情境：过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证； 变式拓展：①过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求解； ②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】问题情境：证明：如图1，过点作于，于． ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 变式拓展：解：①结论：．理由如下： 如图2，过点作于，于． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②结论：．理由如下： ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 线段垂直平分线与角平分线（知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 线段垂直平分线的判定 题型三 角平分线的性质定理 题型四 角平分线的判定定理 题型五 角平分线性质的实际应用 知识清单 知识点1．线段垂直平分线的性质 1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 2.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 3.三角形三条边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 【例1】如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（    ）    A．5 B．7 C．8 D．11 知识点2．角平分线的性质 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 【例2】如图，是的角平分线，，垂足为E，，则长是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 题型方法 【题型一】线段垂直平分线的性质 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【举一反三】 1．如图，等腰的底边的长为6，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，线段的垂直平分线相交于点O．求证：． 【题型二】线段垂直平分线的判定 【例2】到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项 【举一反三】 1．已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．    2．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC， 求证：E点在线段AC的垂直平分线上． 3．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 【题型三】角平分线的性质定理 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【举一反三】 1．（八年级上·江苏南京·期中）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，平分，交于点， ，垂足为．若，，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）请仅用一把有刻度的直尺完成下列图形．（不写画法，保留画图痕迹．如果画图过程中用到有关数据，请先标注适当字母，然后再把数据标注在图形右侧虚线框内，否则不得分．） (1)如图1，已知是等边三角形，求作点P，使点P到三边距离相等； (2)如图2，已知是一般三角形，求作点Q，使点Q到三边距离相等． 【题型四】角平分线的判定定理 【例4】如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 【举一反三】 1．如图，P是内一点，点P到三边，，的距离，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P是中一点，于A，于B，连接，．    (1)求证：平分． (2)若，求的度数． 【题型五】角平分线性质的实际应用 【例5】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【举一反三】 1．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2.民族要复兴，乡村必振兴．某高新区围湖外有三条公路经过三个村庄，如图所示．现要新建一个加油站到三条公路的距离相等，这样的加油站的位置有（    ）处．    A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 好题必刷 一、单选题 1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项 2．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（　　） A．7 B． C． D． 6．如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 8．已知：如图，为三角形纸片内部一点，连接，沿把纸片剪成三个三角形：，再使在一条直线上，若顶点（相同点用进行区分）都在直线上，且，则点为的（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 9．如图，等腰的底边的长为6，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 10．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 12．如图，已知P是平分线上一点，，，垂足分别是E、F，如果，那么 ．    13．如图，的面积是12，，的平分线交于点D，M，N分别是线段，上的动点，则的最小值是 ．    14．如图，在中，厘米，BP，CP分别是和的角平分线，且，，则的周长为 ． 15．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 16．如图，菱形的周长为，的垂直平分线经过点，则对角线的长是 ． 17．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且，S△ADG＝12，S△AED＝9，则△DEF的面积为 ． 三、解答题 18．如图，．求证：平分．    19．如图，已知，，，请说明平分． 20．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等． 21．本学期，我们学习了利用尺规作线段的垂直平分线以及作角的平分线． (1)如图1，甲、乙、丙三人分别用不同的方法作线段的垂直平分线，其中作法正确的是________；（写出所有正确的结果） (2)借助无刻度的直尺和圆规，用2种不同的方法，在图2中作的平分线． 22．如图，中，平分，且平分，于点E，于F．求证：．    23．如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．    (1)求证：平分； (2)求证：； (3)求证：． 24．如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于．    (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 25．问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明； 变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？ ②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$